張海軍　李雪

摘 要 基于雙曲守恒律方程，詳細(xì)闡述了非結(jié)構(gòu)三角形網(wǎng)格的有限體積方法。在該方法中，通過(guò)運(yùn)用數(shù)值流函數(shù)來(lái)近似計(jì)算線(xiàn)積分，并且詳細(xì)介紹了常見(jiàn)的三種數(shù)值流函數(shù)。時(shí)間的離散采用三階TVD Runge-Kutta方法。

關(guān)鍵詞 有限體積法 非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格 數(shù)值流函數(shù) 龍格-庫(kù)塔法

中圖分類(lèi)號(hào)：V211 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

0 引言

有限體積方法可以認(rèn)為是有限元法和有限差分法的結(jié)合，所以有限體積法吸取了有限元網(wǎng)格剖分靈活的優(yōu)點(diǎn)，克服了差分法網(wǎng)格適應(yīng)性差的缺點(diǎn)。二十世紀(jì)八十年代以來(lái)，由于非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的發(fā)展，有限體積法取得了很大的進(jìn)步，為雙曲型守恒律方程的發(fā)展提供了很大的空間。因此，非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格下的有限體積法已經(jīng)成為數(shù)值模擬復(fù)雜、高速流動(dòng)的重要方法。

1 格式的構(gòu)造

1.1 空間離散

對(duì)于二維標(biāo)量雙曲守恒律方程

對(duì)計(jì)算區(qū)域采用規(guī)則的三角形網(wǎng)格剖分，以三角形單元本身作為控制體，對(duì)上式在三角形單元A上積分得：

利用Green公式得：

其中是U在三角形A的網(wǎng)格平均值，是三角形A的面積，是三角形A的第k條邊，是第k條邊對(duì)應(yīng)的外法向量。定義，且定義外法向量的模長(zhǎng)為對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度，用中矩形公式近似上式中的積分可得：

。

其中表示第k條邊的中點(diǎn)，表示與三角形A的第k條邊共邊的三角形對(duì)應(yīng)邊的重構(gòu)函數(shù)，為數(shù)值流函數(shù)。

1.2 數(shù)值流函數(shù)的近似

數(shù)值流函數(shù)是近似，常用的有三種形式：

第一種形式為算術(shù)平均形式：

；

第二種形式為L(zhǎng)ax-Friendrich數(shù)值流函數(shù)：

；

其中是Jacobian矩陣的復(fù)合線(xiàn)性函數(shù)。

第三種形式為Roe的Riemann解算子，

。

1.3 時(shí)間離散

在有限體積法的構(gòu)造中，人們習(xí)慣對(duì)時(shí)間和空間分別進(jìn)行處理，時(shí)間方向的離散一般采用文獻(xiàn)[3]中的TVD Runge-Kutta方法。

2 結(jié)語(yǔ)

在非結(jié)構(gòu)的三角形網(wǎng)格下，詳細(xì)描述了雙曲守恒律方程的有限體積方法，通過(guò)運(yùn)用數(shù)值流函數(shù)來(lái)近似計(jì)算積分。時(shí)間的離散用三階TVD Runge-Kutta方法表達(dá)式。

參考文獻(xiàn)

[1] 趙延生.非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的ENO有限體積方法研究[D].長(zhǎng)沙：國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)研究生院， 2004，1-52.

[2] 朱華君.二維淺水波方程的高階有限體積格式[D].長(zhǎng)沙：國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)研究生院， 2006，1-54.

[3] Fjordholm U， Mishra S， Tadmor E. Energy preserving and energy stable schemes for the shallow water equations[C].2009，93-139.endprint