黃光麟, 魯萬波

(1. 西南財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院, 成都 611130; 2. 西南財經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院, 成都 611130)

0 引 言

國內(nèi)外大量金融資產(chǎn)收益率的實證研究表明基于正態(tài)分布假設(shè)的傳統(tǒng)建模方法不再適用[1-4].同時,這也導(dǎo)致了馬克維茨的均值-方差分析和期望效用原則具有一致性的充分條件不再成立[5].馬克維茨經(jīng)典的均值-方差投資組合模型要求投資者效用函數(shù)為二次形式或者資產(chǎn)收益率分布服從正態(tài)分布,然而現(xiàn)有的大量研究表明這兩個假設(shè)難以滿足.一方面,Scott和Horvath認為將投資者的效用函數(shù)看作二次型并不恰當,他們指出在投資組合收益率分布是非對稱或厚尾時,投資者無法利用二次形式效用函數(shù)刻畫完全的分布形式,所以投資者必須考慮投資組合收益率的高階矩,如偏度和峰度等[6].另一方面,Arrow的研究表明由于資產(chǎn)收益率分布的非正態(tài)性,二次效用函數(shù)并不能反映投資者絕對風(fēng)險厭惡遞減的特征,因此均值-方差投資組合面臨著嚴重的福利損失[7].Dittmar,Mitton和Vorkink實證發(fā)現(xiàn)投資者愿意犧牲較小的收益和較大的波動性去換取一個正偏度和一個較小的峰度的投資組合[8].另外,國內(nèi)大量文獻證實了高階矩在風(fēng)險管理、經(jīng)濟預(yù)測和資產(chǎn)定價等方面發(fā)揮著重要的作用[9-11].

根據(jù)現(xiàn)有文獻將高階矩引入到投資組合中主要有兩種方法:直接法和間接法.直接法是將資產(chǎn)投資組合收益率的高階矩直接加入到均值-方差投資組合模型中作為目標函數(shù),形成均值-方差-偏度或均值-方差-偏度-峰度投資組合模型[12].但由于直接法的經(jīng)濟含義模糊和多元非凸規(guī)劃問題求解困難限制了直接法在高階矩投資組合模型的發(fā)展和應(yīng)用.間接法則通過泰勒展開,將投資者關(guān)注的函數(shù)展開為多項式形式,然后再給定階數(shù),通過優(yōu)化這個多項式求解最優(yōu)投資組合權(quán)重,這種方法將投資組合的均值-方差-偏度-峰度優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個包含均值、方差、偏度和峰度函數(shù)的優(yōu)化問題.例如,以優(yōu)化投資者期望效用(expected utility,EU)為目標[9,13];或以最優(yōu)化投資組合的尾部風(fēng)險為目標,例如在險價值(value-at-risk)和期望損失(expected shortfall),通過Cornish-Fisher展開為多項式進行優(yōu)化[14,15].間接法的優(yōu)點在于可以將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為投資組合各階矩函數(shù)的單目標優(yōu)化問題,能夠直接反映投資者追求的目標和高階矩對投資組合的邊際影響,增加了求解的可行性,同時也保證了這種方法能夠構(gòu)造資產(chǎn)個數(shù)較多的投資組合,因此得到了廣泛的應(yīng)用.

綜上所述,基于高階矩的投資組合逐漸引起學(xué)者重視,但不可避免的會面臨協(xié)高階矩存在的“維數(shù)災(zāi)難”問題.“維數(shù)災(zāi)難”是由于待估參數(shù)過多導(dǎo)致的“估計不準”與“實現(xiàn)困難”.例如,包含15只股票的投資組合的協(xié)方差,協(xié)偏度,協(xié)峰度矩陣共有3 860個參數(shù)需要估計,這些待估參數(shù)還會隨著資產(chǎn)規(guī)模增加呈指數(shù)型增長,而在時變協(xié)高階矩的估計中,由于需要考慮高階矩的時變結(jié)構(gòu),“維數(shù)災(zāi)難”的問題更加嚴重.目前,現(xiàn)有的時變高階矩投資組合考慮的資產(chǎn)規(guī)模均小于15只[9,16,17].時變協(xié)高階矩的估計困難大大限制了高階矩投資組合在金融市場的應(yīng)用.為了有效解決時變協(xié)高階矩難估計,動態(tài)高階矩投資組合難使用的問題,本研究提出了一種基于半?yún)?shù)分布時變因子(single factor time-varying semi-nonparametric,SF-TVSNP)模型的動態(tài)協(xié)高階矩建模方法,一方面通過單因子模型有效緩解了協(xié)高階矩估計的“維數(shù)災(zāi)難”問題,另一方面通過引入半?yún)?shù)分布減少模型可能存在的誤設(shè),增加模型穩(wěn)健性.在因子模型設(shè)定恰當?shù)那闆r下,各資產(chǎn)收益率可以用因子和異質(zhì)性成分的線性組合解釋,可以通過適當?shù)姆纸鈱f(xié)高階矩的時變結(jié)構(gòu)拆分為因子的時變結(jié)構(gòu)和各異質(zhì)性成分的時變結(jié)構(gòu),然后分別進行估計.基于滬深300指數(shù)成分股的投資組合分析,本研究證實了SF-TVSNP模型存在的額外經(jīng)濟價值,以及它在投資組合中表現(xiàn)出的穩(wěn)健性.

1 文獻綜述

對于本研究相關(guān)的文獻綜述將從兩個視角展開:第一,作為因子模型在估計協(xié)高階矩上的應(yīng)用,有必要對基于因子模型估計協(xié)高階矩的相關(guān)文獻進行評述;第二,作為一種新的時變協(xié)高階矩建模方法,需要對現(xiàn)有的時變協(xié)高階矩估計文獻進行評述.最后,本節(jié)將總結(jié)現(xiàn)有文獻存在的問題以及本研究的創(chuàng)新點.

因子模型可以作為一個非常有效的途徑來解決協(xié)高階矩估計中存在的“維數(shù)災(zāi)難”問題.通過對資產(chǎn)收益率施加一個線性因子的結(jié)構(gòu),將協(xié)高階矩的待估參數(shù)結(jié)構(gòu)化,從而大大減少待估參數(shù)個數(shù).例如,前文提到的包含15只股票的投資組合的前四階協(xié)高階矩有3 860個參數(shù)需要估計,利用一個三因子模型可以將其簡化為96個參數(shù).目前,根據(jù)資產(chǎn)定價方式不同,主要存在三種類型的因子模型:宏觀因子模型、基本面因子模型和統(tǒng)計因子模型[18].但是,協(xié)高階矩建模的高度復(fù)雜性與高度非線性使得現(xiàn)有的大部分因子建模方法集中在參數(shù)化的靜態(tài)建模.Martellini和Ziemann將單因子模型拓展到了協(xié)高階矩的估計,進一步給出了基于單因子模型的協(xié)高階矩壓縮估計[13].在利用多因子模型估計協(xié)高階矩方面,目前有Boudt等基于可觀測多因子模型和基于潛在因子模型討論了靜態(tài)協(xié)偏度和協(xié)峰度矩陣的估計,不僅在一定程度上緩解了“維數(shù)災(zāi)難”的問題,而且證明了樣本外投資組合的優(yōu)良性質(zhì)[14, 15].但是,多因子模型在協(xié)高階矩估計的使用存在一個關(guān)鍵性的問題—因子個數(shù)選擇.Bailey等的研究表明,在現(xiàn)有的146個可觀測因子中,市場因子(market factor)是唯一的強因子,而其他因子均為弱因子,這些弱因子只對部分資產(chǎn)具有解釋能力,并且這種解釋力隨時間變化很大.因此,將這些弱因子不加選擇的納入因子模型中可能會適得其反[19].楊冬等給出了一種靜態(tài)混頻高階矩框架下的因子個數(shù)選擇方法,通過殘差稀疏性檢驗選擇正確的因子個數(shù)[20].從目前的研究來看,鮮有學(xué)者討論具有時變協(xié)高階矩結(jié)構(gòu)下的因子個數(shù)選問題,這限制了多因子模型在時變協(xié)高階矩上的應(yīng)用.事實上,基于因子模型的時變協(xié)高階矩建模也鮮有學(xué)者提及,其難點主要集中在條件協(xié)高階矩的分解和時變結(jié)構(gòu)的估計,這也使得基于因子模型的時變結(jié)構(gòu)建模集中在協(xié)方差矩陣上[21-23].

對于多元金融資產(chǎn)收益的時變協(xié)高階矩建模,多數(shù)文獻將其轉(zhuǎn)化為多個具有相關(guān)結(jié)構(gòu)的單變量高階矩時變模型進行建模.主流的單變量時變高階矩模型有兩種:第一種是Hansen提出的自回歸條件密度(ARCD)模型,該模型中驅(qū)動高階矩參數(shù)具有GARCH模型的動態(tài)結(jié)構(gòu),利用極大似然估計方法,估計出形狀參數(shù)時變方程中的參數(shù)從而得到時變的形狀參數(shù),因此資產(chǎn)收益率的高階矩也是動態(tài)的[24];第二種是León等提出的GARCHSK模型,它對金融資產(chǎn)收益率的波動率,偏度和峰度的時變結(jié)構(gòu)直接建模,同樣賦予它們一種GARCH結(jié)構(gòu),但是GARCHSK模型假設(shè)金融收益率的分布函數(shù)為正態(tài)分布Gram-Charlier(GC)級數(shù)展開,因此它是一種基于時變高階矩的近似模型[25].上述兩種單變量模型各有優(yōu)劣,GARCHSK模型無需指定分布從而更加穩(wěn)健,ARCD模型則有漸進理論支撐其有效性.兩種模型都被廣泛應(yīng)用到時變協(xié)高階矩建模中.例如,Jondeau和Rockinger將協(xié)高階矩的動態(tài)結(jié)構(gòu)分解為不同資產(chǎn)收益率之間相關(guān)性的動態(tài)結(jié)構(gòu)和單個資產(chǎn)收益率高階矩的動態(tài)結(jié)構(gòu).他們的研究將動態(tài)條件相關(guān)(DCC)模型與ARCD模型相結(jié)合,是DCC模型在協(xié)高階矩上的擴展[16].Ghalanos等通過獨立成分分析(ICA)將金融資產(chǎn)收益率轉(zhuǎn)化為潛在獨立因素,然后估計各獨立因素邊際密度的高階矩時變參數(shù),進而估計這些獨立因素的高階矩的動態(tài)結(jié)構(gòu)[17].他們的研究是廣義正交GARCH(GO-GARCH)模型在協(xié)高階矩上的擴展,利用ICA與數(shù)個單變量ARCD模型相結(jié)合對多元金融資產(chǎn)收益率的協(xié)高階矩的動態(tài)結(jié)構(gòu)建模,稱之為GO-ARCD模型.蔣翠俠等則以ICA的思路拓展了GARCHSK模型,提出了獨立成分GARCHSK(ICASK)模型,并將其應(yīng)用到動態(tài)投資組合分析中[9].目前對于時變協(xié)高階矩建模的相關(guān)文獻仍然匱乏,并且存在以下幾個問題:首先,絕大多數(shù)文獻都采用ICA或DCC的降維方式將時變協(xié)高階矩建模轉(zhuǎn)化為數(shù)個獨立潛在序列的時變高階矩建模,當投資組合維數(shù)N較高時,上述文獻仍然不能解決“維數(shù)災(zāi)難”的問題,ICA和DCC降維方式的待估參數(shù)個數(shù)都是以O(shè)(N2)增加,當資產(chǎn)維數(shù)較高時模型仍然難以估計;其次,由于部分金融資產(chǎn)收益率極端傾斜厚尾(例如偏度絕對值大于1,峰度大于20)的特點,利用現(xiàn)有的已知分布(例如偏斜學(xué)生t分布或偏斜廣義誤差分布)已無法對其高階矩進行擬合,因此可能存在嚴重的模型誤設(shè),進而導(dǎo)致估計量不穩(wěn)健.

綜上所述,可以總結(jié)出本文的創(chuàng)新點如下:第一,通過因子模型的降維手段更好地捕捉了多元資產(chǎn)收率的潛在結(jié)構(gòu),解決了現(xiàn)有時變協(xié)高階矩建模仍無法解決的“維數(shù)災(zāi)難”問題,使動態(tài)高階矩投資組合能夠應(yīng)用于高維場景.第二,為減少時變高階矩建模可能產(chǎn)生的分布誤設(shè),引入一種半?yún)?shù)分布對時變高階矩建模,增加了模型的穩(wěn)健性和適用性;同時,通過對因子和各資產(chǎn)的異質(zhì)性成分進行時變高階矩建模,而非資產(chǎn)收益率本身,前者擁有更溫和的偏度和峰度,保證了模型的可估計性.第三,將靜態(tài)因子協(xié)高階矩估計拓展到時變協(xié)高階矩的估計中,豐富了因子模型相關(guān)理論研究.

2 半?yún)?shù)分布時變因子模型及其估計

2.1 模型形式

本研究考慮的半?yún)?shù)分布時變因子(SF-TVSNP)模型如下

(1)

(2)

其中rt=[r1t,r2t,…,rNt]T,u=[u1,u2,…,uN]T,B=[β1,β2,…,βN]T,εt=[ε1t,ε2t,…,εNt]T均為N×1的向量;ht與t分別為條件標準差與標準化異質(zhì)性成分的向量表達;“°”表示Hadamard內(nèi)積.

2.2 半?yún)?shù)分布及其條件高階矩

由于zt及it都服從標準化后的TVSNP分布,為方便起見,先從一般形式的TVSNP分布進行介紹,記TVSNP分布的概率密度函數(shù)為

q(xt,θt)=λtφ(xt)ψ2(xt,θt)

(3)

其中xt∈,θt=[θ1t,θ2t]T為參數(shù)向量,φ(·)為標準正態(tài)分布密度函數(shù),ψ(·)定義如下

(4)

Eq[xt|It-1]=4λtγ1tγ2t

(5)

因此,標準化的TVSNP隨機變量可以定義為zt=a(θt)+b(θt)xt,其中

a(θt)=-b(θt)Eq[xt|It-1]

(6)

sz,t=Eq[(at+btxt)3|It-1]

=Eq[(at+btxt)3|It-1]-3

(7)

2.3 時變結(jié)構(gòu)方程的設(shè)定

本研究需要對因子的條件均值μt(φ),條件方差σt(φ),以及形狀參數(shù)θt(?)的時變結(jié)構(gòu)進行設(shè)定,其中φ為驅(qū)動因子條件均值μt與條件方差σt的時變結(jié)構(gòu)參數(shù),?為驅(qū)動因子形狀參數(shù)θt的時變結(jié)構(gòu)參數(shù).類似的,對于每一個異質(zhì)性成分εit則需要對其條件方差hit(υi)以及形狀參數(shù)ηit(ζi)的時變結(jié)構(gòu)進行設(shè)定,其中υi與ζi分別為驅(qū)動hit和ηit的時變結(jié)構(gòu)參數(shù).對于因子的時變結(jié)構(gòu)設(shè)定如下

μt=ρ0+ρ1μt-1+ρ2ft-1

(8)

ηd,it=τd,i0+τd,i1ηd,it-1+

(9)

2.4 因子載荷的估計

由于異質(zhì)性成分之間相互獨立,因子載荷矩陣B的估計可以由N個OLS回歸一致估計,具體來說,對于資產(chǎn)i有

(10)

2.5 因子時變結(jié)構(gòu)的估計

對于因子的時變參數(shù)可以通過極大似然估計完成.但是,由于高階矩時變結(jié)構(gòu)的高度非線性化,直接同時估計均值、方差、高階矩方程較為困難.許多學(xué)者建議在參數(shù)估計過程中可以按照“簡單到復(fù)雜”的原則來進行多階段的估計,即先估計均值-方差方程中的參數(shù),然后再將其得到的結(jié)果作為高階矩方程的初始值[26,27,29-31].本研究參照León和íguez[26, 27],王鵬[29]采用的兩階段估計對因子的時變結(jié)構(gòu)進行估計.具體來說,由式(1)和式(3)可知因子的條件概率密度函數(shù)為

(11)

其中at=a(θt(?))和bt=b(θt(?))的定義在2.2節(jié)給出,θt(?)=[θ1t(?),θ2t(?)]T為It-1可測的參數(shù)向量,?為θt時變結(jié)構(gòu)方程中的待估參數(shù).于是TVSNP模型的樣本對數(shù)似然函數(shù)為

lnσt(φ)-lnb(θt)

(12)

lnσt(φ)

(13)

2.6 異質(zhì)性成分時變結(jié)構(gòu)的估計

由于異質(zhì)性成分的時變結(jié)構(gòu)設(shè)定與因子類似,可以參考2.5節(jié)的估計方法對N個異質(zhì)性成分的時變參數(shù)進行估計,需要注意的是,異質(zhì)性成分不包含時變的均值結(jié)構(gòu)且基于估計的異質(zhì)性成分,其似然函數(shù)如下

(14)

1)隨樣本長度T→∞,

2)隨樣本長度T→∞,

lnLi(υi,ζi)|→0 a.s.

3 時變協(xié)高階矩的估計與識別

基于第2節(jié)對于SF-TVSNP模型參數(shù)的估計,本節(jié)給出資產(chǎn)收益率的時變協(xié)高階矩的估計方法.

3.1 時變協(xié)高階矩表示及其分解

參考Jondeau和Rockinger[28]引入的高階矩張量記法,將資產(chǎn)收益率的條件協(xié)方差矩陣,條件協(xié)偏度矩陣,條件協(xié)峰度矩陣中的元素定義如下

σij,t=E[(rit-mit)(rjt-mjt)|It-1]

sijk,t=E[(rit-mit)(rjt-mjt)(rkt-mkt)|It-1]

kijkl,t=E[(rit-mit)(rjt-mjt)(rkt-mkt)

(rlt-mlt)|It-1]

(15)

因此,它們的矩陣表達式為

Σt=E[(rt-mt)(rt-mt)T|It-1]

={σij,t}N×N

St=E[(rt-mt)(rt-mt)T?(rt-mt)T|It-1]

={sijk,t}N×N2

Kt=E[(rt-mt)(rt-mt)T?(rt-mt)T?

(rt-mt)T|It-1]={kijkl,t}N×N3

(16)

進一步,定義協(xié)超額峰度矩陣EKt,其中的元素為

ekijkl,t=kijkl,t-σij,tσkl,t-σik,tσjl,t-σil,tσjk,t

(17)

其矩陣表達為EKt={ekijkl,t}N×N3.接下來考慮對條件協(xié)方差矩陣,條件協(xié)偏度矩陣,條件協(xié)峰度矩陣進行分解,以協(xié)方差矩陣為例,由式(15)有

σij,t=E[(rit-mit)(rjt-mjt)|It-1]

=E[(βiσtzt+εit)(βjσtzt+εjt)|It-1]

E[βiσtztεjt|It-1]+E[βjσtztεit|It-1]+

E[εitεjt|It-1]

(18)

同理對條件協(xié)偏度矩陣分解有

sijk,t=E[(rit-mit)(rjt-mjt)(rkt-mkt)|It-1]

=E[(βiσtzt+εit)(βjσtzt+εjt)×

(βkσtzt+εkt)|It-1]

(19)

ekijkl,t=kijkl,t-σij,tσkl,t-σik,tσjl,t-σil,tσjk,t

=E[(rit-mit)(rjt-mjt)(rkt-mkt)(rlt-mlt)|It-1]-

σij,tσkl,t-σik,tσjl,t-σil,tσjk,t

E[εitεjt|It-1]E[εktεlt|It-1]-E[εitεkt|It-1]

E[εjtεlt|It-1]-E[εitεlt|It-1]E[εjtεkt|It-1]

(20)

(21)

{Kt}ijkl={EKt}ijkl+σij,tσkl,t+σik,tσjl,t+

σil,tσjk,t

(22)

3.2 條件協(xié)高階矩的估計

通過2.4 節(jié)～ 2.6節(jié)分別對于因子載荷、因子時變結(jié)構(gòu)以及異質(zhì)性成分時變結(jié)構(gòu)的估計,結(jié)合式(21)對于時變協(xié)高階矩的分解,可以得到金融資產(chǎn)收益率的條件協(xié)高階矩如下

(23)

(24)

3.3 時變高階矩的識別檢驗

建立時變高階矩模型的首要前提是對應(yīng)序列分布的偏度和峰度具有時變特征,即序列存在類似于條件異方差性的條件異偏度和條件異峰度特征.現(xiàn)有文獻中涉及檢驗資產(chǎn)收益率序列是否存在異偏度和異峰度特征的研究主要集中在兩種框架:第一類方法是先估計某種時變高階矩模型(如GARCHSK模型和ARCD模型),再通過檢驗與時變偏度和時變峰度對應(yīng)的時變系數(shù)的顯著性來判斷資產(chǎn)收益率序列是否存在異偏度和異峰度特征,這其中常用的檢驗有瓦爾德(Wald)檢驗和似然比(LR)檢驗[26,32];第二類方法是對資產(chǎn)收益率序列擬合GARCH模型后得到的殘差或者標準化殘差來進行回歸檢驗,例如Jondeau和Rockinger[28]類比ARCH效應(yīng)檢驗對標準化殘差的三次方和四次方序列對其滯后項構(gòu)造LM統(tǒng)計量進行檢驗,賈婧等[33]則通過概率積分變換改進了Jondeau和Rockinger的LM統(tǒng)計量,取得了更高的功效.

SF-TVSNP模型需要分別對因子與異質(zhì)性成分進行時變高階矩識別檢驗,參考Vuong[34]和León和íguez[26]的方法,本研究通過構(gòu)建似然比檢驗對時變高階矩進行識別.具體來說,似然比檢驗通過比較TVSNP模型與嵌套的CSNP模型的對數(shù)似然函數(shù)值進行檢驗,對于因子的時變高階矩檢驗有如下結(jié)論

(25)

(26)

3.4 維數(shù)災(zāi)難

由于時變高階矩建模面臨著嚴重的“維數(shù)災(zāi)難”問題,如何將時變高階矩投資組合應(yīng)用到高維場景成為一大難題.時變高階矩建模的“維數(shù)災(zāi)難”問題主要體現(xiàn)在“估計不準”與“實現(xiàn)困難”上.“估計不準”是指待估參數(shù)過多導(dǎo)致估計量自由度小、方差大.“實現(xiàn)困難”是指大量參數(shù)估計需要占用大量內(nèi)存與時間,尤其高階矩參數(shù)估計具有高度非線性的特點,進一步增加了估計難度.

4 模擬研究

本節(jié)通過構(gòu)建蒙特卡洛模擬對SF-TVSNP模型的有限樣本性質(zhì)進行驗證,主要集中在SF-TVSNP模型的穩(wěn)健性.SF-TVSNP模型使用時變半?yún)?shù)分布(TVSNP)對因子與異質(zhì)性成分的高階矩時變結(jié)構(gòu)建模,放松了對分布的假定,與之對應(yīng)的是需要給定分布的自回歸條件密度(ARCD)模型.Ghalanos等采用偏學(xué)生t(SST)分布與偏廣義誤差(SGE)分布進行ARCD建模,進而估計金融資產(chǎn)收益率的條件高階矩.但是,由于真實數(shù)據(jù)的條件分布未知,錯誤的給定條件分布可能會導(dǎo)致嚴重的模型誤設(shè)問題,進而導(dǎo)致估計結(jié)果不穩(wěn)健.本節(jié)將會比較TVSNP模型與給定分布的ARCD模型對于條件高階矩的估計.

為使模擬更具真實性,本節(jié)的模擬數(shù)據(jù)通過真實數(shù)據(jù)參數(shù)校準的方法給出.由于因子與異質(zhì)性成分建模方法相同,限于篇幅本節(jié)只對因子的條件高階矩進行模擬估計.用于參數(shù)校準的數(shù)據(jù)為2005年7月1日至2019年6月30日的滬深300指數(shù).本節(jié)的模擬步驟如下.

表1匯報了T=1 000時,重復(fù)500次模擬后各方法RMSE的均值與標準差.當真實分布分別為SGE與SST時,基于SNP分布的條件矩估計表現(xiàn)基本相同,受真實分布設(shè)定影響很小.對于基于SST分布的ARCD模型,當真實分布為SGE時,在估計條件偏度與條件峰度存在較大偏誤,同時條件峰度RMSE的標準差較大,估計量由于模型誤設(shè)的原因非常不穩(wěn)定.另外,在所有方法中,基于SNP分布的RMSE擁有最小的標準差,進一步體現(xiàn)了其穩(wěn)健性.

表1 不同分布設(shè)定下條件矩估計量的RMSETable 1 RMSE of conditional moments under different distribution specifications

5 實證分析

5.1 動態(tài)高階矩投資組合

(27)

其中μt+1,Σt+1,St+1,Kt+1為資產(chǎn)收益率向量rt+1的前四階條件協(xié)高階矩;α,B為SF-TVSNP模型中的截距與因子載荷.參考Martellini和Ziemann[13],Jondeau和Rockinger[16]對于常相對風(fēng)險厭惡效用函數(shù)(constant relative risk aversion,CRRA)的前四階展開,可以得到期望效用表達式為

(28)

其中γ為常相對風(fēng)險厭惡的測度參數(shù),通過最大化式(28),可以得到t+1時刻基于期望效用最大化的最優(yōu)投資組合.另外,通過對t+1時刻的條件VaR進行四階Cornish-Fisher展開,本研究可以得到修正VaR表達式為

(29)

5.2 數(shù)據(jù)與實證設(shè)計

為了保證本文中的研究具有代表性,充分反映中國股票市場中可能存在的高階矩特征,本文對滬深300指數(shù)中成分股進行分析,參照中證指數(shù)有限公司對于滬深300指數(shù)的編制表,以2018年5月31日的成分股列表作為依據(jù),將2005年7月1日至2019年6月30日的上市股票日度收益率(樣本長度為3 403日)作為研究對象.由于時間跨度大,部分成分股上市較晚或已退市以及一部分成分股有長時間停盤,本研究保留缺失值不超過3年,共計206只成分股作為研究對象.對于少量股票在樣本初期并未上市的股票,將會在其上市后被納入投資組合中.另外,本研究選擇滬深300指數(shù)作為市場因子的代理變量.表2對因子與成分股進行了描述性統(tǒng)計,由于成分股較多,本研究展示了成分股對應(yīng)統(tǒng)計量的分布特征.從表2可以發(fā)現(xiàn),指數(shù)相較于成分股擁有更溫和的偏度與峰度.同時所有序列都平穩(wěn)且具有非正態(tài)性,這是金融資產(chǎn)收益率的典型特征.

表2 收益率序列描述性統(tǒng)計Table 2 Descriptive statistics of asset returns

為減少樣本選擇偏誤,使結(jié)果更具一般性,本文的實證設(shè)計參考了Martellini和Ziemann[13]的投資組合研究.具體來說,本研究將206只滬深300成分股看作一籃子股票,將2010年1月1日—2019年6月30日作為樣本外區(qū)間,每一年從籃子中隨機抽取資產(chǎn)個數(shù)N的投資組合,因此,對于每一種資產(chǎn)規(guī)模N,樣本外區(qū)間中每一年的投資組合都不同,基于此,本研究完成整個樣本外區(qū)間的回測,進而通過分析10年樣本外表現(xiàn)得到最終結(jié)果.為保證有充足的數(shù)據(jù)對模型進行估計,使用樣本外區(qū)間前5年的日度數(shù)據(jù)來估計投資組合的時變協(xié)高階矩,并通過滾動窗口估計給出下一日的最優(yōu)投資組合權(quán)重,并將該投資組合持有一周.因此,本研究得到了10年共2 305日(464周)樣本外投資組合.最后,通過5.1節(jié)介紹的高階矩投資組合函數(shù)(EU)對樣本外投資組合進行優(yōu)化,對優(yōu)化后的樣本外收益率和投資權(quán)重進行分析.

為更好刻畫SF-TVSNP模型對于“維數(shù)災(zāi)難”問題的解決,本文選擇N=10與N=100分別代表低維與高維投資組合,目前動態(tài)高階矩投資組合的資產(chǎn)規(guī)模集中在N<15上[9,16,17],鮮有文獻對于高維動態(tài)高階矩投資組合進行實證研究.

5.3 因子與異質(zhì)性成分的時變高階矩估計

因子與異質(zhì)性成分的時變高階矩特征是SF-TVSNP模型的核心,在進行動態(tài)投資組合分析前,有必要對這兩部分的估計結(jié)果進行分析.需要注意的是,在每一種資產(chǎn)規(guī)模下,本文隨機抽取部分股票構(gòu)建投資組合,而因子在整個實證分析中是唯一的.為了在有限篇幅下展示市場的時變高階矩特征,本研究主要對因子的TVSNP模型估計結(jié)果進行分析,異質(zhì)性成分的時變高階矩特征則會通過時變性檢驗的方式呈現(xiàn).

表3 滬深300指數(shù)TVSNP模型估計結(jié)果Table 3 Estimated TVSNP coefficients of CSI300

進一步,基于TVSNP和CSNP的估計結(jié)果,圖1給出了滬深300指數(shù)的條件高階矩在樣本內(nèi)的變化趨勢.可以很明顯的觀察到TVSNP模型捕捉到了指數(shù)在樣本內(nèi)的時變高階矩特征,當股災(zāi)發(fā)生時,條件偏度和條件峰度出現(xiàn)了類似于波動率的聚集性,其中條件偏度為負向聚集.CSNP模型則無法對高階矩時變特征進行估計,比較兩者結(jié)果可以直觀感受到對高階矩進行時變結(jié)構(gòu)建模的優(yōu)越性.

圖1 滬深300指數(shù)時變高階矩特征Fig.1 Time varying higher-order moments of CSI300

對于異質(zhì)性成分的時變高階矩分析主要通過假設(shè)檢驗進行,為使研究結(jié)果更具一般性,本研究對樣本區(qū)間內(nèi)206只成分股的異質(zhì)性成分進行時變高階矩檢驗,顯著性水平α分別取10%,5%,1%.由于該檢驗為多重檢驗(multiple test)問題,本文采用Sidák方法對顯著性水平進行校正,即αcorr=1-(1-α)n,其中n=206為檢驗個數(shù).本文分別對各異質(zhì)性成分的時變異方差性,常高階矩性與時變高階矩性進行檢驗:時變異方差檢驗通ARCH檢驗完成,常高階矩檢驗通過對η0i的t檢驗完成,時變高階矩檢驗通過式(26)的似然比檢驗完成.

表4匯報了所有異質(zhì)性成分中上述三種檢驗顯著的頻率,可以看到異質(zhì)性成分的時變異方差性與常高階矩性普遍存在,但高階矩時變結(jié)構(gòu)并不是普遍存在的,在1%顯著性水平下,只有1.46%股票的異質(zhì)性成分拒絕了原假設(shè).這意味著SF-TVSNP模型可以對異質(zhì)性成分的時變結(jié)構(gòu)進行簡化,只需要對時變異方差與常高階矩進行建模,本文將在下一節(jié)進行驗證.

表4 資產(chǎn)異質(zhì)性成分假設(shè)檢驗頻率統(tǒng)計Table 4 Frequency summary of the LR statistics of the idiosyncratic errors

5.4 動態(tài)投資組合分析

本節(jié)的投資組合分析遵循5.2節(jié)的實證設(shè)計.通過5.3節(jié)的時變高階矩特征分析,基于異質(zhì)性成分時變高階矩特征不是普遍存在的事實,本文考慮了異質(zhì)性成分為常數(shù)半?yún)?shù)分布的SF-ECSNP(sF-error constant SNP)模型作為SF-TVSNP的嵌套模型.為了充分體現(xiàn)SF-TVSNP模型在動態(tài)投資組合的經(jīng)濟價值,本文從橫縱兩個方向選取現(xiàn)有模型進行比較.從縱向看,SF-TVSNP模型可以看作Martellini和Ziemann[13]提出的靜態(tài)單因子(SF)協(xié)高階矩估計在動態(tài)結(jié)構(gòu)上的改進,因此SF估計可以作為縱向比較的門檻(Benchmark)模型;從橫向看,SF-TVSNP 模型需要與其他時變協(xié)高階矩模型比較優(yōu)劣,本研究選取了指數(shù)加權(quán)移動平均(EWMA)模型(2)EWMA模型中的移動平均參數(shù)設(shè)定為0.95.,以及ICASK模型[9]作為橫向比較的門檻模型.同時,本研究同樣考慮均值-方差投資組合(MV)作為門檻模型,協(xié)方差矩陣由單因子模型估計得到.從投資組合的角度,本研究選取了等權(quán)重(EW)投資組合作為投資組合門檻模型.

本研究通過以下指標來衡量樣本外投資組合的表現(xiàn): 1)年化收益率; 2)年化標準差; 3)修正風(fēng)險價值(Modified VaR); 4)標準化偏度與超額峰度; 5)年化夏普比率; 6)換手率(Turnover); 7)最大回撤(Max Drawdown).其中修正風(fēng)險價值定義如式(29)所示,換手率定義為

(30)

(31)

其中c為交易費率,設(shè)定為0.5%.在計算夏普比率時,本文選擇央行公布的一年定存基準利率作為市場無風(fēng)險利率.本節(jié)中動態(tài)投資組合目標函數(shù)為CARA效用函數(shù)(γ=10),同時投資組合不考慮賣空(?wi≥0).

表5給出了不同方法與不同資產(chǎn)規(guī)模(N=10與N=100)下樣本外投資組合的表現(xiàn).需要注意,當N=100時,ICASK與EWMA模型由于“維數(shù)災(zāi)難”的原因無法實現(xiàn),因此本研究將其略去.從表5中總結(jié)出以下幾點結(jié)論:1)以考慮交易費用后的夏普比率與最大回撤率作為評價標準,在所有資產(chǎn)規(guī)模下,SF-TVSNP(SF-ECSNP)投資組合有著最優(yōu)表現(xiàn),同時SF-TVSNP與SF-TVSNP表現(xiàn)基本一致,這與表3的結(jié)論相符,對異質(zhì)性成分的動態(tài)高階矩建模產(chǎn)生的額外收益甚微; 2) 相較于其他動態(tài)投資組合, SF-TVSNP投資組合的表現(xiàn)更加穩(wěn)健,體現(xiàn)在擁有更小的年化標準差、風(fēng)險價值與最大回撤.當N=10時,盡管ICASK擁有較高的年化收益,但伴隨的時較高的投資風(fēng)險(39.278%的年化標準差,4.011%的風(fēng)險價值與74.271%的最大回撤),而SF-TVSNP的風(fēng)險指標均大幅優(yōu)于ICASK,體現(xiàn)了該方法的穩(wěn)健性.當N=100時,SF-TVSNP投資組合的各項風(fēng)險指標均為最優(yōu),充分體現(xiàn)了SF-TVSNP模型所具有的額外經(jīng)濟價值; 3)隨著N從10增加到100,各投資組合風(fēng)險指標均得到改善,體現(xiàn)了高維投資組合能夠更好的分散風(fēng)險的特點,其中SF-TVSNP投資組合的改進幅度最大;4)相較于ICASK投資組合,SF-TVSNP有著相對較小的換手率,同時靜態(tài)投資組合比動態(tài)投資組合有著更小的換手率,這與Martellini和Ziemann[13]的結(jié)論一致.隨著N增大,SF-TVSNP投資組合與SF和MV投資組合換手率之間的差距減小.

表5 樣本外投資組合表現(xiàn)Table 5 Out of sample portfolio performance

綜合以上結(jié)論可以得到SF-TVSNP(SF-ECSNP)模型相較于現(xiàn)有的動態(tài)(靜態(tài))協(xié)高階矩估計方法有著更高的經(jīng)濟價值.縱向來看,引入了因子與異質(zhì)性成分的高階矩時變結(jié)構(gòu)的SF-TVSNP模型對靜態(tài)因子模型進行了改進;橫向來看,因子模型相較于獨立成分分析更加適合解決協(xié)高階矩的“維數(shù)災(zāi)難”問題,這體現(xiàn)在 SF-ECSNP模型相較于ICASK模型有更優(yōu)且更穩(wěn)定的表現(xiàn),同時SF-ECSNP模型能夠應(yīng)用于高維投資組合,有利于更好的分散風(fēng)險.

5.5 穩(wěn)健性分析

本節(jié)將評估5.4節(jié)的實證結(jié)果對實證設(shè)計和參數(shù)設(shè)定的各種變化的敏感性.具體來說,本研究考慮了以下四種不同的設(shè)定并探究其對動態(tài)投資組合結(jié)果的影響.

1)考慮到因子和異質(zhì)性成分的條件異方差結(jié)構(gòu)可能存在的非對稱效應(yīng)和杠桿效應(yīng),本文考慮了GJR-GARCH(1,1)和TGARCH(1,1)擬合條件異方差結(jié)構(gòu).GJR-GARCH的設(shè)定如下

(32)

GJR-GARCH能夠捕捉到一個 GARCH 模型無法描述的實證現(xiàn)象,即t-1時刻的負面沖擊比正面沖擊對t時刻的方差有更強烈的影響,即杠桿效應(yīng).TGARCH則通過一個分段結(jié)構(gòu)對條件方差中的非對稱效應(yīng)進行擬合,其設(shè)定如下

(33)

2)投資組合優(yōu)化函數(shù)中參數(shù)設(shè)定直接反映了投資者的偏好,例如CRRA期望效用函數(shù)中的γ參數(shù)反映了投資者的風(fēng)險厭惡程度,本研究進而考慮了γ=1(較低風(fēng)險厭惡程度)和γ=15(較高風(fēng)險厭惡程度)時投資組合的表現(xiàn).

3)考慮以式(29)的VaR函數(shù)作為投資組合優(yōu)化函數(shù).VaR函數(shù)中α代表優(yōu)化的風(fēng)險價值的水平,越小的α代表著越高的對于極端風(fēng)險的承受能力,本文在穩(wěn)健性分析中取α=0.01與α=0.05.

4)本文考慮了樣本長度對于估計結(jié)果的影響.為了不改變樣本外區(qū)間(2010年1月1日—2019年6月30日),本文選擇了如下兩種不同的滾動樣本: 第一,仍然以2005年7月1日—2009年12月31日作為起始估計,但采用遞歸樣本對樣本外區(qū)間進行滾動估計;第二,以2006年1月1日—2009年12月31日(共4年日度數(shù)據(jù))作為起始估計,仍然采用滾動窗口方式對樣本外區(qū)間進行滾動估計.兩種方法分別對應(yīng)著較多和較少的樣本長度.

為使穩(wěn)健性分析更具代表性,減少樣本選擇偏誤,本研究僅考慮高維投資組合(N=100),同時由于SF-ECSNP與SF-TVSNP模型表現(xiàn)基本一致,限于篇幅,本文僅匯報上述設(shè)定對SF-ECSNP模型的影響,評價標準仍然采用5.4節(jié)介紹的評價指標.表6給出了上述四種穩(wěn)健性檢驗的樣本外表現(xiàn).對于檢驗1),采用GJR-GARCH或TGARCH設(shè)定后,SF-ECSNP的表現(xiàn)有所提升,這與理論相符,由于GJR-GARCH與TGARCH捕捉到了條件異方差結(jié)構(gòu)的杠桿效應(yīng),進而提升了投資組合整體表現(xiàn);對于檢驗2)與檢驗3),表6的結(jié)論與表5基本保持一致,即SF-ECSNP模型對于目標函數(shù)與風(fēng)險厭惡程度具有穩(wěn)健性;對于檢驗4),4年期滾動窗口會使投資組合表現(xiàn)小幅降低,這是由于時變結(jié)構(gòu)的估計需要較大樣本量支持,尤其是時變高階矩結(jié)構(gòu)方程的估計.另一方面,當采用遞歸樣本進行樣本外投資組合時,年化收益率與夏普比率有所提升,但各項風(fēng)險指標有所下降,可能原因是數(shù)據(jù)時間跨度太長,例如始終包含2008年次貸危機的極端數(shù)據(jù)對模型進行估計,這不利于估計過程中新的結(jié)構(gòu)進入.綜合穩(wěn)健性分析的結(jié)果,SF-ECSNP模型的各項風(fēng)險指標表現(xiàn)具有穩(wěn)健性,這與蒙特卡洛模擬的結(jié)論一致,通過引入半?yún)?shù)分布保證了條件高階矩估計量的穩(wěn)健性,進而保證了動態(tài)投資組合穩(wěn)定的超額收益.另外,根據(jù)穩(wěn)健性分析的結(jié)果,可以通過引入GJR-GARCH(或TGARCH)結(jié)構(gòu)改進動態(tài)投資組合表現(xiàn).

表6 SF-ECSNP投資組合的穩(wěn)健性分析Table 6 The robust checks of the SF-ECSNP portfolio

6 結(jié)束語

基于協(xié)高階矩的投資組合研究不可避免的需要解決協(xié)高階矩估計存在的“維數(shù)災(zāi)難”問題.在時變協(xié)高階矩建模中,絕大多數(shù)學(xué)者都采用獨立成分分析或動態(tài)條件相關(guān)的方式進行降維,將多維時變協(xié)高階矩建模轉(zhuǎn)化為多個獨立潛在序列的時變高階矩建模,由于其假設(shè)的嚴苛和復(fù)雜的計算,這類模型在現(xiàn)實數(shù)據(jù)的表現(xiàn)并不好,只能用于低維投資組合且可能存在嚴重的模型誤設(shè)問題.因此本研究提出了一種基于半?yún)?shù)分布因子(SF-TVSNP)模型的時變協(xié)高階矩建模方法,通過因子結(jié)構(gòu)對時變協(xié)高階矩進行分解降維,同時引入半?yún)?shù)分布提高模型的穩(wěn)健性.本研究在Martellini和Ziemann的靜態(tài)單因子協(xié)高階矩估計中,賦予因子與異質(zhì)性成分時變半?yún)?shù)分布,對時變半?yún)?shù)分布的形狀參數(shù)進行建模,通過OLS回歸和兩階段極大似然估計分別估計了因子載荷,因子時變結(jié)構(gòu)和異質(zhì)性成分時變結(jié)構(gòu).進一步通過協(xié)高階矩在因子模型下的分解,最終給出了時變協(xié)高階矩的估計.蒙特卡洛模擬證實了時變半?yún)?shù)分布建模的穩(wěn)健性.基于滬深300指數(shù)成分股的動態(tài)投資組合分析和穩(wěn)健性檢驗證實了SF-TVSNP模型存在穩(wěn)定的、額外的經(jīng)濟價值.

主要研究結(jié)果: 1)通過建立SF-TVSNP模型估計金融資產(chǎn)收益率的時變協(xié)高階矩,給出了模型設(shè)定,估計和時變高階矩時變檢驗方法,豐富了時變協(xié)高階矩估計相關(guān)文獻; 2)實證分析表明,滬深300指數(shù)存在顯著時變高階矩特征,并且呈現(xiàn)出類似于波動率的聚集性,當金融危機發(fā)生時,條件偏度會負向聚集,而條件峰度會正向聚集.同時,其成分股異質(zhì)性成分的時變高階矩特征并不普遍存在,基于此,本研究構(gòu)建更加容易估計的SF-ECSNP模型; 3)相比于現(xiàn)有動態(tài)(靜態(tài))協(xié)高階矩估計方法,基于SF-TVSNP模型的投資組合有更優(yōu)的樣本外表現(xiàn),各項風(fēng)險指標均優(yōu)于現(xiàn)有方法.同時,SF-TVSNP模型能夠應(yīng)用于高維投資組合(N=100),實現(xiàn)了高維動態(tài)高階矩投資組合; 4)基于SF-TVSNP模型的投資組合通過了穩(wěn)健性檢驗,其表現(xiàn)基本不會受到用戶設(shè)定的影響.本研究提供了一種更合理、表現(xiàn)更好、更穩(wěn)定的高維時變協(xié)高階矩建模方法.基于研究結(jié)論,可以為市場投資參與者和市場監(jiān)督管理者提供風(fēng)險管理技術(shù)和科學(xué)決策依據(jù).