摘要： 研究周期邊界條件下的非局部Gray-Scott模型，提出一種高效數(shù)值格式?；谒阕臃至阉枷雽⒃瓎栴}拆分為線性非局部子問題和非線性子問題。對于線性非局部子問題，結(jié)合復(fù)化梯形公式和Crank-Nicolson公式，建立時(shí)空二階差分格式；對于非線性子問題，結(jié)合Crank-Nicolson公式及Rubin-Graves線性化技術(shù)，建立線性求解格式。結(jié)果表明：非局部Gray-Scott模型的二階線性化差分格式具有穩(wěn)定性、收斂性及有效性。

關(guān)鍵詞：

非局部Gray-Scott模型； 算子分裂； 穩(wěn)定性； 有效性

中圖分類號(hào)： O 241.8文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A"" 文章編號(hào)： 1000 5013（2024）04 0524 10

Second-Order Linearized Difference Scheme for Nonlocal Gray-Scott Model

CHEN Xinyan， ZHANG Xinxin， CAI Yaoxiong

（School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China）

Abstract： An efficient numerical scheme is proposed by studying the nonlocal Gray-Scott model under periodic boundary conditions. Based on the idea of operator splitting， the original problem is divided into a linear nonlocal subproblem and a nonlinear subproblem. To linear nonlocal subproblem， a spatiotemporal second-order difference scheme is established by combining the complex trapezoidal formula and Crank Nicholson formula. To nonlinear subproblem， a linear solution format is established by combining Crank Nicholson formula and Rubin Graves linearization technique. The results show that the second-order linearized difference scheme of the nonlocal Gray-Scott model is stable， convergent and efficient.

Keywords： nonlocal Gray-Scott model； operator splitting； stability； effectiveness

Gray-Scott（GS）模型是反應(yīng)-擴(kuò)散系統(tǒng)的重要組成部分，反應(yīng)-擴(kuò)散系統(tǒng)在自然界和工業(yè)生產(chǎn)中廣泛存在，如化學(xué)反應(yīng)的燃燒、生物體內(nèi)的代謝過程、氣體和液體中的化學(xué)反應(yīng)等都屬于反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)。 GS模型是Gray和Scott［1］于1984年提出，用來描述反映器中濃度時(shí)空變化的耦合模型。由于該模型可以描述斑點(diǎn)、條紋等有趣的時(shí)空結(jié)構(gòu)，被廣泛應(yīng)用于化學(xué)［2-5］、生物［6-9］等領(lǐng)域。整數(shù)階GS模型為

ut=μuΔu-uv2+F（1-u），vt=μvΔv+uv2-（F+κ）v。（1）

式（1）中：u，v為濃度；μugt;0，μvgt;0為擴(kuò)散速率；F≥0為進(jìn)料速率；κ≥0為第2次反應(yīng)的衰減速率。

然而，隨著對含奇性問題的深入研究，人們發(fā)現(xiàn)非局部擴(kuò)散系統(tǒng)比局部擴(kuò)散系統(tǒng)可以更準(zhǔn)確地描述

收稿日期： 2023 07 22

通信作者： 蔡耀雄（1979-），男，講師，主要從事偏微分方程數(shù)值解及理論的研究。E-mail：cai_yx@126.com。

基金項(xiàng)目： 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11701196）； 福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2020J01074， 2021J01306）

https：//hdxb.hqu.edu.cn/

生物演化狀態(tài)。非局部算子避免對變量進(jìn)行空間求導(dǎo)，降低了解的正則性要求，從而可以方便地用于模擬非連續(xù)的物理現(xiàn)象。

非局部GS模型為

ut=-μuLδu-uv2+F（1-u），" （x，t）∈Ω×（0，T］，vt=-μvLδv+uv2-（F+κ）v，" （x，t）∈Ω×（0，T］。（2）

初值條件和邊界條件為

u（x，0）=u0（x），" v（x，0）=v0（x），" x∈Ω。

式（2）中：Ω=［-L，L］ 為有界區(qū)域；Lδ為非局部算子，定義［10］為

Lδu（x）=∫ΩJδ（x-y）［u（x）-u（y）］dy，x∈Ω。

其中卷積核Jδ滿足：1） Jδ（x）≥0，x∈Ω；2） Jδ（x-y）=Jδ（y-x）；3） Jδ是以Ω為周期的周期函數(shù)。

由于GS模型為非線性耦合方程組，在數(shù)值求解和理論研究中存在一定困難，許多學(xué)者致力于這一方面的研究。Pearson［11］對模型進(jìn)行一系列數(shù)值模擬后，發(fā)現(xiàn)其非常數(shù)正解存在極其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。McGough等［12］證實(shí)了以上結(jié)論，并且給出所有非負(fù)常數(shù)解的穩(wěn)定性和相應(yīng)的先驗(yàn)估計(jì)。Zhang等［13］利用向后差分法和時(shí)間上的線性外推法，建立GS模型的二階格式，并對其進(jìn)行理論分析和數(shù)值模擬。Peng等［14］對GS模型在有界域上的平衡點(diǎn)問題進(jìn)行研究，得到了關(guān)于非常數(shù)正平衡點(diǎn)不存在性的若干結(jié)論。在擴(kuò)散率ε的極限下，Chen等［15］利用混合漸近算法，對二維GS模型多點(diǎn)擬平衡模式的動(dòng)態(tài)特性及穩(wěn)定性機(jī)制進(jìn)行了深入研究。Wang等［16］給出了空間延拓GS模型的噪聲控制模式的時(shí)間演化。

然而，相比于經(jīng)典GS模型，非局部GS模型的研究結(jié)果較少。已有的非局部GS模型的數(shù)值解研究主要是以分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子［17-19］為基礎(chǔ)，因此，本文利用正定卷積算子對其進(jìn)行研究。

1 數(shù)值格式

考慮在一維區(qū)域Ω=［-L，L］上的全離散格式。為了方便進(jìn)行離散，引入時(shí)間步長τ=T/M和空間網(wǎng)格Ωh={xi=-L+ih，0≤i≤N-1}。其中：空間剖分為N，空間步長h=2L/N。給定正整數(shù)M，時(shí)間節(jié)點(diǎn)為tm=mτ，m=0，1，…，M。在Ωh上定義的所有周期網(wǎng)格函數(shù)由Mh表示，即Mh={U|U={ui|0≤i≤N-1}}。umi和u（xi，tm）分別代表數(shù)值解和精確解。

1.1 非局部算子的離散格式

對任意函數(shù)u，給定非局部算子Lδ，定義為

Lδu=（Jδ1）u-Jδu。

因此，Lδu在點(diǎn)（xi，tm）（0≤i≤N，0≤m≤M）處可表示為

（Lδu）mi=（Jδ1）iumi-（Jδu）mi。（3）

式（3）中：（Jδ1）i=∫L-LJδ（xi-y）dy；（Jδu）i=∫L-LJδ（xi-y）u（y）dy。

則Jδu結(jié)合復(fù)化梯形公式，可得（Jδu）i的離散形式為

（Jδu）i=∫L-LJδ（xi-y）u（y）dy=

∫y1y0Jδ（xi-y）u（y）dy+∫y2y1Jδ（xi-y）u（y）dy+…+∫yNyN-1Jδ（xi-y）u（y）dy=

h2［Jδ（xi-y0）u0+Jδ（xi-y1）u1］+h2［Jδ（xi-y1）u1+Jδ（xi-y2）u2］+…+h2［Jδ（xi-yN-1）uN-1+Jδ（xi-yN）uN］+O（h2）=

h2Jδ（xi-y0）u0+h∑N-1j=1Jδ（xi-yj）uj+h2Jδ（xi-yN）uN+O（h2）。（4）

同理可得

（Jδ1）iumi=h2Jδ（xi-y0）+h∑N-1j=1Jδ（xi-yj）+h2Jδ（xi-yN）umi+O（h2）。（5）

因此，結(jié)合式（4）和式（5），在周期邊界條件下對任意的N階列向量U=（u0，u1，…，uN-2，uN-1）T，有全離散形式如下

LhδU=-h1+12Jδ（Nh）Jδ（h）Jδ（2h）…Jδ（（N-1）h）12Jδ（Nh）+12Jδ（（N-1）h）2Jδ（h）…Jδ（（N-2）h）12Jδ（Nh）+12Jδ（（N-2）h）Jδ（h）3…Jδ（（N-3）h）12Jδ（（N-1）h）+12Jδ（h）Jδ（（N-2）h）Jδ（（N-3）h）…N·

（u0，u1，…，uN-2，uN-1）T=AU。（6）

式（6）中：i值為所在行其余值和的相反數(shù)，如

1=-（Jδ（h）+Jδ（2h）+…+Jδ（（N-1）h）+12Jδ（Nh））。

注1 由文獻(xiàn)［20］可知，非局部離散算子Lhδ是半正定和自伴的。

1.2 算子分裂法求解非局部GS方程

算子分裂方法的思想是將一個(gè)較為復(fù)雜的問題分解為幾個(gè)簡單的子問題進(jìn)行處理。采用二階對稱的Strang分裂方法［21］求解非局部GS模型。首先，將原始問題分解為線性非局部子問題

ut=-μuLδu-Fu，vt=-μvLδv-（F+κ）v，（7）

和非線性子問題

ut=-uv2+F，vt=uv2。（8）

記SA和SB分別為上述線性非局部子問題和非線性子問題的解算子。

基于二階Strang算子分裂方法，給定時(shí)間步長τ，非局部GS模型可通過以下方式近似求解，即

θ（x，t+τ）≈SAτ2SB（τ）SAτ2θ（x，t）。（9）

式（9）中：θ=（u，v）T。

1.2.1 非局部線性系統(tǒng)的數(shù)值逼近SA→Sτ，hA 結(jié)合式（6）和C-N格式，可得線性子問題（7）的全離散格式為

um+1i-umiτ=-μuLhδuim+12-Fuim+12，vm+1i-vmiτ=-μvLhδvim+12-（F+κ）vim+12。

令LhδUm=AUm，LhδVm=AVm。其中，Um與Vm分別定義為

Um={umi0≤i≤N-1}∈Mh，

Vm={vmi0≤i≤N-1}∈Mh。

因此，有

Um+1-Umτ=-12μu（AUm+1+AUm）-12F（Um+1+Um），Vm+1-Vmτ=-12μv（AVm+1+AVm）-12（F+κ）（Vm+1+Vm）。

通過分離變量法，可得（Um+1，Vm+1）T為

Um+1=I+τ2μuA+τ2FI-1I-τ2μuA-τ2FIUm，Vm+1=I+τ2μvA+τ2（F+κ）I-1I-τ2μvA-τ2（F+κ）IVm。 （10）

引理1 對于任意網(wǎng)格函數(shù)ψ={（ui，vi）T0≤i≤N-1}，有

‖Sτ，hAψ‖≤‖ψ‖。

其中：‖ψ‖2=h2∑0≤i≤N-1（u2i+v2i）。

證明：根據(jù)式（1）和注1可知，μu，μv，F(xiàn)和κ均為正數(shù)，Lhδ為半正定算子，因此

I+τ2μuA+τ2FI-1I-τ2μuI-τ2FI2≤1，

且

I+τ2μvA+τ2（F+κ）I-1I-τ2μvA-τ2（F+κ）I2≤1。

上式中：‖·‖2為譜范數(shù)。使用Parseval公式，可得‖Um+1‖≤‖Um‖，‖Vm+1‖≤‖Vm‖，即證。

1.2.2 非線性系統(tǒng)的數(shù)值逼近SB→Sτ，hB 討論非線性子問題式（8），針對第1個(gè)式子，基于C-N格式可建立表達(dá)式為

um+1i-umiτ=-（uiv2i）m+1+（uiv2i）m2+F。

采用R-G線性化［22］方法，定義

（uv2）m+1=um+1（vm）2+2umvmvm+1-2umvmvm。

同理，對式（8）的第2個(gè)公式也做如上處理，可得非線性子問題的全離散格式如下

um+1i-umiτ=-12（vmi）2um+1i+12（vmi）2umi-umivmivm+1i+F，vm+1i-vmiτ=-12（vmi）2umi+12（vmi）2um+1i+umivmivm+1i。（11）

通過分離變量方法，將模型進(jìn)一步化簡為

1+（vmi）22τum+1i+τumivmivm+1i=umi+umi（vmi）22τ+Fτ，-（vmi）22τum+1i+（1-τumivmi）vm+1i=vmi-umi（vmi）22τ。

可得矩陣形式為

1+（vmi）22ττumivmi-（vmi）22τ1-τumivmium+1ivm+1i=1+（vmi）22τ001-umivmi2τumivmi+Fτ0。（12）

采用“凍結(jié)系數(shù)”方法［23］研究格式（11）的穩(wěn)定性，凍結(jié)（vm）2和umvm兩項(xiàng)，并將其定義為常數(shù)，即

θ1：=max0≤m≤Mmax0≤i≤N-1（vmi）2，

θ2：=max0≤m≤M max0≤i≤N-1{umi，vmi}。

那么，式（12）可以表示為

PKm+1i=QKmi+R。（13）

式（13）中：

Kmi=umivmi，" P=1+τ2θ1τθ2-τ2θ11-τθ2，" Q=1+τ2θ1001-τ2θ2，" R=Fτ0。

當(dāng)1-τθ2+τ2θ1≠0時(shí)，矩陣P可逆，則

P-1Q=11-τθ2+τ2θ11+τ2θ1-τθ2-τ22θ1θ2-τθ21-τ2θ2τ2θ11+τ2θ11-τ2θ2+τ2θ1-τ24θ1θ2。

令

g11=1+τ2θ1-τθ2-τ22θ1θ2，" g12=-τθ21-τ2θ2，g21=τ2θ11+τ2θ1，" g22=1-τ2θ2+τ2θ1-τ24θ1θ2，可得

（P-1Q）T（P-1Q）=11-τθ2+τ2θ12g211+g221g11g12+g21g22g11g12+g21g22g122+g222。

假設(shè)

τ≤1θ1-2θ2，（14）

則存在常數(shù)C1，使得

g211+g221+g11g12+g21g221-τθ2+τ2θ12≤g211+g221+g11g12+g21g221-τθ2+τ2θ12=

1-τ22θ1θ21+τθ12-θ22+τ24θ211+τ2θ121+τθ12-θ22+

τθ21-τ2θ21+τθ12-θ2·1-τ2θ1θ21+τθ12-θ2+τ2θ11+τ2θ11+τθ12-θ2·1+τ2θ21-τ2θ11+τθ12-θ2≤1+C1τ

和

g11g12+g21g22+g212+g2221-τθ2+τ2θ12≤g11g12+g21g22+g212+g2221-τθ2+τ2θ12=

τθ21-τ2θ21+τθ12-θ2·1-τ2θ1θ21+τθ12-θ2+τ2θ11+τ2θ11+τθ12-θ2·1+τ2θ21-τ2θ11+τθ12-θ2+

τ2θ221-τ2θ221+τθ12-θ22+1+τ2θ21-τ2θ11+τθ12-θ22≤1+C1τ。

結(jié)合上述不等式，有

‖P-1Q‖22≤‖（P-1Q）T（P-1Q）‖∞≤1+C1τ。（15）

式（15）中：‖P‖∞是P的∞-范數(shù)。

結(jié)合式（13）和式（15），有引理2。

引理2 在式（14）條件下，對于任意網(wǎng)格函數(shù)ψ={（ui，vi）T0≤i≤N-1}，有

‖Sτ，hBψ‖≤1+C1τ‖ψ‖。

因此，對于問題（2），結(jié)合式（9）～（11），可得二階算子分裂格式為

U*=I+τ4μuA+τ4FI-1I-τ4μuA-τ4FIUm，V*=I+τ4μvA+τ4（F+κ）I-1I-τ4μvA-τ4（F+κ）IVm，U**-U*τ=-12（V*）2U**+12（V*）2U*-U*V*V**+F*，V**-V*τ=12（V*）2U**-12（V*）2U*+U*V*V**，Um+1=I+τ4μuA+τ4FI-1I-τ4μuA-τ4FIU**，Vm+1=I+τ4μvA+τ4（F+κ）I-1I-τ4μvA-τ4（F+κ）IV**。 （16）

式（16）中：F*=F（1，…，1）T，（U*，V*）和（U**，V**）是中間變量。

根據(jù)式（9），算法（16）還可以表示為Φm+1=Sτ2，hASτ，hBSτ2，hAΦm。

其中：Φm=（Um，Vm）T為時(shí)間tm的數(shù)值解，Sτ2，hA和Sτ，hB分別為節(jié)1.2.1和節(jié)1.2.2給出的SA和SB的數(shù)值近似。

注2 在條件（14）下，很容易驗(yàn)證矩陣P的行列式滿足P=1-τθ2+τ2θ1∈12，32，因此，P為可逆矩陣。

2 穩(wěn)定性和收斂性理論分析

定義映射Ih：L2per（Ω）→Mh，其中，L2per（Ω）={uu∈L2（Ω），u是Ω周期的}。

2.1 穩(wěn)定性分析

定理1 在條件（14）下，關(guān)于問題（2）的二階算子分裂格式（16）是穩(wěn)定的，有

‖Φm+1‖≤eC1T2‖Φ0‖。（17）

證明：由引理1和引理2，有

‖Φm+1‖=‖Sτ2，hASτ，hBSτ2，hAΦm‖≤‖Sτ，hBSτ2，hAΦm‖≤1+C1τ‖Sτ2，hAΦm‖≤1+C1τ‖Φm‖≤eC1T2‖Φ0‖。

定理證畢。

2.2 收斂性分析

假設(shè)非局部GS模型（2）在周期邊界條件下的解u（x，t）和v（x，t）滿足正則性假設(shè)

u（x，t）∈H3（0，T；Hsper（Ω）），" v（x，t）∈H3（0，T；Hsper（Ω））， ""sgt;1。（18）

為了證明收斂性，需要引理3。

引理3 對于任意函數(shù)u，v∈H3（0，T；H2per（Ω）），有

‖IhSA（τ）θ-Sτ，hAIhθ‖≤C2τ（τ2+h2）。

其中：θ=（u，v）T，C2是與τ和h無關(guān)的正常數(shù)。

證明：由于式（10）是基于時(shí)間上的二階C-N格式和空間上的二階梯形公式得到的，因此，可得引理3的結(jié)論。

引理4 對于任意函數(shù)u，v∈H3（0，T；L2（Ω）），有

‖IhSB（τ）θ-Sτ，hBIhθ‖≤C3τ3。

其中：C3是與τ和h無關(guān)的正常數(shù)。

證明：由于式（11）是基于時(shí)間上的二階C-N格式與二階R-G線性化得到的，因此可得引理4。

定義θ⌒（x，t）=（u⌒（x，t），v⌒（x，t））T為方案（9）的精確解。

因此，可以得到收斂性結(jié)論如下。

定理2 設(shè)um=（u（tm），v（tm））T和Φm=（Um，Vm）T分別是問題（2）和算法（16）在tm處的解。在式（14）與式（18）給出的正則性條件下，有

‖Φm+1-Ihum+1‖≤C（τ2+h2）。

證明：對于m≥0，有

‖Φm+1-Ihum+1‖≤‖Φm+1-Ihθ⌒m+1‖+‖Ihθ⌒m+1-Ihum+1‖。（19）

由文獻(xiàn)［10］，可得

‖Ihθ⌒m+1-Ihum+1‖≤C4τ2。（20）

式（20）中：C4gt;0為常數(shù)。

根據(jù)引理1和引理3，式（19）右邊的第1項(xiàng)滿足

‖Φm+1-Ihθ⌒m+1‖=

‖Sτ2，hASτ，hBSτ2，hAΦm-IhSAτ2SB（τ）SAτ2θ⌒m‖≤

‖Sτ2，hASτ，hBSτ2，hAΦm-Sτ2，hAIhSB（τ）SAτ2θ⌒m‖+‖Sτ2，hAIhSB（τ）SAτ2θ⌒m-

IhSAτ2SB（τ）SAτ2θ⌒m‖≤‖Sτ，hBSτ2，hAΦm-IhSB（τ）SAτ2θ⌒m‖+C2τ（τ2+h2）。（21）

根據(jù)引理2和引理4，可得

‖Sτ，hBSτ2，hAΦm-IhSB（τ）SAτ2θ⌒m‖≤‖Sτ，hBSτ2，hAΦm-Sτ，hBIhSAτ2θ⌒m‖+‖Sτ，hBIhSAτ2θ⌒m-IhSB（τ）SAτ2θ⌒m‖≤1+C1τ‖Sτ2，hAΦm-IhSA（τ2）θ⌒m‖+C3τ3。（22）

再次使用引理1和引理3，可得

‖Sτ2，hAΦm-IhSAτ2θ⌒m‖≤‖Sτ2，hAΦm-Sτ2，hAIhθ⌒m‖+‖Sτ2，hAIhθ⌒m-IhSAτ2θ⌒m‖≤‖Φm-Ihθ⌒m‖+C2τ（τ2+h2）。（23）

結(jié)合式（21）～（23），可得

‖Φm+1-Ihθ⌒m+1‖≤1+C1τ‖Φm-Ihθ⌒m‖+（1+C1τ+1）C2τ（τ2+h2）+C3τ3。（24）

又‖Φ0-Ihθ⌒0‖=0，因此，通過Gronwall不等式，可得

‖Φm+1-Ihθ⌒m+1‖≤C（τ2+h2）。（25）

合并式（19），（20），（25），有

‖Φm+1-Ihum+1‖≤C（τ2+h2）。

即證。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)，證明該方法的準(zhǔn)確性和數(shù)值效果，考慮Ω=［-1，1］，高斯核Jδ（x）形式為

Jδ（x）=4π1/2δ3e-x2δ2，" δgt;0。

3.1 收斂性測試

為了檢驗(yàn)所構(gòu)造的數(shù)值格式（16）的準(zhǔn)確性，選擇初始條件

u0（x）=2cos（4πx），v0（x）=0.1cos（2.5πx）。

考慮x∈［-1，1］，μu=0.1，μv=0.1，F(xiàn)=1和κ=1的情況，分別計(jì)算數(shù)值解uMi的最大誤差E∞和L2誤差E2，定義為

U-E∞（h，τ）=max0≤i≤N-1uMi（τ，h）-u2Miτ2，h，" h足夠小，max0≤i≤N-1uMi（τ，h）-uM2iτ，h2，" τ足夠小，

和

U-E2（h，τ）=h∑N-1i=0（uMi（τ，h）-u2Miτ2，h）2，" h足夠小，h∑N-1i=0（uMiM（τ，h）-uM2iτ，h2）2，" τ足夠小，

其中：{uMi（τ，h）|0≤i≤N-1}表示u（x，T）在時(shí)間步長τ=T/M和空間步長h=2/N時(shí)的近似解。類似地，可以定義V-E∞（h，τ）和V-E2（h，τ）。

考察空間收斂階，固定時(shí)間剖分M=3 000，T=1，δ分別取0.5和1.0，計(jì)算結(jié)果，如表1，2所示。表1，2中：Rate為收斂階。由表1，2可知：隨著網(wǎng)格的加密，U和V的最大誤差E∞和L2誤差E2逐漸減小，空間接近二階精度，與理論分析一致。

考慮時(shí)間收斂階，固定空間剖分N=1 000，T=1，δ分別取0.5和1.0，計(jì)算結(jié)果，如表3，4所示。由表3，4可知：隨著時(shí)間剖分次數(shù)的增加，U和V的最大誤差和L2誤差逐漸減小，時(shí)間接近二階精度，與理論分析一致。

3.2 數(shù)值模擬

考察非局部算子對GS模型動(dòng)力學(xué)的影響，選擇初始條件為

u0（x）=2cos（4πx），v0（x）=0.1cos（2.5πx）。

考慮x∈［-1，1］，μu=0.1，μv=0.1，F(xiàn)=1，κ=1，N=100，T=5，M=3 000時(shí)，不同δ對數(shù)值解的影響，如圖1所示。由圖1可知：GS模型的動(dòng)力學(xué)行為與δ大小有關(guān)，隨著δ的增大，U和V達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時(shí)間越長。

4 結(jié)束語

提出求解非局部Gray-Scott模型快速有效的算子分裂方法，并對其進(jìn)行嚴(yán)格的理論分析，得到時(shí)空均具有二階精度的數(shù)值方法。數(shù)值結(jié)果表明，該方法具有良好的穩(wěn)定性和有效性。

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（責(zé)任編輯：" 黃曉楠" 英文審校： 黃心中）