摘要：基于非線性混沌系統(tǒng)滑模方法，根據(jù)分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論和同步控制方法研究Sprott-D不確定分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的滑模控制與同步，并用MATLAB仿真程序?qū)Y(jié)果進(jìn)行驗證.結(jié)果表明，在一定的假設(shè)下，Sprott-D不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)對應(yīng)的主從系統(tǒng)可取得自適應(yīng)滑模同步.關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階；Sprott-D系統(tǒng)；滑模；同步

中圖分類號：O482.4文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1671-5489（2024）05-1235-06

Adaptive Sliding Mode Synchronization of Sprott-D Uncertain Fractional-Order Chaotic Systems

MAO Beixing'，LI Dekui2，WANG Dongxiao，WANG Jianjun

（1.School of Mathematics，Zhengzhou University of Aeronautics，Zhengzhou 450046，China;2.School of Public Health，Gansu University of Chinese Medicine，Lanzhou 730000，China）

Abstract：Based on the sliding mode method of nonlinear chaotic systems，the sliding mode control and synchronization of Sprott-D uncertain fractional-order systems were studied according to the fractional-order stability theory and synchronous control method，and the results were verified by using MATLAB simulation program.The results show that the Sprott-D uncertain fractional-order chaotic systems corresponding to the master-slave systems can achieve adaptive sliding mode synchronization under certain assumptions.

Keywords：fractional-order;Sprott-Dsystem;slidingmode;synchronization

目前，混沌同步已引起人們廣泛關(guān)注[.由于滑?？刂凭哂辛己玫聂敯粜阅埽虼似漤憫?yīng)速度較快、動態(tài)性能較好[3～]，隨著分?jǐn)?shù)階微分建模方法的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的滑?？刂蒲芯恳讶〉昧溯^多成果[5-16]：如文獻(xiàn)[10]研究了不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步，設(shè)計了自適應(yīng)律和控制輸入，使主從系統(tǒng)取得滑模同步；文獻(xiàn)[11]研究了不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)滑模同步，設(shè)計了分?jǐn)?shù)階滑模函數(shù)和控制器，獲得驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)異結(jié)構(gòu)滑模同步的充分條件；文獻(xiàn)[12]通過滑動模態(tài)控制方法研究了分?jǐn)?shù)階混沌Duffling系統(tǒng)的終端滑模同步；文獻(xiàn)[13-14]分別基于自適應(yīng)規(guī)則的設(shè)計研究了分?jǐn)?shù)階混沌及多混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步；文獻(xiàn)[15-16]分別研究了分?jǐn)?shù)階不確定時滯金融混沌系統(tǒng)的滑模同步及分?jǐn)?shù)階Bao超混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步.由于Sprott混沌系統(tǒng)代表一大類非線性控制系統(tǒng)且應(yīng)用廣泛，因此已引起人們廣泛關(guān)注：文獻(xiàn)[17]研究了Sprott-I混沌系統(tǒng)的動力學(xué)分析；文獻(xiàn)[18]研究了Sprott混沌系統(tǒng)的分析和控制；文獻(xiàn)[19]研究了Sprott-O系統(tǒng)的延遲反饋控制；文獻(xiàn)[20]研究了Sprott-D混沌系統(tǒng)的非線性H控制；文獻(xiàn)[21]研究了非線性Sprott分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑模同步.此外，系統(tǒng)的不確定性以及存在外部擾動，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性受損，且利用自適應(yīng)滑模研究方法處理分?jǐn)?shù)階Sprott-D不確定混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步問題目前文獻(xiàn)報道較少.基于此，本文根據(jù)分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論研究Sprott-D不確定分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的滑?？刂婆c同步，得到主從系統(tǒng)取得滑模同步的充分條件，并用MATLAB數(shù)值仿真對結(jié)論進(jìn)行驗證.

1主要結(jié)果

定義1[22]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

分?jǐn)?shù)階Sprott-D混沌系統(tǒng)[21]為

當(dāng)a=1.1，b=3，q=0.995，系統(tǒng)初始值（x1（0），x2（0），x3（0））=（-2，0.2，0.5），（y1（0），y2（0），y3（0）=（1，1，1）時，系統(tǒng)出現(xiàn)吸引子，如圖1所示.

以式（1）為主系統(tǒng)，設(shè)計從系統(tǒng)為

其中△f（（t）為不確定項，（t）=（y1，y2，y3）T，d（t）為系統(tǒng)外部擾動，u（t）為控制輸入，定義e1=y1-x1（i=1，2，3），得

假設(shè)1“△f（φ（t）”≤g，“d（t）”≤h，其中未知參數(shù)g，hgt;0.

假設(shè)2y1lt;0.

引理1若x（）為連紋可微函數(shù)，則有x（）xD）Va0

引理2設(shè)V（）=（（）+2（）.若存在常數(shù)kgt;0.使得DV（D≤-k（D）.則2（）≤2V（）（-2k）.即lim1（t）=0

定理1在假設(shè)1，2條件下，構(gòu)造滑模面s（t）=e2-e1，控制量為

自適應(yīng)律為

其中g(shù)，h分別為g，h的估計值，6gt;0，則主從系統(tǒng)（1）和（2）自適應(yīng)滑模同步.

證明：當(dāng)在滑模面上運(yùn)動時，滿足s=0，可得e1=e2，由式（3）第1個方程De1=-e2，得De2=-e2→e2→0.由De1=-e1→e1→0，根據(jù)式（3）第3個方程，得

由于by3bx3=b（y2+x2）e2，且混沌系統(tǒng)執(zhí)跡有界，因此（by3-bx3）→0.式（6）可改寫為

因e1→0，故式（7）變?yōu)镈e3=y1e3，由假設(shè)2，可得e3→0.

當(dāng)不在滑模面上運(yùn)動時構(gòu)造V=+（g-+）根據(jù)引理1求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可得

根據(jù)引理2可知，｜s（t）12≤2V（0）E（-2k），從而s（t）→0.

整數(shù)階Sprott-D混沌系統(tǒng)[20]為

以式（8）為主系統(tǒng)，設(shè)計從系統(tǒng)為

其中△f（φ（t）為不確定項，φ（t）=（y1，y2，y3）T，d（t）為系統(tǒng)外部擾動，u（t）為控制輸入，定義e1=y1-x1（i=1，2，3），得

引理3若函數(shù)（）0）上一致連紋并且存在廣義分「。則有

定理2在假設(shè)1，2條件下，構(gòu)造滑模面s（t）=e2-e1，控制量為式（4）.自適應(yīng)律為

其中g(shù)，h分別為g，h的估計值，δgt;0，則主從系統(tǒng)（8）和（9）自適應(yīng)滑模同步.

證明：當(dāng)在滑模面上運(yùn)動時，滿足s=0，可得e1=e2，由式（10）第1個方程e1=-e2，得

根據(jù)式（10）第3個方程，得

由于by3-bx2=b（y2+x2）e2，且混沌系統(tǒng)跡有界，因此（y3-bx2）→0.式（12）可改寫為

因e1→0，故式（13）變?yōu)閑3=y1e3，由假設(shè)2，可得e3→0.

當(dāng)不在滑模面上運(yùn)動時，設(shè)計V=+g-g+）求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可得

2MATLAB仿真

利用MATLAB仿真程序?qū)ι鲜鰞蓚€定理中的系統(tǒng)誤差進(jìn)行數(shù)值仿真，選取系統(tǒng)參數(shù)a=1.1，b=3，q=0.995，8=2，（m（0），n（0）=（2，1.5）.分?jǐn)?shù)階Sprott-D混沌系統(tǒng)對應(yīng)的主從系統(tǒng)的狀態(tài)初始值為

不確定項和外部擾動為△f（φ（t）+d（t）=-0.1（cost）y2+0.1cost.

由定理1和定理2構(gòu)造s（t）=e2-e1，控制量為式（4），定理1的自應(yīng)律為式（5），定理2的自話應(yīng)律為式（11）.定理1和定理2中的系統(tǒng)誤差分別如圖2和圖3所示.

由圖2和圖3可見，誤差隨時間推移逐漸趨于一致并收斂到原點(diǎn).定理1比定理2達(dá)到同步所需的時間更短，定理1中系統(tǒng)誤差約在0.224s后快速趨于坐標(biāo)原點(diǎn)，定理2中系統(tǒng)誤差約在0.276s后逐漸趨于坐標(biāo)原點(diǎn).這是由于兩個定理中雖然所設(shè)計的控制器和滑模函數(shù)相同，但定理1中采用了分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)控制律，從而優(yōu)于整數(shù)階自適應(yīng)律.與傳統(tǒng)滑模面相比，本文設(shè)計的滑模函數(shù)和控制器形式更簡潔，因而控制代價小且更易實現(xiàn).

針對分?jǐn)?shù)階非線性混沌系統(tǒng)一般均采用滑模魯棒控制方法，本文借助分?jǐn)?shù)階微分性質(zhì)和分?jǐn)?shù)階控制理論研究了Sprott-D分?jǐn)?shù)階不確定混沌系統(tǒng)的滑模同步，通過構(gòu)造合適的滑模函數(shù)、控制輸入和自適應(yīng)律得到了分?jǐn)?shù)階Sprott-D混沌系統(tǒng)對應(yīng)的驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)滑模同步的充分條件.

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（責(zé)任編輯：王健）