楊程博

（吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130012）

引言

在信息化和全球化不斷加深的當(dāng)今，事物的發(fā)展變化也愈加復(fù)雜，愈加難以預(yù)測。在這樣的時(shí)代背景下，大學(xué)教育對于學(xué)生決策能力培養(yǎng)的必要性也愈發(fā)突出。由于所有決策都是基于概率判斷［1］，那么在只有少量信息的情況下，計(jì)算出最合理的概率并形成貝葉斯更新的能力，對相關(guān)領(lǐng)域人才的培養(yǎng)來說就是一項(xiàng)必不可少的教育。但當(dāng)前的概率論教學(xué)大都基于概率的頻率解釋，因此，導(dǎo)致學(xué)生很難理解條件概率和貝葉斯定理的內(nèi)涵［2］，這對于后續(xù)諸如貝葉斯更新這一類知識(shí)的傳授形成了巨大障礙。

以往對概率論教學(xué)的研究并沒有對這一現(xiàn)狀給予足夠的重視。許多研究只關(guān)注概率的數(shù)學(xué)計(jì)算方面，很少提及如何看待概率及其內(nèi)涵解釋。在應(yīng)用概率和獲取概率所代表的信息時(shí)，我們首先必須了解概率的準(zhǔn)確含義，才能更合理地把握所要解決的問題。因此，只強(qiáng)調(diào)概率的數(shù)學(xué)計(jì)算而不涉及對概率內(nèi)涵進(jìn)行解釋的概率教學(xué)是不可取的，僅基于頻率解釋的概率論教學(xué)也是不全面、不透徹的。綜上所述，在概率教學(xué)中強(qiáng)調(diào)對概率解釋的區(qū)別以及進(jìn)一步加深對概率內(nèi)涵的準(zhǔn)確理解和把握是十分重要的。本文將以概率解釋的歷史演進(jìn)為理論視角，梳理概率解釋的形成過程，為今后進(jìn)一步打造融入概率解釋的概率論課程設(shè)計(jì)夯實(shí)理論基礎(chǔ)。

一、概率的頻率解釋和貝葉斯解釋

安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）于1933年首次給出了概率公理化定義，該定義從數(shù)學(xué)層面來講幾乎不存在異議。然而，當(dāng)被問及概率意味著什么時(shí)，卻沒有一個(gè)公認(rèn)準(zhǔn)確的答案。本文將這種關(guān)于概率的哲學(xué)觀點(diǎn)及其意義稱為概率解釋。從骰子、彩票到測試的準(zhǔn)確性，在各種情況下處理概率問題時(shí)，概率解釋也存在明顯區(qū)別。目前的概率解釋主要有大類：頻率解釋（客觀解釋）和貝葉斯解釋（主觀解釋）。

（一）頻率解釋

概率的頻率解釋是根據(jù)相對頻率的極限來定義概率的。首先數(shù)學(xué)極限本身就是人們有限經(jīng)驗(yàn)無法達(dá)到的界限，這就涉及了用無限的理想狀態(tài)（數(shù)學(xué)極限），來解釋有限經(jīng)驗(yàn)（統(tǒng)計(jì)頻率）的合理性問題［3］。此外，頻率解釋應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)時(shí)也存在缺陷，由于事件可能不具有重復(fù)性，或者在操作上很難定義“在相同條件下”和“隨機(jī)”的含義，那么，就沒有辦法通過重復(fù)實(shí)驗(yàn)來求解此類事件的概率，這一點(diǎn)對于小概率事件尤其明顯。因此，頻率解釋更多地被應(yīng)用于物理學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科，因?yàn)檫@些學(xué)科都更關(guān)注事實(shí)證據(jù)而不是人類思維。

（二）貝葉斯解釋

概率的貝葉斯解釋基于貝葉斯定理，它的發(fā)現(xiàn)者是托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）。貝葉斯定理的發(fā)現(xiàn)在當(dāng)時(shí)并未受到關(guān)注，一直到貝葉斯過世后的1763年，相關(guān)著作《機(jī)會(huì)問題的解法》才被他的好友理查德·普萊斯（Richard Price）提交給英國皇家學(xué)會(huì)并發(fā)表［4］。貝葉斯定理認(rèn)為概率是對個(gè)人頭腦中固有信念的評(píng)估，而不是頻率解釋中隱含苛刻假設(shè)的現(xiàn)實(shí)世界特征。例如，在投注賽馬時(shí)，即使所有投注者都擁有相同的馬匹信息，但投注的結(jié)果卻各式各樣。這是因?yàn)楦鶕?jù)個(gè)人經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)得出的馬匹勝率是完全不同的。此時(shí)的概率是作為確定程度或推理手段給出的。如果勝率是從出現(xiàn)次數(shù)的相對頻率來確定的話，那么不管是誰計(jì)算這個(gè)值都應(yīng)該是一樣的。但主觀主義者認(rèn)為在人腦中有兩種信息：獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的先驗(yàn)信息，以及來自重復(fù)實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。這兩種類型的信息都能影響貝葉斯定理中的可能性函數(shù)，進(jìn)而更新相關(guān)事件的先驗(yàn)概率并給出新的概率。換句話說就是，用新的、客觀的信息更新你對某事的最初想法會(huì)產(chǎn)生更高質(zhì)量的見解。這就避免了頻率解釋應(yīng)用于實(shí)際時(shí)所遇到的困難和問題。然而，貝葉斯解釋也經(jīng)常被批評(píng)為不科學(xué)，因?yàn)樗鼪]有為如何測量先驗(yàn)概率提供指導(dǎo)。每個(gè)人可以將任何概率分配給任何事件，所以概率的貝葉斯解釋缺乏客觀基礎(chǔ)。但是，對于處理實(shí)際問題尤其是決策問題，卻是一種強(qiáng)有力的工具，即使知識(shí)是受客觀局限，也能夠做出當(dāng)前狀況下最為合理的決策。因此，在不存在苛刻的“相同條件”的情況下，在沒有多次試驗(yàn)證據(jù)的情況下，對于概率的貝葉斯解釋是更為有效的。

二、概率解釋的形成及歷史演進(jìn)

概率起源于對骰子、彩票等事物的觀測活動(dòng)。遠(yuǎn)古時(shí)代的人類就已經(jīng)開始使用動(dòng)物骨骼等，來創(chuàng)造均勻的隨機(jī)發(fā)生器，以產(chǎn)生穩(wěn)定的頻率進(jìn)行某些特定活動(dòng)，他們雖然在直覺上好像接受了某些事實(shí)，但卻始終無法正確理解其原理。直至17世紀(jì)中葉，一位法國貴族德梅萊（Demere）向布萊斯·帕斯卡（Blaise Pascal）問了一個(gè)關(guān)于擲骰子的問題。隨后帕斯卡又寫信將這個(gè)問題向皮埃爾·德·費(fèi)馬（Pierre de Fermat）討教，兩人的通信討論為后人津津樂道，也標(biāo)志著現(xiàn)代概率論的開端［5］。由于其起源于客觀隨機(jī)觀測，因此基于頻率的概率解釋，始終伴隨著概率論的早期發(fā)展。頻率解釋的普遍傳播始于福特（Ford）汽車工廠大規(guī)模生產(chǎn)技術(shù)的出現(xiàn)，因?yàn)樵诩僭O(shè)“無限人口”的情況下，事物的特征是可以用平均值來衡量的。在這樣的社會(huì)背景下，頻率解釋的實(shí)用性就進(jìn)一步增加了。1920年至1930年代，以羅德納·費(fèi)舍爾（Ronald Fisher）等為代表的頻率論者強(qiáng)調(diào)，基于多次觀察的頻率是概率，其具有任意性的主觀解釋與標(biāo)榜準(zhǔn)確和客觀的近代科學(xué)相矛盾。再加上貝葉斯定理計(jì)算的復(fù)雜性，最終，概率的貝葉斯解釋受到了強(qiáng)烈的抑制和抵觸，被人們敬而遠(yuǎn)之。

但是，在第二次世界大戰(zhàn)期間，主觀主義者成為英雄。由于戰(zhàn)時(shí)的決策者必須在無法獲得完整信息的情況下，以最佳方式快速做出生死決定，因此根本無法使用基于長期經(jīng)驗(yàn)的頻率解釋，而每次獲得情報(bào)之后都可以更新事件發(fā)生概率的貝葉斯解釋卻得到了大量的應(yīng)用。在這個(gè)過程中，艾倫·圖靈（Alan Turing）發(fā)揮了重要的積極作用，他通過基于主觀概率解釋的直觀猜測并結(jié)合貝葉斯定理，破解了德軍的加密通信系統(tǒng)Enigma。也正因如此，貝葉斯定理的相關(guān)應(yīng)用也被當(dāng)時(shí)的英國政府一度視為軍事機(jī)密。進(jìn)入1980年代，工業(yè)領(lǐng)域“大規(guī)模生產(chǎn)”的時(shí)代結(jié)束了，從有計(jì)劃的大批量生產(chǎn)轉(zhuǎn)向了“多品種、小批量”的個(gè)性化生產(chǎn)。時(shí)代背景的轉(zhuǎn)換導(dǎo)致以往運(yùn)用平均值進(jìn)行管理的模式無以為繼，概率的頻率解釋的應(yīng)用范圍也在逐步縮小。

直到今天，這兩種歷史上對立的概率解釋的界限已經(jīng)逐漸變得模糊。例如，在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，在驗(yàn)證藥物效果時(shí)使用概率的頻率解釋，而在醫(yī)學(xué)檢查中則使用概率的貝葉斯解釋。在現(xiàn)今的學(xué)術(shù)領(lǐng)域中，不再試圖根據(jù)單一的概率解釋來解釋所有現(xiàn)象了，而是根據(jù)實(shí)際問題的情況來采取不同的概率解釋，這種解決問題的靈活性和互補(bǔ)性正是頻率解釋與貝葉斯解釋對立與統(tǒng)一的體現(xiàn)。

三、基于概率解釋形成路徑的教學(xué)改進(jìn)

總結(jié)概率解釋的歷史演進(jìn)，可以發(fā)現(xiàn)對于概率的認(rèn)識(shí)始于一個(gè)直觀的想法，即如果拋出一個(gè)均勻的立方體，所有面都會(huì)以相同的可能性出現(xiàn)。這是對概率的主觀解釋，因?yàn)樗腔趥€(gè)人信念來認(rèn)識(shí)概率。但這里的個(gè)人信念是直觀的、粗糙的，因此，可以稱早期的概率解釋是一種直觀的主觀概率解釋。然后，通過大量觀測的實(shí)踐，人們遇到了一些情況，意識(shí)到了未經(jīng)多次試驗(yàn)的直覺想法是不可靠的，并開始運(yùn)用頻率來解釋概率。在此之后，歷史見證了主觀概率解釋的異軍突起和蓬勃發(fā)展。而在今天，最常見的情況是看到兩者之間的靈活運(yùn)用與相互補(bǔ)充。由此可以得到，概率解釋形成的過程經(jīng)歷了“直觀的主觀解釋——頻率解釋——貝葉斯解釋——兩種解釋對立統(tǒng)一”的演進(jìn)路徑。

現(xiàn)代概率論教材幾乎都是按照經(jīng)典知識(shí)體系進(jìn)行編排的，注重和體現(xiàn)知識(shí)之間的內(nèi)在邏輯。少有基于特定時(shí)代背景和具體數(shù)學(xué)問題的研究發(fā)展進(jìn)程為脈絡(luò)主線的著作。如此一來，這雖然保持了知識(shí)體系的完整性和嚴(yán)謹(jǐn)性，但卻對于學(xué)生理解和把握各個(gè)知識(shí)與問題間的聯(lián)系，無形地設(shè)置了較高門檻。對于數(shù)學(xué)問題發(fā)展和形成的歷史痕跡的抹除，在一定程度上違反了知識(shí)積累循序漸進(jìn)的基本規(guī)律。因此，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)在保證知識(shí)體系完整性的基礎(chǔ)上，盡可能地加入并還原相關(guān)知識(shí)的歷史發(fā)展過程，由此來降低新知識(shí)與舊知識(shí)之間的抽象性，同時(shí)也能鍛煉和培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)和技能，去解決和探索新問題的習(xí)慣和能力。

根據(jù)上述梳理出來的概率解釋形成路徑，以及當(dāng)前教學(xué)方面所面臨的不足之處，可以考慮以下幾點(diǎn)教學(xué)改進(jìn)。

第一，在概率教學(xué)所運(yùn)用的數(shù)學(xué)工具方面，強(qiáng)化概率公理化定義的地位，打破兩種概率解釋的界限。當(dāng)前大部分概率教學(xué)中涉及的概率是從費(fèi)馬、帕斯卡到伯努利再到拉普拉斯的概率論誕生時(shí)代的古典概率。雖然假設(shè)“等可能”的古典概率對于概率數(shù)學(xué)模型的初期發(fā)展是必要的，但是，在進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代的今天，越來越多的事件已經(jīng)不再符合這種假設(shè)，概率的貝葉斯解釋越來越適用且受到重視。由于柯爾莫哥洛夫在設(shè)定公理時(shí)并不需要給出概率本身的具體含義，因此，公理化概率對客觀頻率解釋和主觀貝葉斯解釋都是開放的，是研究概率問題時(shí)更具一般性和廣泛性的數(shù)學(xué)工具。

第二，要遵循人們理解概率的客觀歷史演進(jìn)規(guī)律，合理組織教學(xué)內(nèi)容，還原知識(shí)骨架上的歷史血肉。條件概率和貝葉斯定理可以說是概率論中最重要的教學(xué)內(nèi)容之一，為了更好地幫助學(xué)生去理解和掌握，應(yīng)該首先幫助學(xué)生理解概率的貝葉斯解釋。這是因?yàn)殡m然某些情況下可以根據(jù)概率的頻率解釋來計(jì)算出條件概率，但卻很難解釋其結(jié)果的意義。事實(shí)上，許多研究報(bào)告也都表明，在概率的頻率解釋下進(jìn)行條件概率和貝葉斯定理的教學(xué)，是很難讓學(xué)生理解和接受的。同時(shí)需要注意的是，概率的貝葉斯解釋雖然是個(gè)體獨(dú)有的，但必須在其內(nèi)部保持一致，符合一定的邏輯運(yùn)算規(guī)律，不能是純粹隨機(jī)的。因此，需要強(qiáng)調(diào)和事件、積事件等事件運(yùn)算以及概率的基本性質(zhì)在貝葉斯解釋中的重要性。

第三，人工智能的繁榮發(fā)展迫切要求學(xué)生具備相關(guān)的思維框架和知識(shí)儲(chǔ)備，教學(xué)思路也應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)。復(fù)雜的機(jī)會(huì)游戲的出現(xiàn)發(fā)展出了概率論；天文學(xué)家對精確預(yù)測天體軌跡的需求衍生出了誤差理論，進(jìn)一步建立了統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)。而當(dāng)今人工智能所面臨的重重困難，也迫使人們正在逐步開啟因果推斷科學(xué)的大門。概率的貝葉斯解釋對于理解“因果”的含義是十分必要的，關(guān)于原因的概率是指以時(shí)間上后出現(xiàn)的結(jié)果為條件的早期事件的概率，它無法應(yīng)用概率的頻率解釋來進(jìn)行描述和分析。在當(dāng)前學(xué)生在校期間所參加的各類數(shù)學(xué)建模競賽中，與人工智能決策相關(guān)的建模問題層出不窮，為了幫助學(xué)生順利地理解問題和解決問題，就需要在教授概率論相關(guān)知識(shí)時(shí)，擴(kuò)展介紹當(dāng)前的前沿問題及其發(fā)展方向，從而將基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)與社會(huì)問題實(shí)踐相結(jié)合，讓舊知識(shí)在學(xué)生頭腦中萌發(fā)新芽。

此外，在概率論教學(xué)中，為了讓學(xué)生切身體會(huì)到概率解釋的形成和變化過程，應(yīng)該在教學(xué)中設(shè)計(jì)相應(yīng)場景的系列例題，讓學(xué)生在遇到新問題時(shí)，自然產(chǎn)生對概率內(nèi)涵的思想轉(zhuǎn)變。當(dāng)然這個(gè)過程也需要教師根據(jù)學(xué)生的不同學(xué)習(xí)階段進(jìn)行有意識(shí)的引導(dǎo)，最終使學(xué)生養(yǎng)成靈活運(yùn)用不同的概率解釋思維去解決問題的能力。以往的許多教學(xué)研究都集中在概率的數(shù)學(xué)計(jì)算能力方面，但是，大學(xué)教育的目的是使學(xué)生獲得在復(fù)雜社會(huì)環(huán)境中運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和技能的能力。例如，在面對特定社會(huì)問題時(shí)，如何根據(jù)有限的信息做出合理的決策，以及如何評(píng)估和運(yùn)用有關(guān)風(fēng)險(xiǎn)的概率信息等。從這個(gè)角度來講，本文的研究以及提出的教學(xué)改進(jìn)思路是不可或缺的。在今后的教學(xué)探索中，也將致力于形成一系列支撐該教學(xué)目標(biāo)的教學(xué)資料。

結(jié)語

當(dāng)前的概率論教學(xué)大都很少提及如何看待概率及其內(nèi)涵解釋。本文將以概率解釋的歷史演進(jìn)為理論視角，探究概率解釋的形成和轉(zhuǎn)變過程，提倡根據(jù)人們認(rèn)識(shí)概率的客觀歷史演進(jìn)規(guī)律進(jìn)行概率教學(xué)的組織和安排，從而加深學(xué)生對概率內(nèi)涵不同維度的理解，提升學(xué)生靈活解決問題的能力。