王力梅, 李金悅

(1.天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 天水 741001;2.陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710021)

電網(wǎng)是包含發(fā)電節(jié)點(diǎn)、負(fù)荷節(jié)點(diǎn)以及傳輸線的人工構(gòu)造的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)之一[1-2].電網(wǎng)在正常工作過程中會(huì)受到天氣、環(huán)境等各方面因素的影響,個(gè)別元件的失效往往會(huì)引起其他元件發(fā)生故障,進(jìn)一步導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的崩潰,電網(wǎng)比較脆弱[3-4].所以,網(wǎng)絡(luò)在面對(duì)失效時(shí)的彈性能力尤為重要.

目前,學(xué)者把二階擺動(dòng)方程作為研究電力系統(tǒng)的一個(gè)簡(jiǎn)化模型[5],電力系統(tǒng)通常以某種方式和信息網(wǎng)耦合為二層網(wǎng)絡(luò),電網(wǎng)給信息網(wǎng)中的系統(tǒng)提供電力以維持其正常工作,信息網(wǎng)中的系統(tǒng)同時(shí)采集電網(wǎng)數(shù)據(jù),以供工作人員監(jiān)控和調(diào)配.文獻(xiàn)[6]分析了多層網(wǎng)絡(luò)的模型構(gòu)造方法及其動(dòng)力學(xué)行為描述.隨后,學(xué)者從不同的角度研究了電網(wǎng)面向元件失效時(shí)的穩(wěn)定運(yùn)行能力[7].然而,大多數(shù)已報(bào)道的研究成果忽略了真實(shí)的電網(wǎng)中傳輸線的傳輸能力并不是完全一樣的現(xiàn)實(shí)問題.

本文中,筆者基于二階擺動(dòng)方程,考慮傳輸線的權(quán)重,構(gòu)建2層耦合權(quán)重電網(wǎng)的數(shù)學(xué)物理模型,從能量流的角度分析電網(wǎng)面對(duì)級(jí)聯(lián)故障時(shí)的彈性能力,結(jié)合動(dòng)力學(xué)理論和數(shù)值模擬結(jié)果討論電網(wǎng)在不同失效狀態(tài)下彈性能力的變化.

1 2層電力網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型

首先給出如下二階擺動(dòng)方程:

(1)

忽略傳輸電線上的能量損失,則可得Gij=0,并且電壓取常值E′i=1.根據(jù)(1)可以得到電網(wǎng)一般化的數(shù)學(xué)表達(dá)式

(2)

每個(gè)節(jié)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)都可以用(2)來描述,其中θi表示各節(jié)點(diǎn)的相角,ωi表示轉(zhuǎn)動(dòng)頻率,Di表示阻尼系數(shù),矩陣Bij表示傳輸線的(i,j)的傳輸能力.令發(fā)電節(jié)點(diǎn)Pi=1,負(fù)荷節(jié)點(diǎn)Pi=-1.電力網(wǎng)絡(luò)要正常穩(wěn)定運(yùn)行,必須保證所有的節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)頻率同步.因此,根據(jù)電網(wǎng)模型可求出平衡點(diǎn)

(3)

其中,i0表示節(jié)點(diǎn)的相位角、頻率在此平衡狀態(tài)下的值.

主要考慮雙層網(wǎng)絡(luò)的不同層的節(jié)點(diǎn)數(shù)相同、層與層之間一對(duì)一連接的情形,即第1層的節(jié)點(diǎn)在第2層有對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn).同時(shí)假設(shè)每條邊的傳輸能力權(quán)重為γi,γj,分別表示節(jié)點(diǎn)i和j的度.由此,雙層權(quán)重網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)方程可描述為

(4)

為了簡(jiǎn)單起見,固定阻尼參數(shù)D=1,假設(shè)層A和層B含有相同的發(fā)電節(jié)點(diǎn)和負(fù)荷節(jié)點(diǎn)數(shù),上述情形的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 2層網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.1 The Topology of Duplex Network

對(duì)于電網(wǎng)來講,節(jié)點(diǎn)i和j之間的傳輸能量流近似表示為Fij=Bij(θi-θj),并且能量流Fij與傳輸線的權(quán)重有關(guān).因此,能量流可進(jìn)一步描述為

Fij(t)=|(γiγj)Bijsin(θi(t)-θj(t))|.

(6)

用能量流的改變程度評(píng)估電網(wǎng)面對(duì)失效時(shí)的彈性能力是一種有效的方法,根據(jù)(6),假設(shè)一條傳輸線上可以承載的最大能量流為Cij=αFij,其中α∈[0,1]是可調(diào)參數(shù).為了保證電網(wǎng)的正常運(yùn)行,網(wǎng)絡(luò)中所有傳輸線上的能量流需要滿足如下條件:

|Fij(t)|≤Cij=αBij(γiγj).

(7)

2 電網(wǎng)的彈性能力分析

從電網(wǎng)穩(wěn)定運(yùn)行的角度來講,彈性能力主要體現(xiàn)在面對(duì)不同類型的元件失效時(shí),電網(wǎng)能否保持正常運(yùn)行的能力.假設(shè)最初的失效由一條傳輸線的失效引起,同時(shí)導(dǎo)致耦合矩陣的值發(fā)生改變,最終使得所有傳輸線上的流量發(fā)生改變.對(duì)于前述的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),當(dāng)傳輸線的連接發(fā)生改變時(shí),可由(4)重新計(jì)算新網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)的相角以及傳輸線上的能量流.基于電網(wǎng)的實(shí)際特征,將網(wǎng)絡(luò)的傳輸線分為同質(zhì)線和異質(zhì)線2大類,其中同質(zhì)線表示傳輸線兩端的節(jié)點(diǎn)屬性一致,如同為發(fā)電節(jié)點(diǎn)或者負(fù)荷節(jié)點(diǎn);異質(zhì)線表示傳輸線兩端節(jié)點(diǎn)的屬性相反.

假設(shè)圖1所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)在初始狀態(tài)保持穩(wěn)定運(yùn)行,在此狀態(tài)下,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的相角以及傳輸線上的能量流隨時(shí)間的演化過程如圖2所示.

a.所有相角趨于一個(gè)固定值; b.傳輸線上能量流隨時(shí)間的演化過程.圖2 相角及傳輸線上能量流隨時(shí)間的演化過程Fig.2 The Original Power Network Maintains Steady State

由圖2可以看出,網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)相角趨于常值,傳輸線的能量流趨于定值,電網(wǎng)正常運(yùn)行.

如果從電網(wǎng)中刪除一條同質(zhì)傳輸線e58以蓄意攻擊原始電網(wǎng),圖3顯示了網(wǎng)絡(luò)受到攻擊后所有節(jié)點(diǎn)的相角及能量流隨時(shí)間的演化過程.觀察圖3可知,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的相角隨時(shí)間的演化依然趨于常值,傳輸線上的能量流與原始穩(wěn)定網(wǎng)絡(luò)中差值很小,且可以保證每條傳輸線不超過其最大傳輸能力.這表明,當(dāng)原始電網(wǎng)移除一條同質(zhì)邊時(shí),彈性能力比較強(qiáng),網(wǎng)絡(luò)可以保持穩(wěn)定運(yùn)行.

如果移除一條異質(zhì)邊e39以蓄意攻擊原始電網(wǎng),圖4顯示了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的相角、頻率和能量流隨時(shí)間的演化過程.觀察圖4可知,網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的相角、頻率隨時(shí)間的演化呈無序態(tài),并且在可調(diào)參數(shù)取定值的條件下,傳輸線上的能量流超過了初始穩(wěn)定狀態(tài)的臨界值.

由圖3和圖4可得出結(jié)論:在刪除異質(zhì)邊攻擊的情況下,網(wǎng)絡(luò)彈性能力變?nèi)?而刪除同質(zhì)邊攻擊的情況下,網(wǎng)絡(luò)彈性能力變強(qiáng).

3 結(jié) 論

基于雙層加權(quán)電網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型,從能量流的角度分析了電網(wǎng)在不同傳輸線被移除時(shí),網(wǎng)絡(luò)抵抗失效的能力;并以一個(gè)雙層電網(wǎng)為研究對(duì)象,借助數(shù)值仿真的方法分析了電網(wǎng)的彈性能力的變化.結(jié)果表明,在同質(zhì)傳輸線失效時(shí),網(wǎng)絡(luò)彈性能力較強(qiáng),而在異質(zhì)傳輸線失效時(shí),網(wǎng)絡(luò)彈性能力較弱.所得結(jié)果可在一定程度上為實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建及保護(hù)措施提供理論依據(jù).