作者簡(jiǎn)介：李曉園（1987—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

[摘 要] 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，以其為背景的綜合題在中考和模擬考中十分常見(jiàn)，探究學(xué)習(xí)時(shí)要求學(xué)生掌握分步突破、關(guān)聯(lián)探究的方法，并進(jìn)行解后總結(jié)，開(kāi)展模型構(gòu)建、拓展探究，形成類(lèi)型問(wèn)題的解法策略. 文章以一道二次函數(shù)綜合題為例，開(kāi)展解題探究，并圍繞核心之問(wèn)進(jìn)行總結(jié)反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù);面積比例;模型;相似三角形

試題探究

1. 試題呈現(xiàn)

試題 （2022年宿遷中考）如圖1所示，二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸交于O（0，0），A（4，0）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，連接OC，AC. 若點(diǎn)B是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，將△ABC沿BC折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，線段A′C與x軸交于點(diǎn)D，且點(diǎn)D與O，A兩點(diǎn)均不重合.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式.

（2）①求證：△OCD∽△A′BD;

②求的最小值.

（3）當(dāng)S=8S時(shí)，求直線A′B與二次函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

2. 解法探究

本題為二次函數(shù)與幾何相結(jié)合的綜合題，涉及三角形折疊. 題設(shè)有三問(wèn)，分別為求函數(shù)表達(dá)式，證明三角形相似及求線段比的最小值，探究面積關(guān)系，數(shù)形結(jié)合、分步突破是解題的關(guān)鍵.

第一步，利用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式.

（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2+bx+c與x軸交于O，A兩點(diǎn)，所以將O，A兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)表達(dá)式，可得c=0，

8+4b+c=0，解得b=-2，

c=0，所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-2x.

第二步，利用折疊特性進(jìn)行證明、推導(dǎo).

（2）該問(wèn)有兩個(gè)小題，破解過(guò)程如下.

①由二次函數(shù)的表達(dá)式可推知其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-2），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2. 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知OC=AC，于是有∠CAB=∠COD. 因?yàn)椤鰽BC沿BC折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，由折疊特性可知△ABC≌△A′BC，所以∠CAB=∠A′，AB=A′B. 所以∠A′=∠COD. 又∠ODC=∠BDA′，所以△OCD∽△A′BD.

②因?yàn)辄c(diǎn)C為定點(diǎn)，點(diǎn)D的位置不確定，故CO的長(zhǎng)為定值. 又由△OCD∽△A′BD，可得==，所以要求的最小值，只需求出DC的最小值即可. 由兩點(diǎn)之間的距離公式可知OC=2. 由題意設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（d，0），由兩點(diǎn)之間的距離公式可得DC==. 因?yàn)辄c(diǎn)D與O，A兩點(diǎn)均不重合，則0<d<4. 對(duì)于DC2=（d-2）2+4，可知拋物線開(kāi)口向上，故函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最小值，即當(dāng)d=2時(shí)，DC取得最小值，且最小值為2. 所以的最小值為=.

第三步，相似轉(zhuǎn)化破除面積比值關(guān)系.

（3）該問(wèn)設(shè)定為兩三角形的面積關(guān)系，即在已知S=8S的情況下，求直線A′B與二次函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解題的核心是構(gòu)建面積模型，轉(zhuǎn)化面積關(guān)系條件. 可分三步進(jìn)行，即先轉(zhuǎn)化面積關(guān)系條件推導(dǎo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求直線A′B的解析式，最后求直線A′B與二次函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 已知S=8S，所以=8. 此條件涉及△OCD和△A′BD，結(jié)合第（2）小題可知兩三角形為相似關(guān)系，即△OCD∽△A′BD，它們構(gòu)成“8”字相似模型. 結(jié)合“相似三角形的面積比等于相似比的平分”，可推得==2. 又OC=2，所以A′B=AB=1. 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）. 設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b，結(jié)合點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法容易求得

k=2，

b=-6，所以直線BC的表達(dá)式為y=2x-6. 設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（p，q），則線段A′A的中點(diǎn)的坐標(biāo)為

，. 由折疊性質(zhì)可知該中點(diǎn)在直線BC上，滿足直線BC的表達(dá)式，所以有=2×-6，解得q=2p-4. 由兩點(diǎn)之間的距離公式，可得A′B==1，即（p-3）2+（2p-4）2=1，解得p=2或p=. 當(dāng)p=2時(shí)，q=2p-4=0，此時(shí)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，0），顯然不符合題意;當(dāng)p=時(shí)，q=2p-4=，此時(shí)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為

，，符合題意. 結(jié)合B（3，0），可求得直線A′B的表達(dá)式為y=-x+4. 聯(lián)立

y=-x+4，

y=x2-2x，解得

x

=，

y

=;

x

=，

y

=.所以直線A′B與二次函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為和.

解后剖析

1. 解法剖析

此題為二次函數(shù)與幾何的綜合題，涉及兩點(diǎn)之間的距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊特性、二次函數(shù)的性質(zhì)等. 此題的第（2）（3）問(wèn)為核心之問(wèn)，其中第（2）②小題在求線段比值最值時(shí)，采用了轉(zhuǎn)化的方法，即先將線段比值轉(zhuǎn)化為線段最值，然后借助兩點(diǎn)之間的距離公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)的函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值. 而第（3）問(wèn)則是關(guān)于面積比值關(guān)系的問(wèn)題，上述破解方法的核心是利用三角形相似將其轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系，推導(dǎo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而聯(lián)立方程求解.

2. 模型解讀

此題的第（3）問(wèn)實(shí)則為二次函數(shù)背景下的面積比例問(wèn)題，可利用三角形的相似性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化面積比例條件，即把面積比值轉(zhuǎn)化為線段比值. 面積問(wèn)題中的相似模型有兩種：一是“A”字相似模型，二是“8”字相似模型，上述解法利用的是“8”字相似模型. 利用模型進(jìn)行轉(zhuǎn)化需分兩步：第一步，確定相似對(duì)應(yīng)關(guān)系;第二步，確定線段比例關(guān)系，推導(dǎo)面積比例. 下面結(jié)合模型進(jìn)行深入講解.

（1）“A”字相似模型

如圖2所示，由AD∥CM，可證得△ABD∽△MBC. 再由相似性質(zhì)，可得=，所以=

2=

2.

（2）“8”字相似模型

如圖3所示，由AB∥CM，可證得△ABD∽△MCD. 再由相似性質(zhì)，可得=，所以=

2=

2.

拓展探究

上述所示的面積比例轉(zhuǎn)化方法可視為相似轉(zhuǎn)化策略. 對(duì)于一些特殊的面積比例問(wèn)題，還可以采用等底或等高進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即基于面積公式，分析三角形的底或高關(guān)系，將面積比例轉(zhuǎn)化為線段比例.

1. 等高轉(zhuǎn)化

如圖4所示，△ABD和△ACD可視為共頂點(diǎn)A的三角形，AH為兩三角形的高，即兩三角形高相等，于是有=. 另外，實(shí)際求解時(shí)也可借助鉛垂模型，將三角形進(jìn)行分割，則構(gòu)建兩三角形高拼接，然后進(jìn)行等高轉(zhuǎn)化.

2. 等底轉(zhuǎn)化

如圖5所示，△ABD和△ACD可視為共底邊AD的三角形，即底邊相等，于是分別過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C作AD的垂線，設(shè)垂足分別為M，N，則=.

3. 實(shí)例解讀

如圖6所示，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0），C（0，3），B三點(diǎn)，且OB=OC.

（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸;

（2）P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3 ∶ 5兩部分，設(shè)直線CP與x軸的交點(diǎn)為E，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析 （1）容易求得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，對(duì)稱軸為直線x=1.

（2）分析可知直線CP把四邊形CBPA分割為△PCB和△PAC兩部分，使用鉛垂模型分別求兩三角形的面積，得S=BE×（y-y），S=AE×（y-y）. 顯然兩三角形的高相等，則=. 由題意可知=或=，于是可求得AE=或AE=，即滿足題意的點(diǎn)E的坐標(biāo)為

，0或

，0. 于是可求得直線CP的表達(dá)式為y=-2x+3或y=-6x+3. 聯(lián)立直線CP與拋物線的解析式，可求得x=4或x=8，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-5）或（8，-45）.

評(píng)析 上述第（2）問(wèn)在轉(zhuǎn)化面積比例條件時(shí)，融合鉛垂模型和等高模型，將面積比例轉(zhuǎn)化為線段比例，進(jìn)而推導(dǎo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo). 可見(jiàn)，在利用模型轉(zhuǎn)化面積比例的過(guò)程中，需要明晰兩三角形的底和高，確定兩者的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上結(jié)合面積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

教學(xué)反思

上述基于一道二次函數(shù)綜合題開(kāi)展解題探究，并對(duì)核心之問(wèn)的解法策略進(jìn)行深入解讀，探究模型，結(jié)合實(shí)例加以強(qiáng)化，其探究思路具有一定的參考價(jià)值，下面進(jìn)一步開(kāi)展教學(xué)反思.

1. 分步突破，關(guān)聯(lián)思考

二次函數(shù)綜合題一般有多個(gè)小問(wèn)，小問(wèn)之間通常相互獨(dú)立又存在一定的聯(lián)系，解析過(guò)程整體上可采用分步突破的策略，即結(jié)合設(shè)問(wèn)分別構(gòu)建模型，結(jié)合條件逐個(gè)突破，同時(shí)關(guān)注小問(wèn)之間的聯(lián)系，合理利用每一問(wèn)推導(dǎo)的結(jié)論拓寬思路、簡(jiǎn)化求解過(guò)程. 如上述破解第（2）問(wèn)時(shí)，第①題為獨(dú)立完成相似證明，而求解第②題時(shí)則充分利用第①題的相似結(jié)論，直接推導(dǎo)出線段比例關(guān)系. 教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握整體思考、局部分析的策略，將“分步突破”與“關(guān)聯(lián)思考”有機(jī)結(jié)合，從而形成良好的解題習(xí)慣.

2. 把握核心，總結(jié)方法

破解二次函數(shù)綜合題時(shí)，往往需要圍繞問(wèn)題核心開(kāi)展深入思考，逐步拆解轉(zhuǎn)化，從而讓復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化. 以上述第（3）問(wèn)為例，解析時(shí)圍繞面積比例條件構(gòu)建模型，開(kāi)展等面積轉(zhuǎn)化，進(jìn)而結(jié)合條件推導(dǎo)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，最后確定交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 解后探究要善于把握解法核心，進(jìn)行方法總結(jié)，并適度拓展，形成關(guān)聯(lián)問(wèn)題的解題策略. 即上述問(wèn)題中關(guān)于面積比例條件的轉(zhuǎn)化思路，形成了相似轉(zhuǎn)化和等線段轉(zhuǎn)化兩大策略，并分別建立了對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)化模型. 教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解后反思，總結(jié)解題的方法和思路，并構(gòu)建模型，形成類(lèi)型題的破解策略.

3. 滲透思想，提升素養(yǎng)

二次函數(shù)綜合題的破解過(guò)程可視為基于數(shù)學(xué)思想的分段構(gòu)建，即在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下進(jìn)行模型構(gòu)建、條件轉(zhuǎn)化、推理計(jì)算. 以上述考題的核心之問(wèn)的破解為例，總體上采用了數(shù)形結(jié)合的破解策略，構(gòu)建面積模型，轉(zhuǎn)化面積比例條件，推導(dǎo)關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，分類(lèi)討論逐步求解. 其中滲透了數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型、化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等思想方法. 在實(shí)際解題教學(xué)中，教師要注重思想方法的合理滲透，要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，養(yǎng)成結(jié)合數(shù)學(xué)思想思考問(wèn)題的習(xí)慣，從而逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).