摘要： 采用4階龍格庫(kù)塔方法結(jié)合重心Lagrange插值配點(diǎn)法求解非線(xiàn)性Schr dinger方程。首先，在空間方向上采用重心Lagrange插值配點(diǎn)格式進(jìn)行離散，在時(shí)間方向上采用4階龍格庫(kù)塔方法離散，從而得到非線(xiàn)性Schr dinger方程的龍格庫(kù)塔配點(diǎn)格式。其次，對(duì)全離散格式進(jìn)行相容性分析。結(jié)果表明：龍格庫(kù)塔配點(diǎn)格式具有高精度，且滿(mǎn)足離散的質(zhì)量和能量守恒。

關(guān)鍵詞： 非線(xiàn)性Schr dinger方程； 4階龍格庫(kù)塔方法； 重心Lagrange插值配點(diǎn)； 相容性分析

中圖分類(lèi)號(hào)： O 241.82文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A"" 文章編號(hào)： 1000 5013（2024）04 0534 09

Runge-Kutta Collocation Scheme for Nonlinear Schr dinger Equation

YAO Mengli， TENG Yuhang， LAI Yiying， WENG Zhifeng

（School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China）

Abstract： The fourth order Runge-Kutta method and barycentric Lagrange interpolation collocation method are used to solve the nonlinear Schr dinger equation. Firstly， the barycentric Lagrange interpolation collocation scheme is discreted in the spatial direction， and the fourth-order Runge-Kutta method is discreted in the temporal direction. The Runge-Kutta collocation scheme of the nonlinear Schr dinger equation is obtained. Secondly， the consistency analysis of the fully discrete scheme is analyzed. The results show that the Runge-Kutta collocation scheme has the high accuracy and satisfies the conservation of discrete mass and energy.

Keywords： nonlinear Schr dinger equation； fourth-order Runge-Kutta method； barycentric Lagrange interpolation collocation； consistency analysis

在經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)采用質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)和速度進(jìn)行描述，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程就是牛頓運(yùn)動(dòng)方程。而在量子力學(xué)中，微觀粒子的狀態(tài)則采用波函數(shù)進(jìn)行描述，且決定粒子狀態(tài)變化的方程不再是牛頓運(yùn)動(dòng)方程，而是Schr dinger方程 ［1］。1926年，奧地利物理學(xué)家薛定諤提出了Schr dinger方程，該方程是量子力學(xué)領(lǐng)域的基本方程，其在量子力學(xué)的重要性毫不遜色于牛頓運(yùn)動(dòng)定律在經(jīng)典力學(xué)中的重要性.非線(xiàn)性Schr dinger（NLS）方程在量子力學(xué)、非線(xiàn)性光學(xué)、電磁學(xué)等離子理論和固體物理等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。帶初邊值條件的NLS方程為

iut+ρΔu+v（x）u+βu2u=0，" x∈Ω， t∈［0，T］，u（x，0）=u0（x），" x∈Ω，u（x，t）=0，" x∈Ω， t∈［0，T］。（1）

式（1）中：i為虛數(shù)單位；ρ，β為實(shí)常數(shù)；Ω∈Rd（d=1，2）是有界區(qū)域；Δ為L(zhǎng)aplace算子，復(fù)值函數(shù)u（x，t）為波函數(shù)；實(shí)值函數(shù)v（x）為外場(chǎng)的勢(shì)能；u0（x）為足夠光滑的函數(shù)。

帶初邊值條件的NLS方程的計(jì)算結(jié)果很好地反映量子力學(xué)效應(yīng)和微觀系統(tǒng)性質(zhì)，且能很好地描述微觀粒子的狀態(tài)隨時(shí)間的變化情況。NLS方程滿(mǎn)足質(zhì)量守恒，即

M（t）=∫Ω|u（x，t）|2dx=M（0），（2）

以及滿(mǎn)足能量守恒，即

E（t）=∫Ω（ρ|SymbolQC@u（x，t）|2-v（x）|u（x，t）|2-β2|u（x，t）|4）dx=E（0）。（3）

近年來(lái)，對(duì)NLS方程的數(shù)值研究引起了廣大學(xué)者的關(guān)注。Hu等［2］研究了帶5次項(xiàng)的NLS方程4階緊致差分格式，并證明最大范數(shù)下的無(wú)條件穩(wěn)定性和收斂性。Guo等［3］ 利用兩級(jí)有限差分格式結(jié)合吸收邊界方法求NLS方程。Feng 等［4］構(gòu)造NLS方程的高階守恒SAV-Gauss配置有限元格式。Wang等［5］提出NLS方程的兩層網(wǎng)格有限元格式，并對(duì)其進(jìn)行超收斂性分析。Fu等［6］研究二維NLS方程的顯式高階保指數(shù)差分龍格庫(kù)塔格式。Hu等［7］提出帶波動(dòng)算子的二維NLS方程的守恒型差分格式。Zhai等［8］利用算子分裂法求解空間分?jǐn)?shù)階NLS方程，并進(jìn)行嚴(yán)格的誤差分析和數(shù)值模擬。Deng等［9］ 提出NLS方程的二階SAV格式，并給出嚴(yán)格的誤差分析。

以上求解NLS方程的數(shù)值方法都是基于網(wǎng)格剖分，從而建立逼近格式。近年來(lái)，一種新型的無(wú)網(wǎng)格方法（重心插值配點(diǎn)法）引起學(xué)者關(guān)注。重心插值配點(diǎn)法具有計(jì)算格式簡(jiǎn)單、精度高、程序?qū)嵤┓奖愫凸?jié)點(diǎn)適應(yīng)性好等特點(diǎn)，使用Chebyshev節(jié)點(diǎn)的重心Lagrange插值公式還可以有效克服Runge現(xiàn)象。目前，重心插值配點(diǎn)法已經(jīng)被推廣到求解Sine-Gordon方程［10］、Burgers方程［11-13］、粘彈性波方程［14］、Allen-Cahn方程［15-18］、非線(xiàn)性對(duì)流擴(kuò)散最優(yōu)控制問(wèn)題［19-20］和分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程［21］等。基于前人的工作，本文主要采用4階龍格庫(kù)塔和重心Lagrange插值配點(diǎn)格式相結(jié)合的方法求解NLS方程，并給出該問(wèn)題全離散格式的相容性分析。

1 預(yù)備知識(shí)

給定m+1個(gè)節(jié)點(diǎn)xj和其函數(shù)值gj（j=0，1，…，m），設(shè)插值多項(xiàng)式p（x）是g（x）的近似值，且滿(mǎn)足p（xj）=gj。將p（x）改寫(xiě)成Lagrange插值多項(xiàng)式，即

g（x）≈p（x）=∑mj=0Lj（x）gj。（4）

式（4）中：Lj（x）為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù)，且Lj（x）=∏mi=0，i≠j（x-xi）/∏mi=0，i≠j（xj-xi）。

為了保證良好的數(shù)值穩(wěn)定性，重心Lagrange插值逼近未知函數(shù)時(shí)使用第2類(lèi)Chebyshev節(jié)點(diǎn)，即

xj=cosjmπ，" j=0，1，…，m。（5）

p（x）在節(jié)點(diǎn)xj處的v階導(dǎo)數(shù)可以表示為

p（v）（xi）=dvp（xi）dxv=∑mj=0L（v）j（xi）pj=∑mj=0D（v）i，jpj，" v=1，2，…，m。（6）

由文獻(xiàn)［22］可知，二階微分矩陣D（2）的計(jì)算公式為

D（2）i，j=L″j（xi）=-2wj/witi-tj∑k≠iwk/witi-tk+1ti-tj，" j≠i，D（2）i，i=-∑mj=0，j≠iD（2）i，j。（7）

2 NLS方程的龍格庫(kù)塔配點(diǎn)格式

對(duì)一維NLS方程的半離散格式進(jìn)行推導(dǎo)，設(shè)xi（i=0，1，…，m）為Chebyshev空間節(jié)點(diǎn)，時(shí)間節(jié)點(diǎn)為tk=kτ，k=0，1，2，…，n，τ=Tn。

在空間方向上采用重心Lagrange插值配點(diǎn)法得到半離散格式，即

iut（xi，t）=-ρ∑mk=0L″i（x）u（xi，t）-v（xi）u（xi，t）-βu（xi，t）2u（xi，t）。（8）

式（8）的矩陣形式為

i（uh（t））t=-ρ（D（2）Im）uh（t）-Vuh（t）-βuh（t）2uh（t）。（9）

式（9）中：符號(hào)表示矩陣的Kronecker積；uh（t）=［u0（t），u1（t），…，um（t）］′；V=diag［v（x0），v（x1），…，v（xm）］。

類(lèi)似可得二維NLS方程的空間半離散格式，即

i（uh（t））t=-ρ（（C（2）Im）uh（t）+（InD（2））uh（t））-Vuh（t）-βuh（t）2uh（t）。（10）

定義算子A為

A=i［ρ（C（2）Im）+ρ（InD（2））+V+diag（βuh（t）2）。（11）

式（10）可改寫(xiě)為

（uh（t））t=Auh（t）。（12）

其次，令ukh=uh（tk），在時(shí)間方向上用4階龍格庫(kù)塔方法進(jìn)行離散，得到的全離散格式為

uk+1h=ukh+τ6（k1+2k2+2k3+k4）。（13）

式（13）中：k1=Aukh；k2=Aukh+k1τ2；k3=Aukh+k2τ2；k4=A（ukh+k3τ）。

3 相容性分析

設(shè)p（x，y）是u（x，y）的拉格朗日插值函數(shù)，滿(mǎn)足p（xi，yj）=u（xi，yj），i=0，1，…，m；j=0，1，…，n。 定義誤差函數(shù)為

r（x，y）=u（x，y）-p（x，y）。（14）

引理1［21］ 假設(shè)u∈Cm+1（a，b），則有

‖r（x，y）‖∞≤C1‖u（m+1）‖∞elx2mm+C2‖u（n+1）‖∞ely2nn，‖rx，x（x，y）‖∞≤C**1‖u（m+1）‖∞elx2（m-2）m-2+C2‖u（n+1）‖∞ely2nn，‖ry，y（x，y）‖∞≤C1‖u（m+1）‖∞elx2mm+C**2‖u（n+1）‖∞ely2（n-2）（n-2）。

式中：lx=b-a2；ly=d-c2；e是自然常數(shù)。

基于引理1，可得定理1。

定理1［23］若u（x，y，t）∈Cm+1（Ω）×C2（0，T］，Ω=［a，b］×［c，d］，則有

‖u（x，y，t）-u（xi，yj，t）‖∞≤C**1‖u（m+1）‖∞elx2（m-2）m-2+C**2‖u（n+1）‖∞ely2（n-2）n-2。

定理2為時(shí)間方向上基于4階龍格庫(kù)塔方法的全離散格式相容性分析。

定理2 若u（x，y，t）∈Cm+1（Ω）×C2（0，T］，Ω=［a，b］×［c，d］，則有

‖u（x，y，t）-u（xi，yj，tk+1）‖∞≤Cτ5+‖u（m+1）‖∞elx2（m-2）m-2+‖u（n+1）‖∞ely2（n-2）n-2。

證明：設(shè)u（xi，yj，t）是u（x，y，t）空間方向基于重心插值配點(diǎn)法離散的數(shù)值解，則

iut（xi，yj，t）=-ρΔu（xi，yj，t）-v（xi，yj）u（xi，yj，t）-βu（xi，yj，t）2u（xi，yj，t）+γi，j。（15）

令Th（xi，yj，t）=-ρΔu（xi，yj，t）-v（xi，yj）u（xi，yj，t）-βu（xi，yj，t）2u（xi，yj，t），（16）

則式（15）可簡(jiǎn)化為

iut（xi，yj，t）=Thu（xi，yj，t）+γi，j。（17）

式（17）中：γi，j是空間截?cái)嗾`差。

由定理1可知

γi，j≤C**1‖u（m+1）‖∞elx2（m-2）m-2+C**2‖u（n+1）‖∞ely2（n-2）n-2。（18）

設(shè)uk+1h=u（xi，yj，tk+1）是u（x，y，t）時(shí)間方向基于4階龍格庫(kù)塔方法離散的數(shù)值解，則由泰勒展開(kāi)公式有

uk+1h=ukh+τ6（k1+2k2+2k3+k4）+γi，j+O（τ5）。（19）

式（19）中：k1=Thukh；k2=Thukh+k1τ2；k3=Thukh+k2τ2；k4=Th（ukh+k3τ）。

證明完畢。

4 數(shù)值算例

定義L∞誤差（Err∞）和L2誤差（Err2）分別為

Err∞=max1≤i，j≤MUi，j-ui，j，Err2=h∑Mi，j=1（Ui，j-ui，j）2。

式中：ui，j表示點(diǎn)xi，j處的精確解；Ui，j表示點(diǎn)xi，j處的數(shù)值解。

算例1 ρ=12，β=-1，式（1）的真解為u（x，t）=exp（-3it2）·sin x，初始條件為u（x，0）=sin x，邊界條件為u（0，t）=u（2π，t）=0，勢(shì)函數(shù)為v（x）=-cos2x。

選取區(qū)域Ω=［0，2π］×［0，1］，時(shí)間步長(zhǎng)τ=10-4。重心Lagrange插值配點(diǎn)格式和2階有限差分格式的L∞誤差和L2誤差，如表1所示。表1中：M為節(jié)點(diǎn)數(shù)。由表1可知：重心Lagrange插值配點(diǎn)格式在空間上用較少的點(diǎn)就可以達(dá)到更高的精度。

重心插值配點(diǎn)格式的誤差及時(shí)間收斂階，如表2所示。表2中：Rate1，Rate2分別為L(zhǎng)∞誤差收斂階，L2誤差收斂階。由表2可知：龍格庫(kù)塔配點(diǎn)格式的時(shí)間收斂階是4階。

令M=48，重心Lagrange插值配點(diǎn)格式的數(shù)值解、精確解（M=48），如圖1所示。由圖1可知：數(shù)值解圖像與精確解圖像逼近。

不同數(shù)值格式的空間收斂階，如圖2所示。由圖2可知：有限差分格式的收斂階是2階，而重心Lagrange插值配點(diǎn)格式的收斂階滿(mǎn)足指數(shù)收斂的性質(zhì)，明顯優(yōu)于經(jīng)典的有限差分方法。

重心Lagrange插值配點(diǎn)格式對(duì)守恒量的保持情況（M=48），如圖3所示。圖3中：M（t），E（t）分別為質(zhì)量、能量函數(shù)。由圖3可知：龍格庫(kù)塔配點(diǎn)格式滿(mǎn)足質(zhì)量守恒和能量守恒，與理論相符。

算例2 考慮一維NLS方程，選取M=138，τ=1/40 000，對(duì)應(yīng)的計(jì)算區(qū)間為［-2π，10π］×［0，5］。ρ=1，β=2，選取初始條件為u（x，0）=sech xexp（2ix），邊界條件為u（a，t）=u（b，t）=0，勢(shì)函數(shù)v（x）=0。

重心Lagrange插值配點(diǎn)格式的孤立波波形，如圖4所示。由圖4可知：龍格庫(kù)塔配點(diǎn)格式的孤立波波形隨時(shí)間的改變而不斷演化，并且在演化的過(guò)程中波形并沒(méi)有出現(xiàn)絲毫震蕩，模擬結(jié)果充分體現(xiàn)出該格式的穩(wěn)定性。

算例3 考慮如下二維NLS方程，即

iut+12Δu-v（x，y）u-u2u=0，u（x，y，0）=sin xsin y，u（0，y，t）=u（2π，y，t）=0，u（x，0，t）=u（x，2π，t）=0。

勢(shì)函數(shù)v（x，y）=1-sin2xsin2y，真解u（x，y，t）=exp（-2it）·sin xsin y。

選取區(qū)域Ω×［0，1］，Ω=［0，2π］2，τ=10-3。重心插值配點(diǎn)格式和二階有限差分格式的L∞誤差和L2誤差（τ=10-3），如表3所示。由表3可知：重心Lagrange插值配點(diǎn)格式在空間上用較少的點(diǎn)就可達(dá)到更高的精度，計(jì)算精度明顯優(yōu)于經(jīng)典的有限差分方法。

重心插值配點(diǎn)格式的誤差及時(shí)間收斂階（M=16），如表4所示。由表4可知：龍格庫(kù)塔配點(diǎn)格式的時(shí)間收斂階是4階。

令M=N=40，重心Lagrange插值配點(diǎn)格式的數(shù)值解、精確解（M=40），如圖5所示。由圖5可知：數(shù)值解圖像和精確解圖像基本吻合。

不同數(shù)值格式的空間收斂階，如圖6所示。

重心Lagrange插值配點(diǎn)格式對(duì)守恒量的保持情況（M=40），如圖7所示。

5 結(jié)束語(yǔ)

將龍格庫(kù)塔與重心Lagrange 插值Chebyshev 配點(diǎn)法相結(jié)合，時(shí)間精度可達(dá)到4階，空間精度滿(mǎn)足指數(shù)收斂，給出全離散格式的相容性分析，通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證所提格式的高精度和有效性。通過(guò)與經(jīng)典的差分格式進(jìn)行比較，表明提出的格式可以用較少的點(diǎn)達(dá)到較高的精度。該方法可推廣到其他非線(xiàn)性微分方程，從而為解決同類(lèi)問(wèn)題提供一種高精度數(shù)值求解方法。

參考文獻(xiàn)：

［1］ SCHRDINGER E.The present status of quantum mechanics［J］.Die Naturwissenschaften，1935，23：1-26.DOI：10.48550/arXiv.2104.09945.

［2］ HU Hanqing，HU Hanzhang.Maximum norm error estimates of fourth-order compact difference scheme for the nonlinear Schr dinger equation involving a quintic term［J］.Journal of Inequalities and Applications，2018，2018（1）：1-15.DOI：10.1186/s13660-018-1775-y.

［3］ GUO Feng，DAI Weizhong.A new absorbing layer approach for solving the nonlinear Schr dinger equation［J］.Applied Numerical Mathematics，2023，189：88-106.DOI：10.1016/j.apnum.2023.04.003.

［4］ FENG Xiaobing，LI Buyang，MA Shu.High-order mass-and energy-conserving SAV-Gauss collocation finite element methods for the nonlinear Schr dinger equation［J］.SIAM Journal on Numerical Analysis，2021，59：1566-1591.DOI：10.1137/20M1344998.

［5］ WANG Junjun，LI Meng，GUO Lijuan.Superconvergence analysis for nonlinear Schr dinger equation with two-grid finite element method［J］.Applied Mathematics Letters，2021，122：107553.DOI：10.1016/j.aml.2021.107553.

［6］ FU Yayun，XU Zhuangzhi.Explicit high-order conservative exponential time differencing Runge-Kutta schemes for the two-dimensional nonlinear Schr dinger equation［J］.Computers and Mathematics with Applications，2022，119：141-148.DOI：10.1016/j.camwa.2022.05.021.

［7］ HU Hanzhang，CHEN Yanping.A conservative difference scheme for two dimensional nonlinear Schr dinger equation with wave operator［J］.Numerical Methods for Partial Differential Equations，2016，32（3）：862-876.DOI：10.1002/num.22033.

［8］ ZHAI Shuying，WANG Dongling，WENG Zhifeng，et al.Error analysis and numerical simulations of strang splitting method for space fractional nonlinear Schr dinger equation［J］.Journal of Scientific Computing，2019，81：965-989.DOI：10.1007/s10915-019-01050-w.

［9］ DENG Beichuan，SHEN Jie，ZHUANG Qingqu.Second-order SAV schemes for the nonlinear Schr dinger equation and their error analysis［J］.Journal of Scientific Computing，2021（69）：88.DOI：10.1007/s10915-021-01576-y.

［10］ LI Jin，QU Jinzheng.Barycentric Lagrange interpolation collocation method for solving the Sine-Gordon equation［J］.Wave Motion，2023，120：103159.DOI：10.1016/j.wavemoti.2023.103159.

［11］ HU Yudie，PENG Ao，CHEN Liquan，et al.Analysis of the barycentric interpolation collocation scheme for the Burgers equation［J］.Science Asia，2021，47：758-765.DOI：10.2306/ scienceasia1513-1874.2021.081.

［12］ 胡玉蝶，彭澳，陳麗權(quán)，等.有限差分-配點(diǎn)法求解二維Burgers方程［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2023，39（1）：100-112.DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2023.01.008.

［13］ 羅詩(shī)棟，凌永輝.Rosenau-Burgers方程的一種高精度有限差分格式［J］.閩南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2022，35（4）：5-12.DOI：10.16007/j.cnki.issn2095-7122.2022.04.013.

［14］ ORUC .Two meshless methods based on local radial basis function and barycentric rational interpolation for solving 2D viscoelastic wave equation［J］.Computational and Applied Mathematics，2020，79：3272-3288.DOI：10.1016/j.camwa.2020.01.025.

［15］ DENG Yangfang，WENG Zhifeng.Barycentric interpolation collocation method based on Crank-Nicolson scheme for the Allen-Cahn equation［J］.AIMS Mathematics，2021，6：3857-3873.DOI：10.3934/math.2021229.

［16］ DENG Yangfang，WENG Zhifeng.Operator splitting scheme based on barycentric Lagrange interpolation collocation method for the Allen-Cahn equation［J］.Journal of Applied Mathematics and Computing，2022，68（5）：3347-3365.DOI：10.1007/s12190-021-01666-y.

［17］ 黃蓉，鄧楊芳，翁智峰.SAV/重心插值配點(diǎn)法求解Allen-Cahn方程［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2023，44（5）：573-582.DOI：10.21656/1000-0887.430149.

［18］ 黃蓉，翁智峰.時(shí)間分?jǐn)?shù)階Allen-Cahn方程的重心插值配點(diǎn)法［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2022，43（4）：553-560.DOI：10.11830/ISSN.1000-5013.202101060.

［19］ HUANG Rong，WENG Zhifeng.A numerical method based on barycentric interpolation collocation for nonlinear convection-diffusion optimal control problems［J］.Networks and Heterogeneous Media，2023，18（2）：562-580.DOI：10.3934/nhm.2023024.

［20］ 黃蓉，姚夢(mèng)麗，翁智峰.對(duì)流擴(kuò)散方程最優(yōu)控制問(wèn)題的重心插值配點(diǎn)格式［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2023，44（3）：407-416.DOI：10.11830/ISSN.1000-5013.202203023.

［21］ YI Shichao，YAO Linquan.A steady barycentric Lagrange interpolation method for the 2D higher-order time-fractional telegraph equation with nonlocal boundary condition with error analysis［J］.Numerical Methods for Partial Differential Equations，2019（35）：1694-1716.DOI：10.1002/num.22371.

［22］ BERRUT J P，TREFETHEN L N.Barycentric Lagrange interpolation［J］.SIAM Review，2004，46：501-507.DOI：10.1137/S0036144502417715.

［23］ SUN Haoran，HUANG Siyu，ZHOU Mingyang，et al.A numerical investigation of nonlinear Schr dinger equation using barycentric interpolation collocation method［J］.AIMS Mathematics，2023，8（1）：361-381.DOI：10.3934/math.2023017.

（責(zé)任編輯：" 陳志賢" 英文審校： 黃心中）