鐘倩文， 鄭樹彬， 孫佳慧， 彭樂樂， 文 靜

（上海工程技術(shù)大學(xué)城市軌道交通學(xué)院 上海，201620）

引 言

隨著超大城市及其線網(wǎng)規(guī)模的不斷擴大，要求軌道交通安全運維行業(yè)向低碳化、智能化方向發(fā)展，軌道安全監(jiān)測（structural health monitoring，簡稱SHM）設(shè)備從傳統(tǒng)有線技術(shù)向先進無線技術(shù)轉(zhuǎn)變［1-2］。軌道交通車輛的運行間隔短、密度高且連續(xù)運行，列車車輛引起的振動是一種清潔、連續(xù)及穩(wěn)定的能源，具有為SHM 設(shè)備供電的巨大潛力。壓電式俘能器具有結(jié)構(gòu)簡單、制作方便、抗干擾能力強、能量密度和能量轉(zhuǎn)化率較高等優(yōu)點，是一種有巨大潛力的技術(shù)［3］。

具有多種振動模式的俘能器可以在更寬的頻率范圍內(nèi)發(fā)生共振，以形成具有多個共振峰的多自由度（multi-degree of freedom，簡稱DOF）為主要特征，從而提高環(huán)境能量獲取效率。劉久周等［4］在基于同步開關(guān)電路的壓電懸臂梁中引入副梁，大大提升了能量收集效果。王光慶等［5］設(shè)計了的帶彈簧的雙自由度系統(tǒng)，其工作頻帶提高至單自由度系統(tǒng)的2 倍。Nie 等［6］采用L 形壓電組合梁，有效地在更寬的頻帶上采集能量，并減少振動位移。此類DOF 系統(tǒng)能匹配的共振頻率有限，經(jīng)常引入非線性因素，因此結(jié)構(gòu)復(fù)雜，不易設(shè)計、制造和維護，安全性不足。懸臂梁陣列也是一種常見的解決方案。田曉超等［7］對4 個壓電懸臂梁陣列俘能器的發(fā)電性能進行了研究，響應(yīng)頻帶拓寬至77 Hz，且空間利用率高。羅翠線等［8］使用3×5 矩形懸臂梁陣列，拓寬了響應(yīng)頻帶。Xue 等［9］提出一種10 個不同厚度串聯(lián)連接的雙晶懸臂梁陣列，比單個梁最大輸出功率高出10 μW。Kherbeet 等［10］研究發(fā)現(xiàn)，無論是水平還是垂直排列，串聯(lián)三角梁陣列比單懸臂梁獲得更大的功率。陣列式懸臂梁結(jié)構(gòu)簡單，且可以匹配相對多的諧振頻率，取得較好的發(fā)電效果。綜上所述，采取將多個一階固有頻率相近、能量轉(zhuǎn)化效率較高的壓電俘能單元集成在同一結(jié)構(gòu)框架上形成陣列，是設(shè)計低頻、多源及寬頻壓電俘能器的有效方案。

筆者基于上海地鐵列車采集的軸箱振動信號，采用有限元分析方法提出了一種具有12 個梁單元的圓盤陣列采集系統(tǒng)，并搭建了振動測試平臺驗證了設(shè)計方案的有效性。通過改變壓電梁陣列的設(shè)計參數(shù)，使得懸臂梁單元的固有頻率分別與多個振源集中頻率相匹配，提高壓電式俘能器的輸出性能。

1 扇形壓電陣列結(jié)構(gòu)及理論建模

1.1 陣列式俘能器結(jié)構(gòu)設(shè)計

由于在軌道交通車輛運行環(huán)境下，振動頻率往往隨著車輛的變速運行而產(chǎn)生多個頻率峰值，而懸臂梁由于其結(jié)構(gòu)特點，一般只能在單個頻率點上與環(huán)境頻率產(chǎn)生較強的共振。陣列設(shè)計可以引入多個具有不同固有頻率的梁單元，這些梁單元的工作頻率彼此重疊，使得系統(tǒng)整體呈現(xiàn)寬頻特性。懸臂梁單元的能量轉(zhuǎn)化效率越高，陣列俘能器整體的輸出性能就越好。已有多項研究表明［11-12］，增加固定端相對于自由端的寬度，即采用三角形、扇形及梯形等形狀的懸臂梁結(jié)構(gòu)，相比于矩形表面，可以獲得更高的單位面積撓度及應(yīng)變能。扇形懸臂梁以弧邊作為固定端，相比于相同有效面積的三角形和矩形，最大應(yīng)力較小，分布更均勻，增強了結(jié)構(gòu)在持續(xù)振動環(huán)境下工作的可靠性，圓形陣列設(shè)計則提高了空間利用效率。因此，引入扇形雙晶懸臂梁作為陣列結(jié)構(gòu)的基本單元。

扇形壓電懸臂梁圓形陣列結(jié)構(gòu)如圖1 所示，由多個總頂角和為360°、圓半徑長度R和頂角θ一致的扇形懸臂梁陣列組成一個完整的圓盤結(jié)構(gòu)。每個扇形懸臂梁單元中間由厚度為hs的金屬基底層、基底上下兩面對位黏貼厚度為hs的壓電陶瓷層以及寬度固定、質(zhì)量為Mt的末端質(zhì)量塊組成，三者的接觸面由環(huán)氧樹脂膠合成為一個連續(xù)整體。質(zhì)量塊所在端為自由端，被雙層圓環(huán)夾緊固定的弧形長邊為固定端。當(dāng)陣列結(jié)構(gòu)發(fā)生受迫振動時，懸臂梁發(fā)生彎曲變形，通過正壓電效應(yīng)在垂向表面聚集大量自由電荷。

圖1 扇形壓電懸臂梁圓形陣列結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of circular array of sector-shaped piezoelectric cantilever beams

扇形懸臂梁陣列式壓電俘能器寬頻設(shè)計路線如圖2 所示。首先，建立壓電懸臂梁的分布參數(shù)模型及有限元參數(shù)模型，經(jīng)過對比驗證及參數(shù)分析，得到了影響梁輸出性能的多個結(jié)構(gòu)參數(shù)，并獲得了關(guān)鍵參數(shù)與輸出的關(guān)系；其次，采集上海地鐵車輛軸箱振動信號，分析其振動特征，明確寬頻設(shè)計最終目標(biāo)；最后，通過實驗和仿真對結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)特征進行測試與分析，驗證設(shè)計方法的可行性。

1.2 壓電耦合分布參數(shù)模型

本研究建立的壓電耦合分布參數(shù)模型相比于廣泛采用的一般激勵下的集中參數(shù)模型具有更高的預(yù)測精度［13］。扇形壓電懸臂梁單元受力原理如圖3 所示，其中：x，y，z軸分別對應(yīng)d31模式下的1，2，3 方向；x軸與梁的中性層共面；z 軸為極化軸。用于膠合的環(huán)氧樹脂聚合物材料，其彈性模量遠低于壓電陶瓷和大多數(shù)金屬材料，因此在建模過程中忽略不計。懸臂梁厚度和長度之比很小，可以忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響，符合歐拉-伯努利（Euler-Bernoulli） 梁的假設(shè)。

圖3 扇形壓電懸臂梁單元受力原理圖Fig.3 Schematic diagram of the force of a sector-shaped piezoelectric cantilever beam unit

當(dāng)懸臂梁受到自由端集中力的作用發(fā)生彎曲變形時，梁的變形可以描述為橫向位移g(t)和環(huán)向轉(zhuǎn)角位移h(t)的疊加。梁的基礎(chǔ)橫向形變wb(x，t)可以描述為

連續(xù)振動激勵下，雙晶懸臂梁受迫振動方程為

其中：cs I為內(nèi)部應(yīng)變率；ca為黏性空氣阻尼系數(shù)；m為單位長度梁的質(zhì)量；Mt為自由端末端質(zhì)量；δ(x)為狄拉克函數(shù)；R為扇形梁的半徑；M(x，t)為不包含應(yīng)變率阻尼效應(yīng)的內(nèi)部彎矩。

其中：b(x)為梁隨半徑方向變化的寬度，b(x)=為PZT-5H 的 厚 度；hs為金屬基板的厚度；T1p，T1s分別為壓電層和金屬層在x方向上的應(yīng)力分量。

根據(jù)金屬和壓電的本構(gòu)方程可得

其中：Ys為金屬層彈性模量；Ss1為金屬層的軸向彎曲應(yīng)變；cE11為壓電陶瓷在常電場下的彈性模量，對于壓電薄梁有為常電場條件下的彈性柔度；Sp1為壓電層的軸向彎曲應(yīng)變；e31為有效壓電應(yīng)力常數(shù)，，d31為 壓電應(yīng)變常 數(shù)；E3為z軸方向的電場分量。

對于串聯(lián)情況下的壓電陶瓷輸出電壓v，短路狀態(tài)下滿足，由于兩層陶瓷的電荷極化方向相反，故而產(chǎn)生同方向的瞬時電場設(shè)模態(tài)階數(shù)r=1，2，3，則wrel的本征收斂級數(shù)表示為，其中：?r(x)為3 階模態(tài)的質(zhì)量歸一化函數(shù)；ηr(t)為串聯(lián)構(gòu)型的模態(tài)坐標(biāo)。展開如下

其中：Ar為模態(tài)幅值常數(shù)；λr為r階特征值。

壓電陶瓷串聯(lián)條件下的模態(tài)機電耦合項θr和等效電容Ceq分別為

將式（7）~（9）代入受迫振動方程（2），得

截面質(zhì)量m和根據(jù)平行軸定理得到的末端質(zhì)量慣性矩It分別為

復(fù)合截面的彎曲剛度在短路條件下為

解得特征值后可計算短路條件下r階無阻尼固有頻率ωr為

可以進一步求得陣列系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)電壓響應(yīng)為

其中：Rt為負載電阻。

2 軌道車輛軸箱振動特征分析

出于行車安全考慮，將壓電俘能裝置安裝在軸箱上，收集輪軌沖擊產(chǎn)生的垂向振動能量；加速度傳感器固定于車輛軸箱部位，收集上海地鐵某型車在測試線路以50 km/h 勻速行駛的振動信號并分析其特征。使用的測試設(shè)備主要有DFT1301 型三軸加速度傳感器及采樣頻率為10 kHz 的Wavebook516E數(shù)據(jù)采集儀。信號采集如圖4 所示。

圖4 信號采集Fig.4 Signal acquisition

對采集到的垂向加速度信號進行傅里葉變換，結(jié)果如圖4（a）所示。在軸箱處可俘獲的垂向振動主要在0~300 Hz 頻段內(nèi)有較密集的分布，呈現(xiàn)寬頻、低幅值、多模態(tài)的特點。在0~300 Hz 振動范圍內(nèi)，整體振幅較大，且集中分布在20.95，40.45 和204.19 Hz 處。因此，采用機械調(diào)諧策略［13］，改變壓電懸臂梁的結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)以逐個調(diào)整其機械特性，使其與軌道車輛軸箱部位的環(huán)境振動頻率相匹配，以提高發(fā)電效率。

3 懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)與模態(tài)頻率的關(guān)系

3.1 有限元模型

由1.2 節(jié)中建立的扇形懸臂梁分布參數(shù)模型可知，俘能器發(fā)電性能、工作頻率與多個材料參數(shù)及結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，懸臂梁所用材料參數(shù)如表1 所示。金屬基底材料選用彈性模量大的鈹青銅，在沖擊下不易產(chǎn)生塑性形變。壓電陶瓷選用PZT-5H，其物理強度高、化學(xué)惰性強且制造成本相對較低，被廣泛用于振動沖擊條件下的壓電能量收集器件。

表1 材料參數(shù)表Tab.1 Material parameter table

結(jié)構(gòu)參數(shù)包括圓周外廓半徑R、頂角度數(shù)θ、陶瓷厚度hp和長度Lp、基底厚度hs和長度L以及末端質(zhì)量Mt。當(dāng)同層陣列懸臂梁單元的頂角θ和為360°、外廓半徑R相等時，可以拼合為一個完整的圓周，厚度可以通過增加絕緣墊片來彌合。

為建立結(jié)構(gòu)參數(shù)與模態(tài)頻率的函數(shù)關(guān)系，獲得各參數(shù)與壓電懸臂梁性能之間的關(guān)系，利用ANSYS 仿真軟件建立上述結(jié)構(gòu)參數(shù)的有限元模型，進行模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析。理論結(jié)果與有限元仿真模型如圖5 所示，由圖可知，參考實際測得的軸箱載荷譜和車載環(huán)境下懸臂梁的受力計算原理［14］，在z軸方向施加2g的加速度，在相同參數(shù)設(shè)置下，分布參數(shù)理論模型與ANSYS 仿真模型得到的開路電壓峰值與諧振頻率吻合誤差在5%以內(nèi)。

圖5 理論結(jié)果與有限元仿真模型Fig.5 Model of theoretical results and finite element simulation

3.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)分析

陣列式俘能器的每個單元具有相同的頂角值和外廓半徑，保持以下參數(shù)不變：hp=0.2 mm，hs=0.2 mm，Mt=5g，L=50 mm，Lp=20 mm，在相同的取值間隔下改變所建立的有限元模型的參數(shù)θ和R，變化范圍為15°~75°和60~110 mm 之間的離散數(shù)據(jù)。通過多次諧響應(yīng)分析得到單個變參數(shù)對模態(tài)頻率及輸出電壓峰值的影響，開路電壓、諧振頻率與頂角、外廓半徑的關(guān)系如圖6 所示。由圖6（a）可知：在一定范圍內(nèi)，梁的諧振頻率隨著頂角的增大而增大，增加范圍在0~65.65 Hz；輸出電壓在30°時存在極值，這是因為頂角越小，扇形弧邊寬度b也變小，導(dǎo)致彎曲剛度變小，諧振頻率變低，電能轉(zhuǎn)換率相應(yīng)提高；b減小到一定程度后，陶瓷發(fā)電面積減小的效應(yīng)會大于轉(zhuǎn)換率提高的效應(yīng)。因此，頂角的調(diào)整可以折中改變梁單元的諧振頻率和輸出電壓。

圖6 開路電壓、諧振頻率與頂角、外廓半徑的關(guān)系Fig.6 Variation of open circuit voltage and resonant frequency with vertex angle and outer radius

由圖6（b）可知：在一定范圍內(nèi)，梁的諧振頻率隨著R的增大而增大，增加范圍在0~21.04 Hz；輸出電壓隨R在60~80 mm 及90~110 mm 之間遞減。這是因為在其他條件不變的情況下，R的增加一般會使自由端位移增大，當(dāng)R增加到對平均應(yīng)力的影響大于自由端位移對平均應(yīng)力的影響時，輸出電壓會減小。因此，外廓半徑R的調(diào)整也可以改變梁單元的輸出性能。

3.3 寬頻結(jié)構(gòu)設(shè)計與仿真驗證

由單結(jié)構(gòu)參數(shù)分析結(jié)果可知，壓電懸臂梁陣列的模態(tài)頻率f1與結(jié)構(gòu)參數(shù)θ和R具有明顯相關(guān)性。頻率匹配后的壓電陣列仿真如圖7 所示。為了實現(xiàn)軌道車輛用扇形壓電懸臂梁陣列的寬頻響應(yīng)設(shè)計，懸臂梁單元采用#n表示，R=60 mm，θ=30°。為匹配表2 中提出的3 個目標(biāo)頻率，通過迭代逼近的數(shù)值 計 算 方法［15］設(shè)計 了3 種、共12 個優(yōu) 化 懸 臂 梁單元，具體結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2 所示。

表2 結(jié)構(gòu)參數(shù)表Tab.2 Structure parameter table

圖7 頻率匹配后的壓電陣列仿真Fig.7 Piezoelectric array after frequency matching

將表1、表2 的數(shù)值代入?yún)?shù)化有限元模型，在ANSYS 中通過完全法對結(jié)構(gòu)進行諧響應(yīng)分析，設(shè)定垂向加速度載荷為2g，建立了如圖7 所示的優(yōu)化陣列的有限元模型，獲得的3 種梁單元對應(yīng)的仿真工作頻率如表3 所示，扇形梁單元的工作頻率與目標(biāo)基本一致。

表3 仿真工作頻率Tab.3 Simulation operating frequency

前12 階多懸臂梁陣列諧振頻率變化曲線如圖8所示。由圖7，8 可以看出：懸臂梁單元在前12 階頻率內(nèi)能產(chǎn)生所需的垂向彎曲振型，單元利用率為100%；前12 階低頻頻率變化范圍大約為 21.07~56.75 Hz，頻帶寬度達到35.68 Hz，可知多懸臂梁壓電振子能有效拓寬其工作頻率范圍。通過分析結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以使其前3 階模態(tài)頻率與列車振動主頻相匹配。

圖8 前12 階多懸臂梁陣列諧振頻率變化曲線Fig.8 First 12 orders variation curve of resonant frequency of multi-cantilever beam array

進一步進行諧響應(yīng)分析，得到在0~250 Hz 頻率范圍內(nèi)，軌道車輛用扇形壓電懸臂梁陣列頻率響應(yīng)如圖9 所示。與上海地鐵某線車輛軸箱振動信號頻率譜密度圖對應(yīng)可知，其頻率響應(yīng)與表2 中車輛軸箱振動特征相匹配。

圖9 軌道車輛用扇形壓電懸臂梁陣列頻率響應(yīng)圖Fig.9 Frequency response diagram of sector-shaped piezoelectric cantilever beam array for rail vehicles

4 實驗驗證

為驗證所設(shè)計俘能器的發(fā)電性能，搭建了如圖10 所示的振動測試系統(tǒng)，軌道車輛運行時軸箱產(chǎn)生的振動由激振器模擬給出。系統(tǒng)由信號發(fā)生器、功率放大器、數(shù)字示波器、激振器、壓電梁及計算機組成，壓電梁固定在振動臺的支架上，通過振動控制軟件設(shè)置振動激勵信號為正弦掃頻信號。

圖10 振動測試系統(tǒng)Fig.10 Vibration test platform

外接負載電阻，設(shè)定0~210 Hz 的掃頻范圍，獲得輸出電壓實驗值與仿真值對比如圖11 所示。

圖11 輸出電壓實驗值與仿真值對比圖Fig.11 Comparison of experimental value and simulated value of output voltage

由圖11 可以看出：在10~50 Hz 之間，懸臂陣列輸出電壓在20.17 和40.05 Hz 出現(xiàn)兩個共振峰，實驗輸出電壓分別為20.07 和72.04 V；在190~210 Hz 之間，輸出電壓在200.37 Hz 出現(xiàn)一個共振峰，得到的最大輸出電壓為39.96 V。

結(jié)果表明，優(yōu)化后的壓電梁固有頻率與目標(biāo)寬頻需求相吻合，且相對于傳統(tǒng)單懸臂梁，增加了響應(yīng)峰的數(shù)量，拓寬了諧振頻帶。

5 結(jié) 論

1） 提出了一種寬頻響應(yīng)的扇形壓電懸臂梁陣列式俘能器結(jié)構(gòu)，通過建立扇形懸臂梁單元的分布參數(shù)模型，分析其工作原理，得到了影響其諧振頻率和電壓輸出性能的材料參數(shù)和7 個關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)，即外廓半徑R、頂角θ、基底厚度hs、PZT-5H 厚度hp、基底邊長L、PZT-5H 邊長Lp和末端質(zhì)量塊質(zhì)量Mt。

2） 扇形壓電懸臂梁陣列結(jié)構(gòu)的設(shè)計關(guān)鍵在于每個懸臂梁單元的外廓半徑R相等，且頂角θ的總和為360°。通過對離散點處參數(shù)取值的梁進行有限元分析，發(fā)現(xiàn)了R和θ值與諧振頻率和電壓輸出性能之間的關(guān)系，最終選擇R=60 mm 和θ=30°作為折中解。

3） 為了匹配軸箱低頻振動集中處的多個頻率峰值，提出了同陣列內(nèi)3 種規(guī)格的扇形懸臂梁圓盤設(shè)計，編號分別為#1~#4，#5~#8 和#9~#12，每4個梁單元的結(jié)構(gòu)參數(shù)完全一致，可使陣列俘能器在20.95，40.45 與204.19 Hz 處附近產(chǎn)生響應(yīng)，使結(jié)構(gòu)的前12 階諧振頻率寬度達到35.68 Hz。在拓寬了響應(yīng)頻帶的同時，與地鐵車輛軸箱振動特征相匹配。

4） 本研究提出的軌道車輛用扇形壓電陣列式俘能器，寬頻響應(yīng)及輸出性能良好，且可以根據(jù)不同的振動環(huán)境所定義的頻率匹配目標(biāo)進行針對性的優(yōu)化，實現(xiàn)寬頻、低幅及多模態(tài)的匹配設(shè)計。