王明偉 譚園園

摘要：針對(duì)無縫鋼管熱軋工序生產(chǎn)過程中訂單的多元化、設(shè)備產(chǎn)能的有限性及設(shè)備的高磨損性等因素，文章研究了考慮設(shè)備預(yù)防性維護(hù)的熱軋訂單計(jì)劃與調(diào)度問題，以最小化總余材長(zhǎng)度和最大完工時(shí)間為優(yōu)化目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型。結(jié)合問題特征設(shè)計(jì)了改進(jìn)的人工蜂群（Artificial Bee Colony， ABC） 算法進(jìn)行求解，對(duì)偵查蜂階段求解調(diào)度子問題的搜索策略進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)了考慮初始排序策略和局域優(yōu)化策略的啟發(fā)式算法?；趯?shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)生成不同規(guī)模實(shí)驗(yàn)案例，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明改進(jìn)的ABC算法在目標(biāo)值優(yōu)化效果上有顯著提高，驗(yàn)證了算法的有效性。

關(guān)鍵詞：設(shè)備預(yù)防性維護(hù)；熱軋批量調(diào)度；訂單計(jì)劃；ABC算法

中圖分類號(hào)：TP311? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2023）31-0118-04

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）

0 引言

我國是制造業(yè)大國，鋼鐵制造業(yè)是工業(yè)生產(chǎn)的支柱，生產(chǎn)過程的熱軋工序基于客戶訂單需求將板坯訂制成不同鋼材成品，其過程的計(jì)劃與調(diào)度問題是鋼鐵企業(yè)管理的重要問題之一[1]。合理的生產(chǎn)計(jì)劃和調(diào)度方案可有效提高生產(chǎn)效率。

近些年，學(xué)者對(duì)熱軋計(jì)劃問題和調(diào)度問題展開了廣泛研究。張浩等[2]研究了鋁錠熔煉生產(chǎn)的訂單組批問題，構(gòu)建特種鋁錠組爐優(yōu)化模型；李洪澤等[3]考慮軋輥更換產(chǎn)生設(shè)備調(diào)整時(shí)間問題，以最小化最大完工時(shí)間為目標(biāo)對(duì)軋制單元進(jìn)行排序；周登舉等[4]考慮加熱爐容量的有限性，構(gòu)建以最小化總完工時(shí)間、鋼坯駐爐時(shí)間和軋機(jī)待機(jī)時(shí)間為優(yōu)化目標(biāo)的調(diào)度模型。但設(shè)備老化等因素會(huì)對(duì)實(shí)際生產(chǎn)造成影響，故本文對(duì)生產(chǎn)計(jì)劃與調(diào)度和設(shè)備維護(hù)活動(dòng)集成優(yōu)化問題進(jìn)行研究。

鋼廠的生產(chǎn)管理中根據(jù)設(shè)備維護(hù)開始時(shí)間是否固定，分為固定周期和柔性周期兩種維護(hù)方式，且柔性維護(hù)的靈活性與生產(chǎn)實(shí)際更符合。汪洋[5]研究了考慮機(jī)器調(diào)整時(shí)間的單機(jī)調(diào)度問題，通過決策檢修位置縮短或消除機(jī)器閑置時(shí)間。許紹云[6]考慮不同軋制單元間不可進(jìn)行機(jī)器檢修的約束，構(gòu)造以最小化最大完工時(shí)間、機(jī)器調(diào)整成本和提前、拖期時(shí)間為目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型。

鑒于上述分析，本文考慮設(shè)備柔性預(yù)防性維護(hù)，針對(duì)計(jì)劃子問題，決策所有訂單中無縫鋼管在不同軋制單元內(nèi)的分配和同一軋制單元內(nèi)不同訂單無縫鋼管的加工順序；針對(duì)調(diào)度子問題，決策設(shè)備預(yù)防性維護(hù)的開始時(shí)間和軋制單元間的調(diào)度時(shí)刻表。

1 問題描述

考慮無縫鋼管的熱軋生產(chǎn)階段，因軋制單元計(jì)劃編制過程中產(chǎn)生余材浪費(fèi)和軋制單元間的機(jī)器調(diào)整時(shí)間與預(yù)防性維護(hù)開始時(shí)間的不同而造成總完工時(shí)間延后問題，提出了考慮預(yù)防性維護(hù)的訂單計(jì)劃與調(diào)度優(yōu)化問題研究。熱軋階段抽象為單機(jī)環(huán)境，每一訂單包含多種外徑規(guī)格無縫鋼管，給定訂單內(nèi)鋼管信息和設(shè)備預(yù)防性維護(hù)周期，將軋制計(jì)劃和調(diào)度方案的制定分為兩步：1） 將訂單中的無縫鋼管按外徑規(guī)格進(jìn)行組批，具有相同外徑規(guī)格的不同訂單的無縫鋼管為同一批次，以軋制單元長(zhǎng)度的上限值為約束，生成多個(gè)軋制單元；2） 根據(jù)交貨期、調(diào)整時(shí)間等約束條件，通過對(duì)軋制單元的加工順序以及設(shè)備預(yù)防性維護(hù)的開始時(shí)間進(jìn)行決策。本文以最小化總余材長(zhǎng)度和最大完工時(shí)間為優(yōu)化目標(biāo)。下面對(duì)問題進(jìn)行詳細(xì)描述。

1.1 柔性設(shè)備預(yù)防性維護(hù)

本文預(yù)防性維護(hù)的柔性是指在時(shí)間窗[Dm， Cm]內(nèi)決策維護(hù)的開始和結(jié)束時(shí)間。m表示維護(hù)次數(shù)，Dm和Cm表示第m次維護(hù)的最早開始和最晚結(jié)束時(shí)間，維護(hù)時(shí)間窗周期為t，維護(hù)時(shí)長(zhǎng)T和時(shí)間窗長(zhǎng)度TPM為固定常量。圖1為考慮柔性維護(hù)的調(diào)度計(jì)劃示意圖，前一次維護(hù)和下一次維護(hù)的完工時(shí)間之間的時(shí)間段為一個(gè)維護(hù)計(jì)劃周期。

1.2 機(jī)器調(diào)整時(shí)間

在無縫鋼管生產(chǎn)中，機(jī)器因加工多種規(guī)格鋼管需對(duì)設(shè)備孔型、機(jī)架類型以及相關(guān)設(shè)備參數(shù)等進(jìn)行調(diào)整而產(chǎn)生機(jī)器調(diào)整時(shí)間。根據(jù)文獻(xiàn)[7]給出機(jī)器調(diào)整時(shí)間公式（1） ，其中Wh，h+1表示切換相鄰軋制單元間的機(jī)器調(diào)整時(shí)間，Oh表示軋制單元h中鋼管外徑， a， b為模型參數(shù)， 依據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行設(shè)置。

[Wh，h+1=b+aOh+1-Oh]? ? ? （1）

2 問題建模

2.1 符號(hào)定義

為了便于模型的描述和建立，給出符號(hào)和變量的定義如下：

1） 索引與集合

j為鋼管索引號(hào)，j=1， 2， ...， J； i為訂單索引號(hào)，i=1， 2， ...， I； m為預(yù)防性維護(hù)索引號(hào)，m=1， 2， ...， M； h為軋制單元索引號(hào)，h=1， 2， ...， H，Ω為軋制單元集合。

2） 參數(shù)定義

oj為鋼管j外徑規(guī)格；Oh為軋制單元h中鋼管外徑規(guī)格；Ph為軋制單元h的加工時(shí)長(zhǎng)；lij為訂單i中鋼管j的長(zhǎng)度；di為訂單i的交付期；p為單位長(zhǎng)度鋼管加工時(shí)長(zhǎng)；Lmax為軋制單元長(zhǎng)度上限；T為預(yù)防性維護(hù)時(shí)長(zhǎng)；TPM為預(yù)防性維護(hù)時(shí)間窗長(zhǎng)度；t為預(yù)防性維護(hù)時(shí)間窗周期；Z為一個(gè)無限大正數(shù)；θij為若鋼管j屬于訂單i為1，否則為0。

3） 決策變量

sjh為軋制單元h中鋼管j的開始加工時(shí)間；Sh、Eh為軋制單元h的加工開始和完成時(shí)間；[SPMm、EPMm]為第m次預(yù)防性維護(hù)的開始和結(jié)束時(shí)間；[Wh1h2]為加工軋制單元h1和h2間機(jī)器調(diào)整時(shí)間。其中，0/1決策變量有：ηjh表示若鋼管j屬于軋制單元h為1，否則為0；[αh1h2]表示若軋制單元h1是軋制單元h2的直接前繼為1，否則為0；βhm表示若軋制單元h加工位于第m和m - 1次預(yù)防性維護(hù)之間為1，否則為0；[yh1h2]表示若軋制單元h1和h2之間存在預(yù)防性維護(hù)為1，否則為0。

2.2 數(shù)學(xué)模型

[minmaxh∈ΩEh]? ?（2）

[minh=1HLmax-i=1Ij=1Jθijηjhlij]? ? ?（3）

St.

[sjh+lijp-Z2-ηjh-η（j+1）h≤s（j+1）h， h=1， 2， ...， H， i=1， 2， ...， I， j=1， 2， ...， J-1] （4）

[ηjhoj=ηj'hoj'， j， j'=1， 2， ...， J， h=1， 2， ...， H， j≠j']? ? ? ?（5）

[h=1Hθijηjh=1， i=1， 2， ...， I， j=1， 2， ...， J]? ? ? ? ?（6）

[θijsjh-Z（2-ηjh-ηj'h）≤θi'j'sj'h， di≤di']

[h=1， 2， ...， H， i， i'=1， 2，...， I， j， j'=1， 2， ...， J， i≠i'， j≠j']? ? ? （7）

[j=1Ji=1Iθijηjhlij≤Lmax， h=1， 2， ...， H]? ? ? （8）

[SPMm+T=EPMm， m=1， 2， ...， M]? ? ? ?（9）

[SPMm-Dm≥0， Cm-EPMm≥0， m=1， 2， ...， M]? ? （10）

[Dm=EPMm-1+t， Cm=Dm+TPM， m=1， 2， ...， M， EPM0=0]? ? ?（11）

[EPMm-1+h=1HPhβhm+h1，h2=1HWh1h2αh1h2βh1mβh2m≤SPMm，m=1， 2， ...，M， EPM0=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （12）

[EPMm-1-Z3-yh1h2-βh1（m-1）-βh2m≤Sh2， h1，h2=1， 2， ...， H，m=1， 2， ...， M， EPM0=0] （13）

[Sh 2≥1-yh 1h 2Eh 1+Wh 1h 2+Eh 1+Tyh 1h 2-Z3-βh 1（m-1）-βh 2m-αh 1h 2]

[h 1， h 2=1 ， 2 ， ...， H，m=1 ， 2 ， ...， M]? ? ? （14）

[Eh=Sh+Ph， h=1 ， 2 ， ...， H]? ? ? ? ? （15）

[Ph=j=1Ji=1Iηjhlijp， h=1 ， 2 ， ...， H]? ? ?（16）

[Oh=ηjhoj， j=1， 2， ...， J， h=1， 2， ...， H]

[Wh1h2=1-yh1h2b+aOh2-Oh1， h1， h2=1， 2， ...， H]? ? ? ? ?（17）

式（2） （3） 表示最小化最大完工時(shí)間和總余材長(zhǎng)度目標(biāo)，式（4） （5） 表示同一軋制單元中，同一時(shí)刻只能加工一根鋼管且為一種外徑規(guī)格，式（6） 表示一根鋼管只能屬于一個(gè)軋制單元，式（7） 表示同一軋制單元內(nèi)不同訂單的鋼管按照訂單交付期由早到晚加工，式（8） 表示每個(gè)軋制單元長(zhǎng)度上限約束，式（9） 對(duì)預(yù)防性維護(hù)時(shí)間進(jìn)行定義，式（10） （11） 表示預(yù)防性維護(hù)時(shí)間窗的開始和結(jié)束時(shí)間的計(jì)算，且維護(hù)需在時(shí)間窗內(nèi)進(jìn)行，式（12） （13） 表示每一軋制計(jì)劃中維護(hù)需在軋制單元完工后進(jìn)行且維護(hù)完成后立即開始下一軋制計(jì)劃周期的加工，式（14） 表示若相鄰軋制單元間有預(yù)防性維護(hù)，則維護(hù)結(jié)束后無須進(jìn)行機(jī)器調(diào)整即可加工下一軋制單元，式（15） （16） 表示軋制單元的完工時(shí)間和加工時(shí)長(zhǎng)計(jì)算，式（17） 對(duì)機(jī)器調(diào)整時(shí)間進(jìn)行定義。

3 求解算法設(shè)計(jì)

針對(duì)本文問題特點(diǎn)和數(shù)學(xué)模型復(fù)雜性，采用ABC算法對(duì)問題進(jìn)行求解。 ABC算法是Karaboba[8]提出模擬蜜蜂覓食特點(diǎn)完成優(yōu)化的智能算法，被廣泛應(yīng)用于求解計(jì)劃與調(diào)度問題，蘇析超[9]針對(duì)甲板作業(yè)調(diào)度問題，引入差分進(jìn)化的交叉變異策略提高ABC算法的種群搜索效率；陳暄[10]將改進(jìn)的煙花算法與ABC算法融合，提高調(diào)度任務(wù)的求解效率。本文在傳統(tǒng)ABC算法基礎(chǔ)上，對(duì)偵察蜂階段的搜索策略融合啟發(fā)式算法進(jìn)行改進(jìn)，提高算法個(gè)體尋優(yōu)能力。下面將對(duì)改進(jìn)的ABC算法進(jìn)行詳細(xì)介紹。

3.1 編碼

個(gè)體編碼采用半編碼基因匹配結(jié)構(gòu)，分為訂單IV、軋制單元OV和預(yù)防性維護(hù)PM層， OV層編碼由IV層解碼得到。IV層為浮點(diǎn)數(shù)編碼，整數(shù)位為訂單編號(hào)，小數(shù)位為鋼管外徑規(guī)格編號(hào)。OV層為整數(shù)編碼，PM層為0/1編碼。如圖2所示，假設(shè)單位軋制單元長(zhǎng)度上限為15米，訂單1、 2中每根無縫鋼管長(zhǎng)度分別為6米和8米，則第2個(gè)基因位為軋制單元1的最后一根無縫鋼管，IV層第1、2個(gè)基因位對(duì)應(yīng)生成OV層編碼1。

3.2 解碼

對(duì)IV層編碼相同小數(shù)位即同一外徑規(guī)格的鋼管進(jìn)行長(zhǎng)度求和，軋制單元長(zhǎng)度上限值Lmax減去每個(gè)軋制單元長(zhǎng)度求得對(duì)應(yīng)余材長(zhǎng)度，多個(gè)余材長(zhǎng)度累加求和即為計(jì)劃子問題目標(biāo)值總余材長(zhǎng)度。松弛預(yù)防性維護(hù)時(shí)間約束，根據(jù)每個(gè)軋制單元的完工時(shí)間確定預(yù)防性維護(hù)位置，取維護(hù)開始時(shí)間為[SPMm=max {Dm，? Eh}]，維護(hù)后加工的軋制單元的加工開始和結(jié)束時(shí)間加上后移時(shí)間差[SPMm+T-Eh]，最后一個(gè)軋制單元的完工時(shí)間即為調(diào)度子問題目標(biāo)值最大完工時(shí)間。

3.3 跟隨蜂階段鄰域解產(chǎn)生

本文算法在IV和OV層采用逆序變異策略保證跟隨蜂階段產(chǎn)生一定數(shù)量新蜜源，以IV層為例如圖3所示，隨機(jī)選取父代P1的IV層染色體中基因段{1.1， 1.1， 2.1}和{3.2， 3.2， 4.2}，按照逆序{2.1， 1.1， 1.1}和{4.2， 3.2， 3.2}重新插入染色體中得到子個(gè)體C1。

3.4 啟發(fā)式算法

為提高偵查蜂階段調(diào)度子問題的優(yōu)秀個(gè)體篩選能力，針對(duì)編碼OV層采用啟發(fā)式算法產(chǎn)生新解，算法執(zhí)行分為初始排序和局域優(yōu)化兩步，具體執(zhí)行步驟如下：

1） 初始排序

首先將具有相同規(guī)格鋼管的軋制單元為一個(gè)批次進(jìn)行組批，然后將各個(gè)批次按照機(jī)器調(diào)整時(shí)間由小到大規(guī)則排序加工。各個(gè)軋制單元排入軋制計(jì)劃周期中后確定維護(hù)時(shí)間，形成初始序列具有最小化總機(jī)器調(diào)整時(shí)間。

2） 局域優(yōu)化

若維護(hù)前存在機(jī)器閑置時(shí)間，首先執(zhí)行交換操作，交換當(dāng)前軋制計(jì)劃周期中最后一個(gè)軋制單元與后續(xù)軋制計(jì)劃周期中的軋制單元的位置。若交換后仍無法消除閑置時(shí)間，則搜索后續(xù)軋制單元前插到交換后的軋制單元之后，如圖4所示，交換軋制單元h8和軋制單元h20，將軋制單元h19前插在軋制單元h20后消除機(jī)器閑置時(shí)間。

4 數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

本章實(shí)驗(yàn)基于Windows 10系統(tǒng)運(yùn)行，采用C++編程實(shí)現(xiàn)，開發(fā)環(huán)境為VS 2019， MATLAB R2021a繪制仿真圖。本文對(duì)某大型無縫鋼廠的生產(chǎn)數(shù)據(jù)整理并使用。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)設(shè)置如下：初始解個(gè)數(shù)100，軋制單位長(zhǎng)度鋼管的時(shí)間1分鐘，設(shè)備最小維護(hù)開始時(shí)間為30分鐘，40分鐘為一個(gè)周期，維護(hù)時(shí)間窗長(zhǎng)度為10分鐘，維護(hù)時(shí)長(zhǎng)5分鐘，機(jī)器調(diào)整時(shí)間根據(jù)式（17） 計(jì)算， 取a = 0.1，b = 1，軋制單元長(zhǎng)度上限為15米， NSGA-Ⅱ的交叉、變異概率分別取0.95和0.05，算法最大迭代次數(shù)為100。每一訂單中鋼管規(guī)格數(shù)為 [3， 6]個(gè)，對(duì)應(yīng)外徑規(guī)格為[0.3， 1]米，鋼管數(shù)量為[1， 50]根，不同訂單鋼管長(zhǎng)度為[1， 4]米?；谏鲜鰠?shù)設(shè)置7組不同規(guī)模測(cè)試案例，采用NSGA-Ⅱ、ABC算法和改進(jìn)的ABC算法對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果并進(jìn)行分析驗(yàn)證算法有效性。將算法所得非支配解中最優(yōu)解作為該次運(yùn)行結(jié)果，運(yùn)行5次后取均值作為案例最終結(jié)果。

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示，其中目標(biāo)函數(shù)為f1總余材長(zhǎng)度和f2最大完工時(shí)間。

1） NSGA-Ⅱ、ABC算法和改進(jìn)的ABC算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

改進(jìn)的ABC算法較NSGA-Ⅱ和ABC算法求得的目標(biāo)值更優(yōu)。對(duì)比相同訂單數(shù)不同鋼管規(guī)格數(shù)，相同鋼管規(guī)格數(shù)不同訂單數(shù)的案例，改進(jìn)的ABC算法優(yōu)化效果都好于ABC算法。改進(jìn)的ABC算法求解時(shí)間略長(zhǎng)于NSGA-Ⅱ和ABC算法，但改進(jìn)的ABC算法仍能在可接受時(shí)間范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)滿意的求解，符合實(shí)際應(yīng)用需求。

2） 改進(jìn)的ABC算法和ABC算法的Pareto前沿面分析

繪制改進(jìn)的ABC算法與ABC算法的Pareto近似最優(yōu)解集的散點(diǎn)圖進(jìn)行對(duì)比，圖5a、圖5b給出案例1、7的Pareto近似最優(yōu)解分布圖為例?？煽闯龈倪M(jìn)的ABC算法解集中每個(gè)解均位于ABC算法下方并具有一定的偏移量，達(dá)到了優(yōu)化效果。

5 結(jié)論

本文在最小化總余材長(zhǎng)度和最大完工時(shí)間目標(biāo)下， 研究并建立考慮設(shè)備預(yù)防性維護(hù)的熱軋訂單計(jì)劃與調(diào)度數(shù)學(xué)模型，提出了一種結(jié)合啟發(fā)式算法的改進(jìn)ABC算法對(duì)偵察蜂階段調(diào)度子問題的搜索策略進(jìn)行優(yōu)化。選用NSGA-Ⅱ，ABC算法與改進(jìn)的ABC算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的ABC算法具有良好的優(yōu)秀個(gè)體篩選能力與解集收斂性。

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【通聯(lián)編輯：聞翔軍】