摘 要：在新的β覆蓋鄰域系統(tǒng)上提出四種區(qū)間值直覺模糊β覆蓋粗糙集模型，用于有效處理區(qū)間值直覺模糊信息的多屬性決策問題.首先，從論域的區(qū)間值直覺模糊β覆蓋出發(fā)，引入兩類新的鄰域系統(tǒng)并構(gòu)造了四種不同類型的區(qū)間值直覺模糊β覆蓋粗糙集，擴(kuò)展了現(xiàn)有模型的適用范圍.其次，深入研究了每種模型的數(shù)學(xué)性質(zhì)，構(gòu)建了所提出的四種模型之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，為模糊β覆蓋粗糙集領(lǐng)域的研究提供了理論基礎(chǔ).最后，為解決區(qū)間值直覺模糊信息的多屬性決策問題，設(shè)計了決策算法并進(jìn)行應(yīng)用實例分析，并通過與其他決策方法的對比分析，表明了區(qū)間值直覺模糊β覆蓋粗糙集在多屬性決策問題中具有可行性和有效性.研究成果對于復(fù)雜模糊信息決策具有一定的參考和指導(dǎo)意義，并為解決多屬性決策問題提供了新的思路和方法.

關(guān)鍵詞：區(qū)間值直覺模糊集；鄰域系統(tǒng)；β覆蓋粗糙集；多屬性決策

中圖分類號：TP182

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Interval valued intuitionsitic fuzzy β covering roughset model

REN Hao-wei¹，WANG Qing-hai^1*，ZHANG Qiao-zhen^1，2

（1.School of Computer Science， Plateau Science and Sustainable Development Institute， Qinghai Normal University， Xining 810008， China; 2.Xining Urban Vocation amp; Technical College， Xining 810016， China）

Abstract：In this paper，four kinds of interval-valued intuitionistic fuzzy β covering rough set models are proposed on a new β covering neighborhood system，which can be used to effectively deal with multi-attribute decision making with interval-valued intuitionistic fuzzy information.Firstly，based on the interval-valued intuitionistic fuzzy β covering of the discourse domain，two new neighborhood systems are introduced and four different types of intuitionistic fuzzy β covering rough sets are constructed to extend the application range of the existing model.Secondly，the mathematical properties of each model are studied deeply，and the correlation between the four models is established，which provides a theoretical basis for the study of fuzzy β covering rough sets.Finally，in order to solve the multi-attribute decision making problem with interval-valued intuitionistic fuzzy information，a decision algorithm is designed and an application example is analyzed.By comparing with other decision making methods，the feasibility and effectiveness of interval-valued intuitionistic fuzzy βcovering rough sets are demonstrated.The research results of this paper have a certain reference and guiding significance for complex fuzzy information decision-making，and provide a new way and method for solving multi-attribute decision-making problems.

Key words：interval-value intuitionistic fuzzy set；neighborhood system；β covering rough set; multi-attribute decision making

0 引言

由于現(xiàn)實世界中的大量數(shù)據(jù)具有不完整性和不確定性，需要一種新的數(shù)學(xué)工具來處理這些問題.波蘭數(shù)學(xué)家Pawlak^［1］提出的粗糙集是一種處理定性數(shù)據(jù)集中具有模糊性和不確定性的有效數(shù)學(xué)方法.在粗糙集理論中，一個集合可以由其下近似和上近似來描述.通過分析上近似和下近似，它能夠幫助我們挖掘數(shù)據(jù)集中的模糊和不確定性信息，在特征選擇、數(shù)據(jù)挖掘、屬性約簡等領(lǐng)域中發(fā)揮重要作用^［2-4］.

Pawlak粗糙集模型旨在處理定性數(shù)據(jù)集，在處理實值數(shù)據(jù)集時效果不佳，Zadeh^［5］提出的模糊集理論有效地彌補(bǔ)Pawlak粗糙集中條件的僵化.模糊集可以刻畫語言變量的模糊性，但在處理復(fù)雜的實際問題時具有一些局限性，例如當(dāng)元素屬于某集合的程度和不屬于某集合的程度不互補(bǔ)時就無法使用模糊集進(jìn)行描述.隨后，Atanassov^［6］定義了直覺模糊集，放寬了隸屬度和非隸屬度相加為1的條件，將1與隸屬度和非隸屬度之和的差定義為猶豫度.隨著直覺模糊集理論和粗糙集理論相繼發(fā)展并不斷融合，學(xué)者們給出了多種直覺模糊粗糙集及其應(yīng)用^［7-10］.

由于人們對評價參數(shù)的不確定性難以度量，區(qū)間值應(yīng)運而生，此后在決策評價等過程中對所需要的決策屬性可采取區(qū)間值的方式而非用單個數(shù)值來表示，如今在許多應(yīng)用領(lǐng)域中，區(qū)間值模糊集理論在各個領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用^［11-13］.Gong等^［14］將經(jīng)典粗糙集理論與區(qū)間值模糊集理論相結(jié)合，研究了區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)，討論了區(qū)間值模糊信息系統(tǒng)的基本粗糙集理論.根據(jù)實際問題的需要，直覺模糊集的各種推廣也相繼產(chǎn)生，其中一種推廣形式就是區(qū)間值直覺模糊集^［15］.區(qū)間值直覺模糊集利用區(qū)間數(shù)來描述隸屬度、非隸屬度和猶豫度，使得區(qū)間值直覺模糊集能夠更全面細(xì)膩地描述決策信息的猶豫性和不確定性.它已被廣泛地應(yīng)用于風(fēng)險項目評估、人才選拔、供應(yīng)商選擇和應(yīng)急管理等決策領(lǐng)域^［16-19］.

區(qū)間值直覺模糊信息系統(tǒng)作為直覺模糊信息系統(tǒng)的一種推廣，能夠客觀描述對象不精確性并有效保存數(shù)據(jù)特征，有利于反映復(fù)雜信息的不確定性表達(dá)，使用粗糙集模型處理區(qū)間值直覺模糊信息，可以有效地提高對模糊數(shù)據(jù)的科學(xué)建模與分類能力.Zhang等^［20］將區(qū)間值直覺模糊集與粗糙集相結(jié)合提出了一種基于區(qū)間值直覺模糊隱含算子的區(qū)間值直覺模糊粗糙集模型，利用三角模和隱含算子定義了區(qū)間值直覺模糊集在區(qū)間值直覺模糊近似空間的上近似值和下近似值.有效解決了區(qū)間值直覺模糊環(huán)境中數(shù)據(jù)的不確定性推理問題，區(qū)間值直覺模糊集與粗糙集理論融合將對復(fù)雜模糊環(huán)境的數(shù)據(jù)建模和科學(xué)決策提供理論支撐.

眾所周知，自覆蓋粗糙集放松了經(jīng)典粗糙集的等價關(guān)系，大量覆蓋粗糙集及其擴(kuò)展模型相繼出現(xiàn).Ma^{［21，22］}研究了有限近似空間下覆蓋的分類問題，將模糊覆蓋推廣為模糊β覆蓋.Yang等^［23］在模糊β覆蓋逼近空間下提出了三類新的模糊覆蓋粗糙集模型.Huang等^［24］定義了直覺模糊β覆蓋的直覺模糊β最小描述和四種直覺模糊β覆蓋粗糙集.Zhou等^［25］在猶豫模糊β覆蓋下提出了四種新的猶豫模糊β覆蓋粗糙集模型.為有效處理區(qū)間值直覺模糊信息，本文將模糊β覆蓋推廣至區(qū)間值直覺模糊β覆蓋，結(jié)合區(qū)間值直覺模糊集提出了四種區(qū)間值直覺模糊β覆蓋粗糙集，建立了β覆蓋粗糙集和區(qū)間值直覺模糊集之間橋梁.

在實際決策過程中，我們經(jīng)常面臨各種信息不完整及多個目標(biāo)需要權(quán)衡的復(fù)雜數(shù)據(jù).在這種情況下，區(qū)間值直覺模糊信息提供了一種有效的表達(dá)和描述方式，通過使用區(qū)間數(shù)來表示隸屬度和非隸屬度，能夠更好地描述對象對于某種屬性的不確定性，從而提高決策的可靠性和準(zhǔn)確性.同時，這種方法也可以綜合評價多個因素和目標(biāo)，從而得到更為客觀和全面的決策結(jié)果，避免了單一指標(biāo)評價的局限性.因此，處理區(qū)間值直覺模糊信息決策問題在現(xiàn)代決策數(shù)據(jù)建模與分析中具有重要意義.

本文基于區(qū)間值直覺模糊β覆蓋粗糙集模型提出的多屬性決策算法為解決區(qū)間值直覺模糊信息決策問題提供了一種有效地解決方案.在決策過程中，該方法綜合考慮了多個屬性的評估值及決策問題中存在的不確定性和模糊性，充分利用了區(qū)間值直覺模糊信息并結(jié)合了粗糙集模型的上、下近似算子對各個備選方案進(jìn)行綜合評估后得出最佳的決策方案.該決策方法能夠深入地挖掘復(fù)雜數(shù)據(jù)的特征和規(guī)律，使得決策結(jié)果更加符合決策者的實際需求和主觀偏好，從而幫助決策者做出更為合理和準(zhǔn)確的決策.因此，本文提出的方法對于解決直覺模糊信息決策問題具有重要意義，為決策者提供了更為全面、準(zhǔn)確和實用的決策支持.

1 基礎(chǔ)知識

定義1^［26］ 設(shè)R為實數(shù)域，稱閉區(qū)間a=［a^-，a⁺］為區(qū)間數(shù)，其中a^-，a⁺∈R，a^-≤a⁺，a^-，a⁺分別為區(qū)間數(shù)a的下界和上界.當(dāng)a^-=a⁺時，區(qū)間數(shù)退化為一個普通數(shù)值.

定義2^{［26，27］} 設(shè)a=［a^-，a⁺］和b=［b^-，b⁺］為任意兩個區(qū)間數(shù)，則兩個區(qū)間數(shù)的基本運算和序關(guān)系定義如下：

（1）a+b=［a^-+b^-，a⁺+b⁺］；

（2）a-b=［a^--b^-，a⁺-b⁺］；

（3）a·b=［a^-·b^-，a⁺·b⁺］；

（4）a∨_b=［max（a^-，b^-），max（a⁺，b⁺）］；

（5）a∧-b=［min（a^-，b^-），min（a⁺，b⁺）］；

（6）ka=k［a^-，a⁺］=［ka^-，ka⁺］；

（7）a^c=［1-a⁺，1-a^-］；

（8）a=［a^-，a⁺］=［min{a^-，a⁺}，max{a^-，a⁺}］.

定義3^{［28，29］} 設(shè)U是非空有限論域，I［0，1］是區(qū)間［0，1］上所有閉區(qū)間所構(gòu)成的集合，稱A={lt;x，μ_A（x），v_A（x）gt;|x∈U}為U上的一個區(qū)間值直覺模糊集，其中，μ_A：U→I［0，1］，v_A：U→I［0，1］分別表示元素x屬于A的隸屬度區(qū)間和非隸屬度區(qū)間，并且滿足0≤supμ_A（x）+supv_A（x）≤1（x∈U），lt;μ_A（x），v_A（x）gt;稱為一個區(qū)間值直覺模糊元素（IVIFE），記U上所有的區(qū)間值直覺模糊集構(gòu)成的集合為IVIF（U）.

為方便表示，區(qū)間值直覺模糊集記為A={lt;x，μ_A（x），v_A（x）gt;|x∈U}，其中μ_A（x）=［μ^-_A（x），μ⁺_A（x）］，v_A（x）=［v^-_A（x），v⁺_A（x）］分別表示元素x屬于A的隸屬度區(qū)間和非隸屬度區(qū)間，且滿足0≤μ⁺_A（x）+v⁺_A（x）≤1.對于給定的x∈U，稱π（x）=［1-μ⁺_x-v⁺_x ，1-μ^-_x-v^-_x］為區(qū)間值直覺模糊元素x的猶豫度區(qū)間.

定義4^［30］ 對A，B∈IVIF（U）A={lt;x，μ_A（x），

v_A（x）gt;|x∈U}，B={lt;x，μ_B（x），v_B（x）gt;|x∈U}，兩個區(qū)間值直覺模糊集的序關(guān)系和基本運算定義如下：

（1）AB，當(dāng)且僅當(dāng)x∈U，μ_A（x）≤μ_B（x）且v_A（x）≥v_B（x）；

（2）A=B，當(dāng)且僅當(dāng)x∈U，μ_A（x）=μ_B（x）且v_A（x）=v_B（x）；

（3）A∩B={lt;x，μ_A（x）∧-μ_B（x），v_A（x）∨_v_B（x）x∈U}；

（4）A∪B={lt;x，μ_A（x）∨-μ_B（x），v_A（x）∧-v_B（x）x∈U}；

（5）A^c={lt;x，v_A（x），μ_A（x）gt;|x∈U}；

（6）AB={lt;x，［μ^-_A（x）+μ^-_B（x）-μ^-_A（x）μ^-_B（x），μ⁺_A（x）+μ⁺_B（x） -μ⁺_A（x）μ⁺_B（x）］，［v^-_A（x）v^-_B（x），v⁺_A（x）v⁺_B（x）］x∈U}.

定義5^［30］ 設(shè)= lt;［μ^-，μ⁺］，［v^-，v⁺］gt;是一個區(qū)間值直覺模糊元，其中［μ^-，μ⁺］和［v^-，v⁺］分別是區(qū)間值直覺模糊元的隸屬度區(qū)間和非隸屬度區(qū)間.的得分函數(shù)定義為s（）=μ^--v^-+μ⁺-v⁺2，其中，s（）∈［-1，1］，s（）的值越大，則越大.的精度函數(shù)定義為h（）=μ^-+μ⁺+v^-+v⁺2，其中，h（）∈［0，1］，h（）的值越大，則越大.的猶豫度定義為π（）=12（（1-μ^--v^-）+（1-μ⁺-v⁺）），則區(qū)間值直覺模糊元的猶豫度和精確度之間的關(guān)系為π（）=12（（1-μ^--v^-）+（1-μ⁺-v⁺））=1-h（），即π（）+h（）=1.

定義6^［30］ 設(shè) ₁ ，₂∈IVIFE，s（₁ ），s（₂）分別為它們的得分函數(shù)，h（₁ ），h（₂）分別為它們的精度函數(shù)，則有：

（1）若s（₁）lt;s（₂），則 ₁小于₂，記作₁lt;₂；

（2）若s（₁）=s（₂）且h（₁）lt;h（₂），則 ₁小于₂，記作₁lt;₂；

（3）若s（₁）=s（₂）且h（₁）=h（₂），則 ₁和₂等價，記作₁₂.

2 區(qū)間值直覺模糊β覆蓋粗糙集及性質(zhì)

2.1 四種類型的區(qū)間值直覺模糊β覆蓋粗糙集

本文所提出的粗糙集模型經(jīng)過嚴(yán)格的理論推導(dǎo)，多屬性決策方法采用了粗糙集模型上、下近似的環(huán)和求得分值的經(jīng)典決策方法，通過與文獻(xiàn)［31］和［32］中的兩種決策方法對比，證明其在實際應(yīng)用中具有顯著的優(yōu)勢和可行性.本文的決策方法具有更高的靈活性和適應(yīng)性，可以根據(jù)實際情況調(diào)整一致性共識β，以適用于不同的決策場景和應(yīng)用領(lǐng)域.

4 結(jié)論

在面對現(xiàn)實生活中存在的具有不確定性特征的數(shù)據(jù)問題時，人們越來越關(guān)注如何科學(xué)地分析并智能計算這些數(shù)據(jù).本文結(jié)合區(qū)間值直覺模糊集的靈活性和覆蓋粗糙集的實用性，提出了四種區(qū)間值直覺模糊β覆蓋粗糙集，通過區(qū)間數(shù)的形式描述對象對于屬性隸屬程度，將覆蓋粗糙集理論和區(qū)間值直覺模糊集理論進(jìn)行有效結(jié)合.文章構(gòu)造了四種不同類型的上、下粗糙近似算子，深入研究了每種區(qū)間值直覺模糊β覆蓋粗糙集的模型結(jié)構(gòu)及相關(guān)性質(zhì)，并討論了四種模型之間及與其它已存在模型之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系.

在多屬性決策過程中充分利用區(qū)間值直覺模糊決策矩陣中的信息構(gòu)造最優(yōu)解，使決策者直接利用評估信息做出相關(guān)決策，避免了主觀隨意性對決策結(jié)果的影響，使得決策結(jié)果具有可信性.通過實例應(yīng)用及其對比驗證表明了區(qū)間值直覺模糊β覆蓋粗糙集在多屬性決策問題中的可用性及有效性.該類模型研究的理論和方法對于直覺模糊覆蓋粗糙集擴(kuò)展研究提供了理論依據(jù)，其在多屬性決策問題中的應(yīng)用具有廣闊的前景.本文下一步主要研究所提出的四類IVIFβCRSs模型的不確定性度量，以進(jìn)一步完善和應(yīng)用該模型結(jié)論，為數(shù)據(jù)建模問題提供更多的解決方案.

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【責(zé)任編輯：陳 佳】