郭園園

目前我國(guó)居民身份證號(hào)碼總共是18位，前17位都有具體含義：前6位是首次辦身份證時(shí)所在的省、市、區(qū)的代碼，中間8位是持證人的出生年、月、日，后面3位是申請(qǐng)戶籍時(shí)派出所的分配碼。唯獨(dú)最后一位數(shù)字，是對(duì)前面的數(shù)字進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算后得出的，它是一個(gè)校驗(yàn)碼。有的人會(huì)問：“為什么我身份證號(hào)的最后一位是字母X？”其實(shí)，這并不是字母X，而是羅馬數(shù)字Ⅹ。為什么不寫成10呢？因?yàn)槿绻麑懗?0，身份證號(hào)就變成19位了。在編碼學(xué)中，不一樣的數(shù)位不太容易存儲(chǔ)和使用。那為什么最后一位的校驗(yàn)碼會(huì)算出10呢？其實(shí)，這種算法已經(jīng)有上千年的歷史了。

來自絲綢之路的數(shù)學(xué)

首先，我們來看一種古老的算法：棄九法。

15世紀(jì)初，撒馬爾罕城的統(tǒng)治者兀魯伯格很愛鉆研科學(xué)。他編訂了《兀魯伯格歷》。這么喜歡科學(xué)的一個(gè)人，當(dāng)然也很喜歡從帝國(guó)境內(nèi)網(wǎng)羅各種數(shù)學(xué)、天文學(xué)人才。

阿爾·卡西是兀魯伯格手下的首席科學(xué)家，也是兀魯伯格天文臺(tái)的第一任臺(tái)長(zhǎng)。當(dāng)時(shí)的首席科學(xué)家不僅要幫助皇帝解決最困難的數(shù)學(xué)、天文學(xué)問題，還要給帝國(guó)境內(nèi)的工匠、官員，還有兒童、青少年編訂數(shù)學(xué)書。他編的這本書的名字叫《算術(shù)之鑰》，就是算術(shù)的鑰匙的意思。這本書囊括了跟今天小學(xué)和初中數(shù)學(xué)類似的內(nèi)容：算術(shù)、代數(shù)、幾何，書的第一卷講的是整數(shù)的運(yùn)算，比如加法、減法、乘法、除法，其中有一個(gè)算法很有意思，叫棄九法。

要了解棄九法，首先要弄清楚什么叫棄九數(shù)。比如，數(shù)字3217，把它每一位上的數(shù)字連續(xù)相加，3加2加1加7等于13；繼續(xù)把13的每一位上的數(shù)字相加，1加3等于4。直到得到個(gè)位數(shù)字4為止，這個(gè)4就是3217的棄九數(shù)。其實(shí)這個(gè)棄九數(shù)就是3217除以9之后的余數(shù)，只不過這種連續(xù)相加的方法是一種快速算法。

棄九數(shù)有什么用？它最主要的作用是檢驗(yàn)運(yùn)算是否準(zhǔn)確。比如，現(xiàn)在要檢查3169乘以732等于2319708是否正確。如果沒有別的方法的話，只能把它重新算一遍。但是用棄九法，首先把3169的棄九數(shù)求出來——1，再算出732的棄九數(shù)——3，接著算出2319708的棄九數(shù)——3，最后我們核驗(yàn)一下1乘以3等于3，結(jié)果是正確的。這就是古人的驗(yàn)算方法，其中充滿了智慧。大部分的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)普通人來講就是為了應(yīng)用。

阿爾·卡西作為首席科學(xué)家輔佐兀魯伯格制定天文歷法的時(shí)候，需要進(jìn)行大量運(yùn)算。為了達(dá)到高精度的運(yùn)算，阿爾·卡西也需要檢驗(yàn)。作為一流的數(shù)學(xué)家，他在思考高維問題的時(shí)候比普通人具有優(yōu)勢(shì)，但如果只是比純粹的加減乘除運(yùn)算，數(shù)學(xué)家與普通人之間其實(shí)并無差別。

從棄九到同余

隨著歐洲文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)的開展，阿拉伯的許多算法傳到了歐洲。而從明朝開始，西方的數(shù)理科學(xué)知識(shí)大量傳入我國(guó)，形成西學(xué)東漸。

在棄九法發(fā)展的過程中，數(shù)學(xué)家們又逐漸認(rèn)識(shí)到棄七法、棄十一法、棄十三法等。這些方法都屬于今天初等數(shù)論中的同余理論。同余理論在我們?nèi)粘Ｉ钪斜容^常見的應(yīng)用是什么？答案是計(jì)算校驗(yàn)碼。

和我們生活最息息相關(guān)的校驗(yàn)碼就是身份證號(hào)尾號(hào)。平日里，我們經(jīng)常需要在手機(jī)或者電腦上輸入身份證號(hào)，輸入這么長(zhǎng)的數(shù)字很容易輸錯(cuò)，有了第18位校驗(yàn)碼，就能及時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。只要一個(gè)小小的校驗(yàn)碼，就可以保證整個(gè)系統(tǒng)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。

那它是怎么算的？主要分3步：首先身份證號(hào)碼總共18位，把前17位號(hào)碼依次乘以指定的系數(shù)，第一位乘以7，第二位乘以9，第三位乘以10……這在數(shù)學(xué)上叫作加權(quán)因子；然后，把這17個(gè)乘積相加；最后，用所得和數(shù)除以11，看余數(shù)是多少。

某一個(gè)很大的數(shù)除以11，它的余數(shù)有多少種可能？如果整除的話，余數(shù)看成0；如果沒有整除，余數(shù)可能出現(xiàn)1、2、3、4、5、6、7、8、9，還有可能出現(xiàn)10，但是不可能出現(xiàn)11。按規(guī)定，不同的余數(shù)對(duì)應(yīng)著不同的校驗(yàn)碼。比如余數(shù)是0的時(shí)候，它對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)碼就是1；余數(shù)是1的時(shí)候，它對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)碼就是0；余數(shù)是2的時(shí)候，它對(duì)應(yīng)的校驗(yàn)碼是Ⅹ……這就是身份證號(hào)的最后一位可能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、Ⅹ的原因。

下面來看一種簡(jiǎn)單一點(diǎn)兒的算法，它依然是利用棄十一法進(jìn)行的校驗(yàn)碼運(yùn)算。只要是從正規(guī)的書店買到的圖書，每一本書都會(huì)有一個(gè)ISBN編號(hào)，叫國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)書號(hào)。

目前ISBN編號(hào)有兩組：一組是10位的，另一組是13位的。一個(gè)含有校驗(yàn)碼的10位ISBN編號(hào)，它的前9位是有具體含義的，你可以通過這9位數(shù)字看出這本書是哪個(gè)國(guó)家、哪家出版社的。

第10位怎么算呢？比如，某一本書前9位的源號(hào)碼是730904547，將第一位數(shù)乘以10，第二位數(shù)乘以9，第三位數(shù)乘以8……將9個(gè)乘積相加，最后得到226。然后計(jì)算226加上誰，可以被11整除，結(jié)果發(fā)現(xiàn)226加5就可以被11整除。按照這個(gè)算法，校驗(yàn)碼就應(yīng)該是5，由此就得出第10位的校驗(yàn)碼。

那它怎么起到校驗(yàn)作用？假如把第一個(gè)數(shù)輸錯(cuò)了，本來是7，不小心輸成了8。按照乘以加權(quán)因子再相加求和的方法，上面那個(gè)和已經(jīng)不是226了，而是236。這時(shí)236需要加上6才能夠被11整除。那按照這個(gè)算法，校驗(yàn)碼應(yīng)該是6，而不是5。

所以在真正操作的時(shí)候，如果有一位數(shù)字不小心輸錯(cuò)了，但是最后校驗(yàn)碼還是原來的數(shù)字，這時(shí)系統(tǒng)就會(huì)識(shí)別出這個(gè)號(hào)碼是無效號(hào)碼，是一個(gè)錯(cuò)誤的號(hào)碼。這是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)算法，但是它蘊(yùn)含著巨大的力量，為整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)提供安全保障。

校驗(yàn)碼無處不在

在日常生活中，校驗(yàn)碼是非常常見的。

平常去商店或者超市購(gòu)物，你會(huì)看見條形碼。條形碼的最后一位也是校驗(yàn)碼。識(shí)別的時(shí)候，只要拿掃描槍掃一下，機(jī)器就能根據(jù)條形碼的粗細(xì)來識(shí)別不同的數(shù)字。

條形碼蘊(yùn)含的信息太少了，畢竟只有幾個(gè)數(shù)字。所以除了條形碼，我們還有二維碼，二維碼蘊(yùn)含的信息更多。二維碼中的黑白小格，實(shí)際上就是數(shù)字0和1。它不僅含有校驗(yàn)碼，還有其他信息，比如識(shí)別碼。

平常在掃二維碼的時(shí)候，如果拿手蓋住一塊，是不是還可以掃出來；或者二維碼有一些地方破損了，但是依然可以掃出來。這就是識(shí)別碼在起作用，它是更復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具。在工業(yè)生產(chǎn)比如汽車裝配，或者更復(fù)雜的FAST天文望遠(yuǎn)鏡的裝配過程中，成千上萬個(gè)零件就需要二維碼的幫助，以完成組裝。

美國(guó)數(shù)學(xué)家莫里斯·克萊因在《西方文化中的數(shù)學(xué)》中說過這樣一句話：“數(shù)學(xué)知識(shí)如果脫離了它豐富的文化基礎(chǔ)，就會(huì)被簡(jiǎn)化成一些毫無意義、充滿技巧性的程序，數(shù)學(xué)的形象這時(shí)候就被扭曲了?！?/p>

任何一個(gè)數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)算法、數(shù)學(xué)定理背后都有它產(chǎn)生的源泉。比如身份證號(hào)中的算法，至少有一千年的歷史，它背后有著數(shù)學(xué)思想演化的脈絡(luò)。

（摘自2023年第13期《讀者》）