董洋洋,夏澤群,王永濱,2,張子建

(1.南京航空航天大學航天學院,江蘇 南京 210016;2.北京空間機電研究所,北京 100194)

0 引言

近些年來,四旋翼無人機由于結構簡單、操作方便、自由懸停和垂直起降等優(yōu)點在監(jiān)視、搜索、偵察以及其他一些社會和軍事應用中得到了廣泛的應用[1]。

由于四旋翼無人機的欠驅動特性,其位置控制是通過控制姿態(tài)角來實現(xiàn)的,因此,姿態(tài)穩(wěn)定是四旋翼設計中首要解決的問題。針對四旋翼的姿態(tài)控制問題,學者們已經(jīng)提出了許多有效的控制方法,如PID控制[2]、滑模控制[3]、幾何控制[4]和反步控制[5]等。上述控制方法難以處理較大的擾動和建模誤差(實際四旋翼無人機通常會受到這類問題的影響)。在存在未知擾動和建模誤差的情況下,上述方法的控制性能可能會顯著惡化,有時還會導致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

自抗擾控制器是韓京清教授提出的一種無模型控制方法[6],其核心思想是將系統(tǒng)內部不確定性與外界擾動合并成“總擾動”,并將其作為系統(tǒng)的一個擴張狀態(tài),構造擴張狀態(tài)觀測器對其估計并在控制通路中抵消,目前已廣泛應用于無人機飛行控制中。Zhang等[7]提出了一種雙閉環(huán)ADRC無人機控制方案,在位置環(huán)和姿態(tài)環(huán)均采用ADRC控制,提高了系統(tǒng)的魯棒性和抗干擾能力。Lotufo等[8]將ADRC與EMC(embedded model control)方法相結合,應用于四旋翼無人機的姿態(tài)控制,增強了ADRC的擾動抑制能力,實驗證明了該方法的有效性。余小燕等[9]使用全局快速終端滑模技術(GFTSM)設計自抗擾控制中的非線性誤差反饋率,提高了ADRC的響應速度和抗擾能力。Xiong等[10]將低頻擾動補償器(LFDC)與ESO結合,將總擾動的高頻和低頻分量分離,其中高頻分量用于控制滑?？刂破鞯脑鲆?低頻分量用于直接補償擾動,進一步提高了擾動抑制效果。楊文齊等[11]構建了一種光滑galn函數(shù),并用其替代了ESO中的fal函數(shù),提高了控制器的抗干擾能力和魯棒性。

無人機的傳感器通常能夠獲取角度和角速度的測量信息,然而傳統(tǒng)ESO僅能利用角度信息或角速度信息,對于測量信息的利用率不足。齊國元等[12]提出了一種補償函數(shù)觀測器(CFO),采用純積分、補償和傳遞函數(shù)型別的思想,改變了ESO結構,能夠同時利用角速度和角度的測量信息,使得CFO較ESO高2個型別,精度高,收斂性強。趙旭等[13]在CFO基礎上采用徑向基(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡替代了線性濾波器,進一步提高了估計精度。然而,2種CFO結構均存在對測量噪聲敏感的問題。同時文獻[13]中采用小擾動假設,直接用姿態(tài)角速度代替歐拉角速度,帶來了額外的系統(tǒng)誤差。

對此,本文提出了一種基于改進ESO的無人機姿態(tài)自抗擾控制器。采用反饋線性化技術將無人機非線性模型線性化,避免了小擾動假設帶來的系統(tǒng)誤差。提出了一種改進ESO,其能同時利用角度和角速度的測量信息,具有更高的擾動估計精度。與文獻[12]中的CFO不同的是,本文的改進ESO的擾動估計值與測量信息之間僅有積分環(huán)節(jié),對測量噪聲有很強的濾波作用,工程應用價值更高。最后,基于改進ESO完成了自抗擾控制器的設計和穩(wěn)定性證明。通過數(shù)值仿真證明了本文所提控制器的抗干擾能力和魯棒性均強于傳統(tǒng)ADRC。

1 問題描述

(1)

式中,cψ=cosψ,cθ=cosθ,cφ=cosφ,sψ=sinψ,sθ=sinθ,sφ=sinφ,由式(1),無人機姿態(tài)運動學模型為

(2)

tθ=tan θ;ωb為無人機本體系下角速度。對式(2)求導,可以得到

(3)

根據(jù)歐拉方程,可以得到

(4)

d0為未知外部擾動;τ為無人機3個坐標軸方向上的控制力矩;J為無人機慣性矩陣。結合式(2)、式(3)和式(4),可以得到無人機姿態(tài)動力學模型為

(5)

其中

(6)

為了模型的有效性,本文中滾轉角的幅值被限制在60°以內(60°在本研究中被認為是一個大角度,正常操縱四旋翼時無人機的滾轉角遠小于60°),此時A(χ)總是可逆的。

2 控制器設計

2.1 改進ESO設計

對于二階系統(tǒng),由

(7)

(8)

(9)

(10)

將式(10)對時間求導并將式(9)代入,可以得到

(11)

式(11)的特征方程為

λ3+β1λ2+β2λ+β3=0

(12)

從式(12)可以看出,本文提出改進ESO與3階LESO具有相同的特征方程,因此,3階LESO的參數(shù)整定和穩(wěn)定性證明的結論可以直接應用到該改進ESO中。對式(11)做拉普拉斯變換,可以得到

(13)

從式(13)可以看出改進ESO對于常值和斜坡擾動漸進收斂,而LESO僅對于常值擾動漸進收斂。因此本文設計改進ESO具有比LESO更高的擾動估計精度。

2.2 基于改進ESO無人機姿態(tài)控制器設計

(14)

(15)

(16)

(17)

偏航通道控制器設計為

(18)

實際控制量τ計算式為

τ=BA-1(χ)u=

(19)

2.3 穩(wěn)定性證明

引理1[14]：考慮如下非線性系統(tǒng),即

(20)

定義V：[0,∞)×Rn→R是連續(xù)可微函數(shù),滿足:

α1(‖x‖)≤V≤α2(‖x‖)

(21)

?‖x‖≥ρ(‖u‖)>0

(22)

?f(t,x,u)∈[0,∞)×Rn×Rm,其中α1、α2為κ∞類函數(shù),W3(x)為Rn上的連續(xù)正定函數(shù);ρ為κ類函數(shù)。系統(tǒng)(20)是輸入狀態(tài)穩(wěn)定的。

定理 1:對于系統(tǒng)(14),在滿足集總擾動|d|的導數(shù)有界的條件下,則由式(14)～式(18)構成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)相對于總擾動力的導數(shù)輸入狀態(tài)穩(wěn)定。

將式(15)～式(18)和總擾動d的定義代入式(14)中,得到

(23)

以俯仰角通道為例,定義俯仰角跟蹤誤差和俯仰角速度跟蹤誤差為

(24)

定義俯仰角通道改進ESO估計誤差為

(25)

令eφ=[ecφ,ezφ]T,其對時間求導有

(26)

其中,有

式(26)中系數(shù)矩陣Aφ的特征方程為

(27)

In×n為n階單位矩陣。式(27)化簡可得

(λ+ωφ1)2(λ+ωφ0)3=0

(28)

(29)

可以得到

(30)

該李雅普諾夫函數(shù)候選對時間求導有

(31)

總擾動d的導數(shù)的范數(shù)是有界的,不失一般性,假設其上界為q,選擇合適選擇優(yōu)化常數(shù)γ∈(0,1),式(31)可化為

(32)

根據(jù)引理1可以得到,式(14)、式(15)和式(16)構成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)相對于總擾動力的導數(shù)輸入狀態(tài)穩(wěn)定。滾轉通道和偏航通道證明同上。

3 仿真校驗

3.1 觀測器性能對比仿真

使用MATLAB/Simulink進行觀測器性能對比仿真。仿真模型采用一個簡單的2階串聯(lián)積分模型,模型如式(33)所示,即

(33)

f為仿真輸入的擾動量;u0為控制量(這里主要進行觀測器的性能對比仿真,不關注控制器,控制量可任取);x1、x2為狀態(tài)量,均可測量。進行改進ESO、CFO和ESO的對比仿真。改進ESO和ESO均采用帶寬法調參,帶寬設為20。CFO調參方式參考文獻[13],選擇特征多項式中常數(shù)項與改進ESO一致,即l1=71.43,l2=755.92,λ=10.58。施加擾動f=sin(2t),無測量噪聲的結果如圖1所示。

圖1 無測量噪聲時幾種觀測器效果對比

對反饋值施加采樣頻率為100 Hz,功率譜密度為10-9的白噪聲,ESO與改進ESO的觀測效果如圖2所示,CFO的觀測效果如圖3所示。

圖2 存在測量噪聲時ESO與改進ESO擾動估計效果

圖3 存在測量噪聲時CFO擾動估計效果

在沒有測量噪聲的情況下,ESO的平均絕對值誤差為0.188 1,幅值為0.296 0;改進ESO的平均絕對值誤差為0.020 2,幅值為0.029 6;CFO的平均絕對值誤差為0.000 3,幅值為0.000 5。在存在測量噪聲的情況下,ESO的平均絕對值誤差為0.189 4,幅值為0.401 2;改進ESO的平均絕對值誤差為0.062 7,幅值為0.270 4;CFO的平均絕對值誤差為0.169 6,幅值為2.188 6。在沒有測量噪聲的情況下,本文所提出的改進ESO擾動估計誤差是ESO的10.74%。在存在測量噪聲的情況下,改進ESO擾動估計誤差是ESO的33.10%,為CFO的36.97%?？紤]測量噪聲在工程應用中普遍存在,因此本文提出的改進ESO更具工程應用價值。

3.2 控制系統(tǒng)抗干擾能力對比仿真

將本文所提的改進ADRC與傳統(tǒng)ADRC仿真進行對比,仿真采用的無人機動力學模型由式(2)和式(4)描述,慣性矩陣J為

仿真所設計的控制器和觀測器的參數(shù)如表1所示。

表1 自抗擾控制器參數(shù)

無人機的俯仰角、滾轉角期望設為幅值45°,頻率為0.1 Hz的方波信號。偏航角期望設為幅值45°,周期為10 s的方波信號。在俯仰通道t=2 s開始加入幅值為0.1 N·m,占空比為40%的矩形波信號來模擬常值擾動。t=5 s在滾轉通道開始加入0.1sin(2t) N·m的正弦信號模擬時變擾動,t=10 s在偏航通道也開始加入0.1sin(2t) N·m的正弦信號模擬時變擾動。

擾動作用下俯仰角跟蹤效果如圖4所示, 滾轉和偏航角的跟蹤效果分別如圖5和圖6所示。從圖中可以看出,同樣參數(shù)下,基于改進ESO的ADRC與傳統(tǒng)ADRC在無擾動的情況下控制效果幾乎一致。在常值擾動下,2種控制器跟蹤誤差均能收斂到0,但基于改進ESO的ADRC收斂速度明顯快于傳統(tǒng)ADRC。在時變擾動下,基于改進ESO的ADRC跟蹤誤差顯著小于傳統(tǒng)ADRC。

圖4 擾動作用下俯仰角跟蹤效果對比

圖5 擾動作用下滾轉角跟蹤效果對比

圖6 擾動作用下偏航角跟蹤效果對比

3.3 控制系統(tǒng)魯棒性對比仿真

上面仿真中控制采用的慣性矩陣估計值B與無人機模型的慣性矩陣J相同,然而工程應用中可能得不到準確的模型參數(shù)。為了驗證本文所提控制器在模型參數(shù)不確定情況下的性能,將無人機慣性矩陣J等比例放大,在不同放大倍數(shù)下分別使用ADRC與改進ADRC進行仿真校驗。以俯仰通道為例,仿真其余參數(shù)與輸入條件與3.2節(jié)中相同,不額外施加擾動,應用傳統(tǒng)ESO的控制器跟蹤效果如圖7所示,應用改進ESO的控制器跟蹤效果如圖8所示。

圖7 傳統(tǒng)ADRC控制器魯棒性響應實驗

圖8 基于改進ESO的ADRC控制器魯棒性響應實驗

對比圖7和圖8可以得出,基于改進ESO的ADRC控制器具有更強的魯棒性。

4 結束語

本文研究了存在模型不確定和外界擾動情況下的四旋翼姿態(tài)控制問題。采用反饋線性化方法將四旋翼姿態(tài)動力學模型線性化,轉化為串聯(lián)積分型形式,在此基礎上進行自抗擾控制器的設計。提出了一種改進ESO結構,其能夠同時利用角度和角速度的測量信息來提高擾動估計精度。并應用MATLAB/Simulink對該控制方法進行了仿真實驗,主要結論如下:

a.本文所提出的改進ESO在是否存在測量噪聲的環(huán)境下擾動估計精度均高于傳統(tǒng)ESO,在無測量噪聲環(huán)境中改進ESO擾動估計誤差為傳統(tǒng)ESO的10.74%,在存在采樣頻率為100 Hz,功率譜密度為10-9的高斯噪聲的環(huán)境下,改進ESO擾動估計誤差為傳統(tǒng)ESO的33.10%。

b.基于改進ESO設計的ADRC能更好地抑制外界擾動對無人機的影響,在存在外界擾動的情況下,本文控制方案的控制精度和收斂速度均高于傳統(tǒng)ADRC。

c.基于改進ESO設計的ADRC的控制效果受模型參數(shù)變化的影響較小,相比于傳統(tǒng)ADRC具有更強的魯棒性。

目前本文的控制算法僅適用于二階系統(tǒng),在后續(xù)的研究中,筆者會將電機控制環(huán)加入到姿態(tài)控制環(huán)中。將本文算法擴展到高階系統(tǒng),來降低電機響應時間對閉環(huán)系統(tǒng)的影響,并應用于工程實踐中。