許倩,惠小靜,南瓊

(延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 延安 716000)

0 引言

眾所周知,數(shù)理邏輯中引入概率方法的思想,從20世紀(jì)70年代就已經(jīng)開始逐漸興起,目前已經(jīng)有“概率邏輯學(xué)”的專著出版,并且基于真度的多種邏輯系統(tǒng)的程度化研究也被廣泛開展,比如文獻(xiàn)[1]中在多值邏輯系統(tǒng)中提出公式的μ-真度理論,文獻(xiàn)[2-3]在ukasiweicz命題邏輯中分別提出公式的真度理論和極限定理和Γ-真度理論和極限定理,但是真度理論的研究仍存在一些局限性,既缺乏前面提到的隨機(jī)性,并且沒有考慮前提條件。在此問題的基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[4-7]中將賦值集的隨機(jī)化方法分別利用在經(jīng)典命邏輯系統(tǒng)、三值R0命題邏輯系統(tǒng)、三值G?del命題邏輯系統(tǒng)以及R0型n值和模糊邏輯系統(tǒng)中,提出了公式的隨機(jī)真度概念并且建立了隨機(jī)邏輯度量空間。文獻(xiàn)[8-11]中又在條件概率的思想基礎(chǔ)上,將條件真度概念以及相應(yīng)的推理規(guī)則在經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)、三值R0命題邏輯系統(tǒng)、n值ukasiewicz命題邏輯系統(tǒng)、R0型模糊命題邏輯系統(tǒng)中提出并闡明。在文獻(xiàn)[12-20]的基礎(chǔ)上,本研究基于條件概率的思想和n值R0命題系統(tǒng)的廣義演繹定理的表現(xiàn)形式,為了刻畫n值R0命題系統(tǒng)中一個(gè)命題在一定條件下的隨機(jī)真度,在n值R0命題系統(tǒng)中提出了公式的條件隨機(jī)真度,證明了條件隨機(jī)真度MP規(guī)則和HS規(guī)則,建立了條件隨機(jī)邏輯度量空間,為n值R0命題系統(tǒng)的條件隨機(jī)發(fā)散度的概念的提出奠定基礎(chǔ)。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)S={p1,p2,…}為原子公式集,F(S)是S生成的(—,∨,→)型自由代數(shù),則稱F(S)中的元為公式,約定A?B=—(A→—B),A⊕B=—A→B,A2=A?A,Am+1=Am?A,A,B∈F(S)。

設(shè)n∈,n≥3,令在L中規(guī)定則L成為(—,∨,→)型代數(shù),稱為n值R0命題邏輯系統(tǒng),記作

定義1.1[7]設(shè)={1,2,…}為自然數(shù)集,D=(D1,D2,…)為無窮向量序列,如果對(duì)?i∈均有為n值非退化概率分布,要求且稱D為n值概率分布序列。

命題1.1[7]∑{φ(α):α=(x1,x2,…,xm)∈Lm}=1。

定義1.3[7]設(shè)D是n值概率分布序列,A=A(p1,p2,…,pm)∈F(S),令

定理1.1[12]設(shè)Γ?F(S),A,B∈F(S),若?！葅A}├B,則Γ├A→B。

定理1.2[12](廣義演繹定理) 設(shè)Γ是一理論,即Γ?F(S),A,B∈F(S),則在n值R0命題系統(tǒng)中廣義演繹定理成立,即?！葅A}├B當(dāng)且僅當(dāng)Γ├A2→B。

命題1.2[7]設(shè)D是n值概率分布序列,A=A(p1,p2,…,pm)∈F(S),則公式A的隨機(jī)真度可表示為

1)A?B→A,A?B→B;

2)A?B?B?A。

命題1.4[12]設(shè)D是n值概率分布序列,A,B∈F(S),則:

2 公式的條件隨機(jī)真度

=0.2+0.2

=0.4.

又因?yàn)锽?A2=(q1→q2)?q12=—((q1→q2)→—q12),則有

=0.06+0.04+0.2

=0.3.

可求解出條件隨機(jī)真度:

引理2.1?a,b,c∈[0,1],c+b?c≥a?c+(a→b)?c。

引理2.1的證明若a≤b,則a→b=1,所以c+b?c≥a?c+1?c,因?yàn)閒a(x)=x?a單調(diào)遞增,所以a?c≤b?c,又因?yàn)??c=c,所以不等式成立;

若a>b,因?yàn)閍→b=a′∨b,所以a?c+(a→b)?c=a?c+(a′∨b)?c:

1)當(dāng)a′≤b時(shí),a?c+(a→b)?c=a?c+(a′∨b)?c=a?c+b?c,又因?yàn)閍?c≤1?c,則不等式成立。

2)當(dāng)a′>b時(shí),a?c+(a→b)?c=a?c+(a′∨b)?c=a?c+a′?c:

①當(dāng)a>c≥b時(shí),則a′c′時(shí),a?c+a′?c=c+0=c,不等式成立;

②當(dāng)a>b≥c時(shí),則a′c′時(shí),a?c+a′?c=c+0=c,不等式成立;

③當(dāng)c>a>b時(shí),則a′≥c′,當(dāng)a≤c′時(shí),a?c+a′?c=0+0=0,不等式成立;當(dāng)a>c′時(shí),a?c+a′?c=c+0=c,不等式成立。

綜上所述,c+b?c≥a?c+(a→b)?c不等式成立。

定理2.2(條件隨機(jī)真度推理規(guī)則)

3 條件隨機(jī)度量空間

1)若A≈ΓB,則ξΓ(A,B)=1;

3)ξΓ(A,C)≥ξΓ(A,B)+ξΓ(B,C)-1。

定理3.1的證明1)若A≈ΓB,則A→B與B→A均為重言式,那么(A→B)∧(B→A)也為重言式,所以ξΓ(A,B)=1。

定理3.2ρΓ:F(S)×F(S)→[0,1]是F(S)上的條件隨機(jī)偽距離,稱(F(S),ρΓ)為條件隨機(jī)度量空間。

2)ρΓ(—A,—B)=ρΓ(A,B);

4)～5)同3)可證得。

下面進(jìn)一步給出在F(S)中基于信息Γ的近似推理理論。

推論3.1的證明由定義3.2可證得結(jié)論。

ρΓ(A,D(∑))=inf{ρΓ(A,B)|B∈D(∑)}=inf{1-ξΓ(A,B)|B∈D(∑)}

=1-sup{ξΓ(A,B)|B∈D(∑)}.

并且由定義3.1可得

得證。

4 結(jié)束語

利用隨機(jī)化映射和條件概率方法,在n值R0命題系統(tǒng)中提出了公式的條件隨機(jī)真度,并證明了條件隨機(jī)真度的MP規(guī)則和HS規(guī)則,建立了條件隨機(jī)邏輯度量空間,最后進(jìn)一步給出了在條件Γ下的近似推理理論。