李德舉，黃 河

（中國電子科技集團公司第二十九研究所，四川成都 610036）

引 言

天線座作為支撐并驅(qū)動天線等載荷回轉(zhuǎn)的機械類裝備有著廣泛的應用。天線座的動力學特性直接影響著載荷的指向精度、穩(wěn)定時間等動態(tài)性能，而天線座扭轉(zhuǎn)維度的固有頻率是動態(tài)性能最直觀的指標。

文獻[1]采用牛頓法對天線座驅(qū)動系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動諧振頻率進行了計算；文獻[2]采用霍爾茲法分別對某型艦載雷達天線傳動系統(tǒng)的固有頻率進行了計算；文獻[3]同樣采用霍爾茲法對某型天線座前5階的扭轉(zhuǎn)振動固有頻率進行了計算；文獻[4]對位標器傳動裝置的固有頻率和模態(tài)進行了分析，并對傳動裝置進行了優(yōu)化；文獻[5]采用拉格朗日法建立了某天線座的多柔體動力學模型，得到了天線座中齒輪副的動力學響應，并通過ADAMS進行了仿真分析，所得結(jié)果與試驗結(jié)果一致。本文以方位轉(zhuǎn)臺式天線座為研究對象，基于拉格朗日法創(chuàng)建動力學方程，得到扭轉(zhuǎn)振動固有頻率的解析表達式，使用ADAMS軟件仿真分析了天線座的固有頻率，并與理論分析結(jié)果進行了比較。

1 天線座組成及工作原理

某方位轉(zhuǎn)臺式天線座的組成和外形分別如圖1和圖2（除去了負載及平臺）所示。天線座的傳動原理如下：交流伺服電機提供動力，經(jīng)減速器將動力傳遞給輸出端小齒輪，小齒輪與轉(zhuǎn)盤軸承內(nèi)圈上的內(nèi)齒嚙合，從而驅(qū)動與內(nèi)圈固連的負載轉(zhuǎn)動。其中，減速器為直角型式，轉(zhuǎn)盤軸承外圈與基座及車平臺固連，內(nèi)圈與轉(zhuǎn)盤及負載固連。

圖1 天線座組成

圖2 天線座外形

2 基于拉格朗日法的固有頻率計算

在天線座設計之初，通常對振型關(guān)注度不高，只需求解扭轉(zhuǎn)振動固有頻率，為伺服系統(tǒng)設計師和總體設計師提供參考。

為便于分析，將天線座視為一線性定常系統(tǒng)，用拉格朗日法建立其動力學模型。拉格朗日法從功能平衡角度出發(fā)，根據(jù)動能與勢能之差建立拉格朗日函數(shù)。不考慮系統(tǒng)損耗時，動力學方程的基本形式為：

式中：t為時間；qi為廣義坐標；L為拉格朗日函數(shù)，L=T-U（T為系統(tǒng)的動能，U為系統(tǒng)的勢能）；Fi為廣義力。

在選取廣義坐標后，求得各部分的動能、勢能、拉格朗日函數(shù)及其偏導數(shù)，再通過系數(shù)矩陣形式描述動力學方程，即可求解固有頻率。

2.1 動力學模型

2.1.1 廣義坐標

假設負載、車平臺等構(gòu)件為剛體，忽略摩擦、側(cè)隙等非線性因素，只考慮電機、減速器的勢能，并將電機和減速器的扭轉(zhuǎn)剛度視為恒定值。

在描述系統(tǒng)動能和勢能時，考慮天線座中伺服電機輸出端、減速器輸出端及末級的轉(zhuǎn)角、角速度、角加速度，選取構(gòu)件的轉(zhuǎn)角θi為廣義坐標，令各構(gòu)件的慣量為Ji，扭轉(zhuǎn)剛度為Ki，下標i與圖1中的構(gòu)件編號對應。減速器的速比為n2，轉(zhuǎn)盤軸承內(nèi)齒與小齒輪之間的速比（末級速比）為n4。

天線座的原理框圖如圖3所示。實際使用時，無論天線座扇掃、圓掃還是駐留，伺服電機接收驅(qū)動器指令后，電機轉(zhuǎn)子的運動均已確定，故電機端應為約束狀態(tài)。

圖3 天線座原理框圖

2.1.2 系統(tǒng)動能

系統(tǒng)的動能為各部件動能之和：

2.1.3 系統(tǒng)勢能

系統(tǒng)的勢能為電機與減速器勢能之和：

2.1.4 拉格朗日函數(shù)及偏導數(shù)

根據(jù)式（2）和（3）可得拉格朗日函數(shù)：

式中：T1和T7分別為伺服電機和負載的動能；Jε1=

寫成如下矩陣形式：

慣量矩陣J和剛度矩陣K分別為：

2.1.5 固有頻率

天線座的扭轉(zhuǎn)振動頻率可簡化為求解特征值方程問題：

即：

式中，ω為扭轉(zhuǎn)振動圓頻率。

式（9）的解析解較為復雜，可通過已知參數(shù)代入，便可得到兩階扭轉(zhuǎn)振動頻率。

2.2 考慮平臺扭轉(zhuǎn)剛度的動力學模型

若考慮其他彈性環(huán)節(jié)，可引入相應的廣義坐標，建立對應的運動學方程。例如，考慮天線座安裝平臺的扭轉(zhuǎn)變形影響，需計入平臺的轉(zhuǎn)角θ9、扭轉(zhuǎn)剛度K9、轉(zhuǎn)盤軸承外圈、基座和平臺的轉(zhuǎn)動慣量J5，J8和J9，則式（2）調(diào)整為：

式（3）調(diào)整為：

通過比較引入平臺扭轉(zhuǎn)剛度前后的結(jié)果可知：

1）式（9）與式（12）中a11，a12，a21和a22四個元素完全相同，除元素a33外，其他元素為0。故式（12）得到的三階頻率中兩階與式（9）相同；

其中，平臺的轉(zhuǎn)動慣量J9在動態(tài)過程中的具體數(shù)值與平臺構(gòu)型、質(zhì)量分布密切相關(guān)，無法準確量化。對此，可采用仿真的方法進行分析。

3 基于ADAMS的仿真分析

除了采用數(shù)學模型對天線座的扭轉(zhuǎn)振動頻率進行計算外，還可以采用實體模型，在多體動力學軟件中進行仿真分析，并與數(shù)學模型求得的結(jié)果互相驗證。本文基于多體動力學分析軟件ADAMS，對天線座進行動力學建模，并求解扭轉(zhuǎn)振動固有頻率。

3.1 模型前處理

天線座由諸多零部件構(gòu)成，為提高仿真效率且保證計算的準確性，需要對模型進行一定程度的簡化。

首先要去除對仿真結(jié)果影響很小的螺釘?shù)染o固件，再基于統(tǒng)一坐標系，將具有同樣運動狀態(tài)且為相同材料的實體整合為一個構(gòu)件。基座、轉(zhuǎn)盤軸承、轉(zhuǎn)盤、小齒輪為真實狀態(tài)的物理模型。電機、減速器、負載由多種材料組成，且本文并非研究部件特性，所以根據(jù)它們的實際重量、重心和慣量，通過圓柱實體表征即可。

此外，在建立運動副時，常常要用到依附于構(gòu)件的Marker點，所以需要提前確定這些點的坐標，包括轉(zhuǎn)盤軸承內(nèi)齒與小齒輪齒寬中面上分度圓切點的坐標、小齒輪齒寬中面與回轉(zhuǎn)軸的交點等。

以上操作建議在三維建模軟件中進行，再將簡化后的模型轉(zhuǎn)化為.x_t格式的文件，導入Adams View環(huán)境中。

3.2 仿真設置

仿真設置主要包括賦予部件材料及質(zhì)量特性，建立運動副，施加載荷、驅(qū)動等。

3.2.1 物理特性定義

轉(zhuǎn)盤和基座的材料為鋁合金，轉(zhuǎn)盤軸承和齒輪的材料為合金鋼，賦予相應密度即可。

3.2.2 運動副創(chuàng)建

模型中運動副包括小齒輪與減速器之間的轉(zhuǎn)動副，轉(zhuǎn)盤軸承內(nèi)圈與外圈之間的轉(zhuǎn)動副以及小齒輪與轉(zhuǎn)盤軸承內(nèi)圈之間的齒輪副。齒輪副可采用關(guān)聯(lián)以上兩旋轉(zhuǎn)副與分度圓上Marker點的方式創(chuàng)建，或在機構(gòu)模塊中創(chuàng)建。前者按照理論傳動比傳遞運動和動力，后者的選擇更多，需考慮嚙合狀態(tài)、接觸等因素影響，本文暫不考慮這些非線性因素，故選用第一種方法進行創(chuàng)建。

電機軸由圓柱實體提供慣量，其輸入端與大地之間構(gòu)成轉(zhuǎn)動副，輸出端通過扭簧與減速器輸入端連接，以模擬電機軸扭轉(zhuǎn)剛度；減速器內(nèi)部輪系由一級齒輪副代替，以模擬其速比，其輸出端與小齒輪之間通過扭簧連接，以模擬扭轉(zhuǎn)剛度。

另外，在上述扭簧的設置中，不應忽略阻尼系數(shù)，否則會在固有頻率處產(chǎn)生共振，末端響應會趨于無窮。電機阻尼系數(shù)受內(nèi)部磁路、軸承參數(shù)等影響，減速器阻尼系數(shù)受齒輪與軸承參數(shù)、潤滑脂類型等影響，可通過試驗或計算得到?？紤]到這并非本文關(guān)注的重點，故參照文獻[6]中數(shù)據(jù)，設定阻尼系數(shù)為100 N·mm·s/(°)，使得末端響應不發(fā)散即可。

3.3 運動學分析

在進行動力學仿真之前，先對模型進行運動學驗證，以保證各運動副的正確性。圖3中天線座的參數(shù)見表1。

表1 天線座參數(shù)

依照3.1和3.2節(jié)中所述的步驟，建立除平臺以外的天線座實體模型。先將系統(tǒng)中扭簧抑制，扭簧兩端構(gòu)件直接固連，然后在電機輸出端施加1 000°/s的轉(zhuǎn)速驅(qū)動。

設置仿真時間2 s，100個載荷步。仿真結(jié)果如圖4所示。根據(jù)速比關(guān)系，轉(zhuǎn)盤的角速度應為5.026 5°/s，負載轉(zhuǎn)角與理論結(jié)果吻合。

圖4 天線座運動學仿真

3.4 動力學分析

在進行動力學仿真之前，激活電機及減速器輸出端的扭簧。然后在電機輸出端使用SWEEP命令施加正弦掃頻驅(qū)動，由于頻段較寬，故分為0～750 Hz和750～1 500 Hz兩段進行掃頻，這使得頻域的結(jié)果更便于分析。

負載的扭轉(zhuǎn)維度角速度響應如圖5所示，對響應進行快速傅里葉變換，結(jié)果如圖6所示。

圖5 兩頻段角速度響應

圖6 響應的快速傅里葉變換

仿真得到的兩階固有頻率分別為23.29 Hz和1 059.25 Hz，采用式（9）計算，結(jié)果為23.71 Hz 和1 023.22 Hz，兩者之間的偏差源于前文提及的阻尼系數(shù)的影響。

3.5 剛?cè)狁詈蟿恿W分析

考慮到平臺轉(zhuǎn)動慣量無法準確評估，故將平臺實體模型柔性化，并與天線座連接，進行剛?cè)狁詈蟿恿W分析。其原理是采用有限元方法，通過計算構(gòu)件的自然頻率和對應的模態(tài)，按照模態(tài)理論，將構(gòu)件產(chǎn)生的變形看作是由構(gòu)件模態(tài)通過線性計算得到的[7]，但構(gòu)件的模態(tài)信息需借助其他有限元軟件得到。

本文通過ANSYS APDL對平臺劃分網(wǎng)格，定義基座與平臺連接的各螺栓孔中心為剛性節(jié)點，求解平臺前6階模態(tài)，并輸出.mnf格式文件至ADAMS中進行裝配，如圖7所示。

圖7 天線座與平臺裝配示意圖

由于平臺模態(tài)已通過ANSYS得到，其1階固有頻率為106.3 Hz。天線座與平臺裝配形成新的系統(tǒng)后，局部剛度和轉(zhuǎn)動慣量發(fā)生變化，故需關(guān)注平臺1階固有頻率周圍是否出現(xiàn)圖6所示結(jié)果以外的固有頻率。施加0～200 Hz頻段的掃頻驅(qū)動，響應及其快速傅里葉變換結(jié)果如圖8所示。

圖8 角速度響應及快速傅里葉變換

從圖8可以看出，天線座扭轉(zhuǎn)振動的2階固有頻率為149.9 Hz，由此可知引入平臺的系統(tǒng)動態(tài)特性產(chǎn)生了較大變化，在實際應用中不應忽略平臺的影響。

4 結(jié)束語

本文首先基于拉格朗日法建立了一典型天線座的扭轉(zhuǎn)振動動力學模型，并分析了系統(tǒng)存在兩自由度、三自由度時固有頻率的解析表達式；介紹了基于ADAMS的動力學分析流程，并創(chuàng)建實體模型分析了該天線座的固有頻率，所得結(jié)果與理論分析的結(jié)果吻合，驗證了解析解的正確性。這為伺服控制系統(tǒng)算法優(yōu)劣的評估、參數(shù)的調(diào)整以及機電聯(lián)合仿真打下了一定的基礎。