摘 要：為了提高外腔可調(diào)諧半導體激光器的測量精度，基于Maxwell模型提出了用于消除其壓電驅(qū)動系統(tǒng)遲滯非線性的前饋控制方法.基于經(jīng)典Maxwell力學模型，建立了描述非凸、非對稱遲滯環(huán)的靜態(tài)遲滯模型；根據(jù)頻率與位移幅值的關(guān)系建立了率相關(guān)系數(shù)矩陣，與靜態(tài)遲滯模型耦合得到率相關(guān)遲滯模型，實現(xiàn)了不同頻率下壓電驅(qū)動系統(tǒng)遲滯非線性的精準預測；構(gòu)建了遲滯逆模型，對壓電驅(qū)動系統(tǒng)進行前饋補償控制.實驗結(jié)果表明，率相關(guān)遲滯模型具有較高的精度，1 Hz下模型均方根誤差為0.049 μm，50 Hz下模型均方根誤差為0.252 μm.基于遲滯逆模型的前饋控制方法能夠明顯提高系統(tǒng)輸出位移的線性度，增大線性度范圍，線性相關(guān)系數(shù)R²由0.971 58提高到了0.999 77.

關(guān)鍵詞：壓電驅(qū)動系統(tǒng)；前饋補償；Maxwell模型；率相關(guān)；遲滯逆模型

中圖分類號：TH128

文獻標志碼： A

Feed-forward control method of piezoelectric drive system based on Maxwell model

ZHANG Meng^*，LIU Yu-wei，WU Yao，YANG Pei-ji

（College of Mechanical and Electrical Engineering， Shaanxi University of Science amp; Technology， Xi′an 710021， China）

Abstract：In order to improve the measurement accuracy of external cavity tunable semiconductor lasers，a feed-forward control method for eliminating hysteretic nonlinearity of piezoelectric drive systems is proposed based on Maxwell model.A static hysteresis model that can describe non-convex and asy mmetric hysteresis loops was established based on the classical Maxwell mechanical model.The rate-dependent coefficient matrix was established，which was coupled with the static hysteresis model to obtain the rate-dependent hysteresis model，which realized the accurate prediction of hysteresis nonlinearity of piezoelectric drive system at different frequencies.A hysteresis inverse model was constructed to control the feed-forward compensation of the piezoelectric drive system.The experimental results show that the rate-dependent hysteresis model established in this paper has high accuracy，with a root mean square error of 0.049 μm at 1 Hz and 0.252 μm at 50 Hz.The feed-forward control method based on hysteresis inverse model can significantly improve the linearity of the output displacement of the system，increase the linearity range，and increase the linear correlation coefficient R² from 0.971 58 to 0.999 77.

Key words：piezoelectric drive system; feed-forward compensation; Maxwell model; rate-dependent; hysteresis inverse model

0 引言

外腔可調(diào)諧半導體激光器因其結(jié)構(gòu)緊湊、輸出功率高、窄線寬、諧調(diào)范圍大等優(yōu)點，被廣泛應用于光學測量、光傳感、冷原子物理等領(lǐng)域^［1］.外腔可調(diào)諧半導體激光器的外腔可調(diào)諧裝置是一個由壓電陶瓷驅(qū)動的機械系統(tǒng)，利用壓電陶瓷的逆壓電效應，在外加電壓的驅(qū)動下，產(chǎn)生微小位移，其跟蹤精度主要受到壓電陶瓷的遲滯特性影響^［2］.遲滯特性是壓電陶瓷的固有特性，也稱遲滯非線性^［3］.當驅(qū)動壓電陶瓷時，其輸出位移與輸入電壓之間呈現(xiàn)出較強的非線性，且輸出位移不僅與輸入電壓的幅值相關(guān)，還與輸入電壓的頻率相關(guān)^［4］.

為了提高激光器的測量精度，需要采用相應的控制策略以消除壓電陶瓷的遲滯誤差.目前主流的控制策略分為電流代替電壓控制^［5］、反饋控制^［6］以及前饋補償控制^［7］.電流代替電壓控制的原理是壓電驅(qū)動器的輸出位移同作用在它上面的電荷呈線性關(guān)系，利用電荷使壓電陶瓷極化，使得壓電陶瓷產(chǎn)生的微小位移與控制電荷呈函數(shù)關(guān)系，從而幾乎消除材料的全部遲滯現(xiàn)象^［8］.電流代替電壓控制方法的優(yōu)點是不需要位移測量設(shè)備和反饋控制器，并且避免了復雜的遲滯建模和求逆過程.但是這種控制方法需要專門的電荷控制設(shè)備，成本較高，并且只在低頻時才有良好的線性度.反饋控制是閉環(huán)控制，通過位移傳感器檢測出壓電驅(qū)動器的實際位移，比較其與期望位移之間的偏差，經(jīng)控制器運算后得到實際需要輸入的驅(qū)動電壓，從而實現(xiàn)對壓電驅(qū)動系統(tǒng)的非線性控制^［9］.傳統(tǒng)PID控制方法在低頻壓電驅(qū)動系統(tǒng)響應的非線性控制中具有良好的效果，但在高頻響應控制中，由于系統(tǒng)的不確定度增加，難以實現(xiàn)對非線性的補償^［10］，且可能引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定.前饋補償控制是基于遲滯非線性模型的開環(huán)控制方法^［11］，通過建立遲滯非線性數(shù)學模型，加入前饋支路進行補償，從而提高壓電驅(qū)動系統(tǒng)的線性度.前饋補償控制無需傳感器、成本低，但對遲滯非線性模型精度的要求較高.

為降低壓電驅(qū)動系統(tǒng)的控制成本，并保證其有足夠的定位精度，常采用前饋補償控制策略來消除壓電陶瓷的遲滯非線性.國內(nèi)外學者對前饋逆補償控制方法做了深入廣泛的研究^［12］，目前針對壓電驅(qū)動系統(tǒng)的遲滯非線性建模方法可分為兩類：基于物理本質(zhì)的遲滯建模方法和基于現(xiàn)象的遲滯建模方法.其中，基于物理本質(zhì)的遲滯建模方法從微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，解釋了遲滯非線性的物理成因^［13］，但由于其物理成因復雜，且計算量巨大，不適用于壓電驅(qū)動系統(tǒng)的建模與實時控制；基于現(xiàn)象的遲滯建模方法注重于研究系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系^［14］，使其盡可能與真實情況一致，建模相對容易，具有簡單的數(shù)學表達式，被廣泛應用于精密壓電驅(qū)動系統(tǒng)建模和控制中.常見的模型有Preisach模型^［15］、Prandtl-Ishlinskii（PI）模型^［16］、Maxwell模型^［17］、Bouc-Wen模型^［18］等.

本研究采用改進的Maxwell模型耦合率相關(guān)系數(shù)矩陣描述壓電驅(qū)動系統(tǒng)的動態(tài)遲滯非線性.壓電陶瓷的遲滯非線性可以分解為靜態(tài)遲滯和動態(tài)效應^［19］.在低頻段，遲滯曲線與輸入電壓變化速率無關(guān)，建立靜態(tài)逆模型對其進行遲滯補償.對于高頻段，將動態(tài)遲滯等效為靜態(tài)遲滯特性和線性動力學環(huán)節(jié)的疊加，構(gòu)建率相關(guān)遲滯逆模型，對壓電驅(qū)動系統(tǒng)進行前饋補償控制.

1 靜態(tài)遲滯模型

1.1 Maxwell模型原理

為了描述壓電驅(qū)動系統(tǒng)輸出位移的遲滯非線性，需要選用輸出曲線與遲滯曲線相似的模型.Maxwell模型計算相對簡單，逆模型建立較為容易，且能準確描述遲滯曲線.經(jīng)典Maxwell模型最初用于描述滑動前的摩擦力.如圖1所示，經(jīng)典Maxwell模型由n個彈性-滑動單元組成，每個彈性-滑動單元由一個線性彈簧和一個無質(zhì)量滑塊組成，第i個彈性-滑動單元記為S_i，f_i為單元i的起步阻力（最大靜摩擦力），每個單元輸出的彈性力為：

F_i=k_i（u-p_i）（1）

式（1）中： k_i為單元i的彈簧剛度系數(shù)，p_i為單元i內(nèi)部滑塊的位移，u為用于激勵模型的輸入位移.當?shù)趇個單元滑塊開始滑動時，其彈簧的變形達到飽和，彈性力保持不變，飽和變形量為：

S_i=f_i/k_i（2）

Maxwell模型通過輸入位移u激勵，由于所有彈性-滑動單元為并聯(lián)連接，所以每個單元具有相同的輸入位移，輸出為所有單元彈性力的合力F.

如圖2所示，Maxwell模型的核心在于通過分段線性函數(shù)擬合上升或下降曲線，定義Maxwell模型的外觀剛度為：

K=?F?u（3）

當所有彈性-滑動單元都未滑動時，初始外觀剛度可近似為：

K₁=∑nj=1k_j（4）

隨著輸入位移的增大，這些單元會按順序依次開始滑動，當?shù)趇-1個單元開始滑動而第i個單元未滑動時，外觀剛度可表示為：

K_i=∑nj=ik_j（5）

由圖2可以看出，每當一個彈性-滑動單元達到飽和，外觀剛度便會減小，這表明經(jīng)典Maxwell模型只能描述順時針的凸對稱遲滯環(huán)，應用于壓電驅(qū)動系統(tǒng)遲滯非線性控制時具有較大的局限性.

1.2 非對稱Maxwell模型

為了擬合非凸、非對稱型遲滯特性曲線，本研究引入剛度^［20］的概念，從而可以擬合凹遲滯環(huán)；引入最大壓縮量δ_Ci、最大伸長量δ_Ei、壓縮剛度k_Ci、伸長剛度k_Ei四個參數(shù)，以滿足遲滯曲線的非對稱性，提升模型精度.由于在低頻段，壓電位移系統(tǒng)的遲滯特性可視為靜態(tài)遲滯特性，所以取頻率為1Hz的實驗數(shù)據(jù)，用來進行改進麥克斯韋靜態(tài)模型的參數(shù)辨識.利用最小二乘法擬合初始上升曲線為4次多項式：

y=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴（6）

設(shè)置5個彈性-滑動單元，根據(jù)初始上升曲線形狀，在曲線上取9個點作為各彈性-滑動單元狀態(tài)變化的臨界點，曲線斜率變化大的地方取點密集，曲線斜率變化小的地方取點稀疏.如圖3所示，將擬合后的4次曲線近似為若干線段相連，取多項式每個弧段在中點處的導數(shù)為線段的斜率，即：

K_i=y_i-y_i-1x_i-x_i-1（7）

由于在第7和第9個臨界點處，各彈性-滑動單元均不發(fā)生狀態(tài)改變，所以初始上升曲線被近似為8段斜率不同的線段首尾相連.對于非對稱Maxwell模型，其表達式為：

F_i=k_Ci·δ_Ci，x-x_ilt;δ_Ci

k_Ci（x-x_i），δ_Cilt;x-x_ilt;0k_Ei（x-x_i），0lt;x-x_ilt;δ_Ei

k_Ei·δ_Ei，δ_Eilt;x-x_i（8）

根據(jù)非對稱Maxwell模型運行原理，利用MATLAB/Simuliunk系統(tǒng)仿真工具箱，建立如圖4所示的非對稱Maxwell仿真模型.

1.3 模型參數(shù)求解

設(shè)上升曲線近似后各線段斜率為S_up，則：

S_up=S_up1S_up2S_up3S_up4S_up5S_up6S_up7S_up8=k_C1+k_C2+k_C3+k_C4+k_C5k_E1+k_C2+k_C3+k_C4+k_C50+k_E2+k_C3+k_C4+k_C50+k_E2+k_E3+k_C4+k_C50+0+k_E3+k_E4+k_C50+0+k_E3+k_E4+k_E50+0+0+k_E4+k_E50+0+0+0+k_E5

=11111000000111110000001110100000011011000000100110000000011100000000110000000001k_C1k_C2k_C3k_C4k_C5k_E1k_E2k_E3k_E4k_E5（9）

設(shè)A_Cup為上升段壓縮矩陣，A_Eup為上升段伸長矩陣，式（9）可表示為：

S_up=A_CupA_Eupk（10）

設(shè)下降曲線近似后各線段斜率為S_down，則：

S_down=S_down1S_down2S_down3S_down4S_down5S_down6S_down7S_down8=k_E1+k_E2+k_E3+k_E4+k_E5k_C1+k_E2+k_E3+k_E4+k_E50+k_C2+k_E3+k_E4+k_E50+k_C2+k_C3+k_E4+k_E50+0+k_C3+k_C4+k_E50+0+k_C3+k_C4+k_C50+0+0+k_C4+k_C50+0+0+0+k_C5

=00000111111000001111010000011101100000110011000001001110000000011000000000100000k_C1k_C2k_C3k_C4k_C5k_E1k_E2k_E3k_E4k_E5（11）

設(shè)A_Cdown為上升段壓縮矩陣，A_Edown為上升段伸長矩陣，式（11）可表示為：

S_down=A_Cdown A_Edownk（12）

根據(jù)式（11）、（12），可由外觀剛度計算出各彈性-滑動單元的壓縮、伸長剛度：

S=S_upS_down（13）

k=（A^TA）^-1A^TS（14）

1.4 基于閾值參數(shù)的自適應單元設(shè)置方法

本章建立的非對稱Maxwell模型可以通過設(shè)置單元數(shù)量控制其精度，彈性-滑動單元數(shù)量越多，其精度越高，但模型的復雜程度野隨之提高.過多的單元數(shù)量會使模型參數(shù)求解復雜，浪費不必要的計算成本.

在確定彈性-滑動單元數(shù)量的時候，我們通常會使用將區(qū)間等分成N段的方法，但對于曲率變化不均勻的遲滯特性曲線，通過等分法設(shè)置單元會導致在單元數(shù)量不變的前提下精度有所降低.本文提出了一種基于閾值參數(shù)的自適應單元設(shè)置方法，如圖5所示，設(shè)置一個閾值參數(shù)a，當測量值與模型的輸出值之間的誤差大于a時，自動增加一個新的彈性-滑動單元進入遞歸計算.

文中將閾值a設(shè)為0.05，在實際應用中，根據(jù)壓電驅(qū)動器的曲線特性以及需要的精度設(shè)置參數(shù)a的值，可以在保證精度需求的前提下，將模型的單元數(shù)降至最低，簡化模型的復雜程度.

2 動態(tài)特性

2.1 測試頻率

通過信號發(fā)生器生成頻率連續(xù)增加的正弦掃描信號，其頻率變化范圍為0.1～4 000 Hz，幅值為0.1 V.該正弦掃描信號經(jīng)壓電陶瓷控制器放大后輸入至壓電驅(qū)動系統(tǒng)中，通過位移傳感器采集柔性機構(gòu)位移信號，經(jīng)位移傳感器控制器處理后輸出至NI-PXI 6133PXI采集卡中.對掃頻位移響應信號進行傅里葉分析，可以得到如圖6所示的掃頻位移響應頻譜，其中壓電驅(qū)動系統(tǒng)的一階固有頻率約為960 Hz.

壓電驅(qū)動系統(tǒng)的掃描帶寬，受到由系統(tǒng)柔性機構(gòu)、壓電陶瓷相互作用產(chǎn)生的機械共振的限制.為了避免激發(fā)機械共振，系統(tǒng)驅(qū)動信號的頻率被限制為一階固有頻率的1％～10％范圍內(nèi)^［21］.當輸入電壓頻率為50 Hz時，系統(tǒng)已經(jīng)產(chǎn)生較大振動，由于本文的主要內(nèi)容是針對壓電驅(qū)動系統(tǒng)的遲滯非線性進行控制，并沒有對振動進行消除，所以當選取的測試頻率大于50 Hz時，系統(tǒng)振動會嚴重影響到非線性控制效果的檢驗.為了避免系統(tǒng)產(chǎn)生的振動影響控制效果，將測試三角波頻率限制在50 Hz范圍內(nèi).

2.2 率相關(guān)系數(shù)

為了反映廣義上的壓電陶瓷遲滯非線性，需要考慮遲滯受頻率變化的影響.將幅值相同、頻率不同的三角波信號輸入壓電驅(qū)動系統(tǒng)，測試其輸出位移，其結(jié)果如圖7所示.

由表1可以看出，壓電驅(qū)動系統(tǒng)的位移響應幅值隨輸入信號頻率的增加而降低.

將位移幅值與輸入信號頻率之間的關(guān)系擬合為高階多項式，經(jīng)過多次尋優(yōu)之后，其對應函數(shù)關(guān)系圖像如圖8所示.

設(shè)率相關(guān)系數(shù)為A，位移幅值為X_M，可以得到：

A=［a₁，a₂，…，a_2n-1］（15）

n=12bf（16）

a_m=1+m·（X_M（f）-X_M（1））n·X_M（1），mlt;n

X_M（f）X_M（1）-（m-n）·（X_mM（f）-X_M（1））n·X_M（1），mgt;n（17）

式（16）中：f為輸入信號的頻率，b為壓電陶瓷工作區(qū)間內(nèi)所需的精度.假設(shè)將頻率f =30 Hz代入上式，可計算出率相關(guān)系數(shù)A（30），將矩陣中元素每隔20個繪制在直角坐標系中，如圖9所示，率相關(guān)系數(shù)矩陣中的元素值與周期呈一次函數(shù)關(guān)系.

2.3 遲滯率相關(guān)模型

如圖10所示，率相關(guān)遲滯模型可以由靜態(tài)遲滯模型和率相關(guān)系數(shù)耦合得到.通過輸入信號的頻率計算出每一個采樣點的率相關(guān)系數(shù)，分別與靜態(tài)模型每一時刻輸出的位移相乘，即為系統(tǒng)輸出的實際位移.

3 控制方案

3.1 前饋控制

外腔可調(diào)諧半導體激光器的外腔可調(diào)諧裝置是一個由壓電陶瓷驅(qū)動的微小位移結(jié)構(gòu)，其工作頻率較高，跟蹤精度受到與頻率相關(guān)的遲滯特性影響.壓電驅(qū)動系統(tǒng)位移響應是一個復雜的非線性過程，前饋控制屬于最基本的壓電驅(qū)動系統(tǒng)控制方法，相比于其他控制系統(tǒng)，前饋控制具有結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性好以及無需外加傳感器等優(yōu)點.前饋控制相比于反饋控制能在遲滯發(fā)生之前更加及時地進行控制，并且不受系統(tǒng)滯后的影響.但是前饋控制屬于開環(huán)控制，這就對前饋模型的精度有較高要求.

對于壓電驅(qū)動系統(tǒng)，由于使用較高頻率電壓驅(qū)動壓電系統(tǒng)時，產(chǎn)生的遲滯信號和輸入電壓頻率相關(guān)，需要通過率相關(guān)前饋模型對信號進行補償.若不對系統(tǒng)進行前饋控制，遲滯信號會影響系統(tǒng)輸出位移與輸入電壓的線性關(guān)系.為了使輸出的信號更加貼近于理想狀態(tài)，以提高系統(tǒng)控制精度的上限，添加前饋控制環(huán)節(jié)是非常必要的.

為了消除壓電驅(qū)動系統(tǒng)的遲滯，提高其線性度，設(shè)計了基于遲滯逆模型的前饋控制方案.如圖11所示，c（t）為期望位移，x（t）為最終位移，v（t）為通過遲滯逆模型計算得到的，產(chǎn)生期望位移所需要的輸入電壓.圖中v（t）與x（t）仍然呈非線性關(guān)系，但通過遲滯逆模型對輸入信號進行補償，c（t）與x（t）之間的關(guān)系被線性化.

3.2 遲滯逆模型

遲滯逆模型的建立過程如圖12所示.將率相關(guān)遲滯逆模型分為靜態(tài)逆模型和率相關(guān)逆系數(shù)兩個部分.非對稱Maxwell遲滯模型的逆模型建立需要利用逆向算法，將壓電驅(qū)動系統(tǒng)的輸出位移作為模型的輸入，將壓電驅(qū)動系統(tǒng)的輸入電壓作為模型的輸出，進行參數(shù)辨識，得到遲滯逆模型；率相關(guān)逆系數(shù)的求解需要先通過實驗采集數(shù)據(jù)，得到頻率與位移幅值之間的關(guān)系，然后進行公式推導，最后根據(jù)輸入信號的頻率計算出率相關(guān)逆系數(shù)矩陣.率相關(guān)逆系數(shù)的具體求取公式如下：

A′=a′₁，a′₂，…，a′_2n-1（18）

a′_m=n·X_M（1）n·X_M（1）+m·（X_M（f）-X_M（1）），mlt;nn·X_M（1）n·X_M（f）-（m-n）·（X_M（f）-X_M（1）），mgt;n（19）

將率相關(guān)逆系數(shù)矩陣與靜態(tài)逆模型之前耦合，即可得到率相關(guān)遲滯逆模型.

4 仿真與實驗

4.1 模型精度驗證

為了驗證遲滯模型對壓電驅(qū)動系統(tǒng)遲滯特性的模擬精度，利用MATLAB/Simuliunk系統(tǒng)仿真工具箱進行遲滯擬合仿真實驗.對遲滯模型輸入幅值相同，頻率不同的三角波信號，檢驗其輸出位移，引入均方根誤差RMSE和最大位移誤差ME判定模型精度.

驗證準靜態(tài)下模型的擬合精度，輸入頻率為1 Hz的三角波信號，其位移響應如圖13所示.可以看出，在低頻信號驅(qū)動下，靜態(tài)模型對遲滯特性的擬合精度較高，1 Hz時模型輸出位移與實際位移均方根誤差僅為0.049 μm.

隨著頻率的提高，靜態(tài)模型的精度有所下降，需要通過動態(tài)模型來進行前饋遲滯補償.驗證率相關(guān)動態(tài)遲滯模型的擬合精度，輸入幅值相同，頻率分別為10 Hz、30 Hz、50 Hz的三角波信號，將模型輸出位移與實際測得的壓電驅(qū)動系統(tǒng)輸出位移進行比對，并計算其誤差.

如圖14所示，10 Hz時模型輸出位移與實際位移均方根誤差為0.067 μm；如圖15所示，當輸入信號頻率為30 Hz時，模型輸出位移與實際位移均方根誤差為0.234 μm；如圖16所示，當輸入信號頻率為50 Hz時，模型輸出位移與實際位移均方根誤差為0.252 μm.

表2為輸入不同頻率三角波信號，模型輸出位移與實際位移之間的誤差值.可以看出，在低頻段模型對壓電驅(qū)動系統(tǒng)遲滯特性的模擬具有很高的精度，隨著輸入電壓頻率的增加，系統(tǒng)開始出現(xiàn)振動，模型精度有所下降，在50 Hz時，模型輸出位移與實際位移均方根誤差提高到了0.252 μm.

4.2 前饋控制測試

為了測試遲滯逆模型對于壓電驅(qū)動系統(tǒng)的前饋補償控制效果，設(shè)計前饋補償控制實驗，搭建如圖17所示實驗平臺.平臺主要包括壓電驅(qū)動、測量和數(shù)據(jù)采集三個模塊.壓電驅(qū)動模塊主要由 PZS001壓電陶瓷驅(qū)動器，Tektronix AFG3052C任意函數(shù)信號發(fā)生器，MDT693A單通道壓電陶瓷電壓控制器組成.測量模塊包含capaNCDT6500非接觸式位移傳感器及其控制系統(tǒng).數(shù)據(jù)采集模塊由NI-PXI 6133PXI采集卡和NI-PXI 1031主機組成.

使用頻率為1 Hz的三角波信號驅(qū)動壓電系統(tǒng)，其位移響應曲線如圖18（a）所示，線性相關(guān)系數(shù)僅為R²=0.971 58.由圖18（b）可以看出，系統(tǒng)實際輸出位移相對于期望位移存在明顯的滯后性，實際位移與期望位移之間的最大誤差為0.705 2 μm，均方根誤差為0.393 2 μm，占最大輸出位移的5%.

將遲滯逆模型串聯(lián)在壓電驅(qū)動器之前，輸入期望位移信號，與實驗得到的實際位移進行對比，其結(jié)果如圖19所示.

由圖19可以看出，通過遲滯逆模型的前饋補償之后，系統(tǒng)的實際位移與期望位移具有很好的相似度.系統(tǒng)的遲滯很大程度上被消除，位移曲線的線性度得到了改善，其線性相關(guān)系數(shù)R²由補償前的0.971 58提高到了0.999 77.

5 結(jié)論

本文提出了一種針對外腔可調(diào)諧半導體激光器壓電驅(qū)動系統(tǒng)的前饋補償策略，建立了非對稱靜態(tài)遲滯模型，用于模擬壓電驅(qū)動系統(tǒng)輸出位移的靜態(tài)遲滯，實驗結(jié)果表明，準靜態(tài)時模型輸出位移與實際位移均方根誤差僅為0.049 μm.將靜態(tài)遲滯模型與率相關(guān)系數(shù)結(jié)合，建立了動態(tài)遲滯模型，對輸入較高頻率電壓產(chǎn)生的遲滯位移進行模擬，實驗結(jié)果表明，在50 Hz時，模型輸出位移與實際位移均方根誤差為0.252 μm.基于率相關(guān)遲滯模型，建立了遲滯逆模型，串聯(lián)入壓電驅(qū)動系統(tǒng)對其進行前饋補償，以獲得與輸入電壓呈線性關(guān)系的輸出信號.實驗結(jié)果表明，基于Maxwell模型的壓電驅(qū)動系統(tǒng)前饋控制方法很大程度上消除了輸出信號的非線性，提高了輸出位移的線性度，其在1 Hz時線性相關(guān)系數(shù)R²由補償前的0.971 58提高到了0.999 77，可以有效提高外腔可調(diào)諧半導體激光器的測量精度.

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【責任編輯：陳 佳】