顧予恒, 顏曉勉

(杭州第二中學(xué)錢江學(xué)校,浙江 杭州 311215)

2023年,浙江省開始使用全國數(shù)學(xué)高考卷,與之前的浙江卷相比,統(tǒng)計模塊內(nèi)容的考查是最明顯的變化之一.對廣大教師而言,概率統(tǒng)計模塊特別是統(tǒng)計模塊的高三專題復(fù)習(xí)是一個新課題.“如何在復(fù)習(xí)中抓住統(tǒng)計模塊內(nèi)容的核心要點,如何上好一節(jié)富含統(tǒng)計味道的專題復(fù)習(xí)課”也是一個新難題.筆者有幸參加了浙江省杭州市普通高中“雙新示范”數(shù)學(xué)教學(xué)展示活動暨高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)研討會,聆聽了一節(jié)由杭州第二中學(xué)錢江學(xué)校顏曉勉老師帶來的高三統(tǒng)計決策類專題復(fù)習(xí)課“分析有理,決策有據(jù)”.筆者作為評課嘉賓對該課進行了點評,同時結(jié)合該課對新高考概率統(tǒng)計專題如何有效開展復(fù)習(xí)進行了一些思考,與讀者一起品評.

1 教學(xué)簡評

該課以統(tǒng)計中的決策問題為對象,契合當(dāng)前新高考的熱點和難點,因此,在教學(xué)內(nèi)容的選擇上具有很強的針對性和學(xué)習(xí)價值.教學(xué)設(shè)計注重學(xué)生的學(xué)情和認(rèn)知結(jié)構(gòu),做到層次分明,突出重點,突破難點,抓住關(guān)鍵內(nèi)容加以落實.

具體來說,首先教師從2022年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第20題入手,帶領(lǐng)學(xué)生回顧了獨立性檢驗和條件概率等相關(guān)統(tǒng)計知識.在解決問題的過程中,不局限于幾個常見公式和操作步驟的操練,而是幫助學(xué)生理解其中蘊涵的統(tǒng)計思想.接著,教師對高考題進行了改編,新編了第3)小題如下:

例1一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系.在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例(稱為病例組),同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人(稱為對照組),得到如表1所示的數(shù)據(jù):

表1 病例組和對照組的衛(wèi)生習(xí)慣統(tǒng)計

1),2)略.

3)統(tǒng)計學(xué)家調(diào)查發(fā)現(xiàn),當(dāng)統(tǒng)計量R>0.08時應(yīng)拉響衛(wèi)生預(yù)警.現(xiàn)調(diào)查30人,其中已患病的人數(shù)為20、衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好的人數(shù)為10,患病衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好的為n人.請完成2×2列聯(lián)表并回答:抽取的樣本中n為何值時,需要拉響衛(wèi)生警報?

(2022年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第20題改編)

這一創(chuàng)造性地編題,巧妙地引出了該課的核心內(nèi)容——決策問題.充分利用高考真題中計算的新指標(biāo),新設(shè)計了一種評價標(biāo)準(zhǔn),讓學(xué)生體會計算統(tǒng)計量不是最終目的,用好這個統(tǒng)計量解決實際問題才有真正的價值,正如該課標(biāo)題中所言的決策有據(jù),統(tǒng)計量的計算都是為決策提供依據(jù)的.

隨后,教師安排了3道例題,分別從常見的統(tǒng)計量(如期望、方差、中位數(shù)等)、正態(tài)分布3σ評價原則、殘差分析等各種不同的評價指標(biāo)來展示如何選取合適的統(tǒng)計量和相應(yīng)的評價體系,通過計算統(tǒng)計量,并依據(jù)統(tǒng)計量的數(shù)值進行合理的決策,最終歸納形成解決決策問題的一般流程.

最后,教師還編制了一道工廠銷售利潤最大的決策問題.解決問題需要經(jīng)歷一個數(shù)學(xué)建模的過程,并且與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容相聯(lián)系,體現(xiàn)了新高考統(tǒng)計內(nèi)容與其他知識相融合的特點.

在教學(xué)過程中,各教學(xué)環(huán)節(jié)邏輯清晰、連接順暢.教師堅持由易到難、由淺入深地逐步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象、理論聯(lián)系實際的認(rèn)知過程,幫助學(xué)生對決策類問題形成較深刻的理解,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).教師采用啟發(fā)式、探究式、歸納式等方法,讓學(xué)生積極參與,充分動手動腦,表達自己的想法,著力培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的能力,真正做到教的方法和學(xué)的方法有機和諧地統(tǒng)一.

總之,顏老師為我們呈現(xiàn)了一堂設(shè)計有高度、教學(xué)有梯度、學(xué)生有參與度,充分體現(xiàn)概率統(tǒng)計的基本思想方法和學(xué)科核心素養(yǎng)落地的精彩高三統(tǒng)計專題復(fù)習(xí)示范課.

2 教學(xué)思考

2.1 學(xué)情現(xiàn)狀分析

與概率統(tǒng)計專題相關(guān)的知識點不勝枚舉且錯綜復(fù)雜,學(xué)生很難做到融會貫通.這顯然與新高考“突出對學(xué)科基本概念、基本原理的考查,強調(diào)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生形成學(xué)科知識系統(tǒng),促進學(xué)生將知識和方法內(nèi)化為自身的知識結(jié)構(gòu)”的意圖相違背.

許多學(xué)生和教師對統(tǒng)計試題的價值和意義認(rèn)識不深,把它簡單地理解為數(shù)學(xué)的“應(yīng)用題”或“計算題”,認(rèn)為就是用公式進行程序化的計算,深陷于繁雜的計算當(dāng)中,忽略了其背后蘊涵的豐富統(tǒng)計思想.其實統(tǒng)計學(xué)習(xí)不應(yīng)只是記住一些概念、公式和方法的操作步驟,更要了解概念的統(tǒng)計含義和方法的統(tǒng)計思想,積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗.只有準(zhǔn)確理解統(tǒng)計學(xué)習(xí)的內(nèi)容,才有可能正確運用所學(xué)知識解決實際問題,培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

2.2 試題特點分析與復(fù)習(xí)思考

下面,筆者結(jié)合該課的一些亮點片段,談?wù)剬π赂呖几怕式y(tǒng)計模塊內(nèi)容復(fù)習(xí)的思考.

1)針對“文字多、題目長”的特點,要加強對情境問題的閱讀能力和信息提煉水平.

概率統(tǒng)計試題文字多題目長,需要學(xué)生能夠快而準(zhǔn)地從大量條件中提取對解決問題有價值的信息,這是概率統(tǒng)計數(shù)據(jù)處理的基本要求.

片段1讀題審題教學(xué),實現(xiàn)去粗取精.

該課的一個亮點是教師很好地展示了如何進行讀題與審題教學(xué).教師采用斷句畫圈分析法,帶領(lǐng)學(xué)生逐句圈出核心概念和關(guān)鍵數(shù)據(jù),教學(xué)生學(xué)會思考,回答“已知什么?要求什么?能用什么?”等問題,真正做到去粗取精,準(zhǔn)確理解題意.

2)針對“概念多、公式長”的特點,要加強對概率統(tǒng)計知識點的梳理和理解.

概率統(tǒng)計試題往往不是孤立地考查一個概念,而是對多個知識點的綜合考查.因此,學(xué)好概率統(tǒng)計專題,不僅要學(xué)習(xí)各個概念和公式是什么,還要重視統(tǒng)計含義和思想,更要立足全局,厘清各個知識點之間的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián),構(gòu)建完整細(xì)致的思維導(dǎo)圖.

片段2思維導(dǎo)圖梳理,提防冷門知識.

該課教師借助評價指標(biāo)的思維導(dǎo)圖(如圖1),幫助學(xué)生仔細(xì)梳理了各大統(tǒng)計量(如平均數(shù)、期望、方差、χ2等)的含義和價值.強調(diào)不僅要會算各種統(tǒng)計量,更要知道這些統(tǒng)計量所反映的數(shù)據(jù)特征.只有真正理解了這些知識點,才能知道用哪個統(tǒng)計量去解決相應(yīng)的問題,真正實現(xiàn)“知其然,知其所以然”.

圖1

同時,有了思維導(dǎo)圖,也不容易漏掉一些相對冷門知識的復(fù)習(xí),如正態(tài)分布、殘差分析等.例如,該課選用了一道由2017年全國數(shù)學(xué)高考Ⅰ卷第19題改編而來的例題,展示了如何根據(jù)正態(tài)分布中的3σ原則進行決策,這個考點對于很多師生來說都是陌生的.

片段3加深概念理解,提升統(tǒng)計思維.

有趣的是,教師在學(xué)案中設(shè)置了一個探究問題:如何判斷一枚硬幣質(zhì)地是否均勻?如果拋擲50次,有25次正面、25次反面,大多數(shù)人會認(rèn)為質(zhì)地均勻,那如果是28∶22呢?如果是31∶19呢?該用什么方法來判斷呢?

學(xué)案有意將這些數(shù)據(jù)列成兩行兩列,即一行理論值、一行觀測值的表格形式(見表2),很多學(xué)生沒有判斷這個問題適不適合采用獨立性檢驗,就誤以為表格是2×2列聯(lián)表,只顧埋頭計算χ2了.統(tǒng)計教學(xué)的任重道遠(yuǎn),由此可見一斑.

表2 硬幣正、反面出現(xiàn)的頻次

3)針對“數(shù)據(jù)多、說理長”的特點,要加強對數(shù)據(jù)的分析和解讀能力,加強對說理表述的練習(xí),學(xué)會科學(xué)的統(tǒng)計語言表達.

統(tǒng)計問題中數(shù)據(jù)眾多,比“怎么算”更重要的是“算什么”和“說什么”.算盡未必是好事,算前分析抓本質(zhì)!遇到統(tǒng)計問題,要重視過程分析和數(shù)據(jù)處理能力,能夠制定或者找到合適的標(biāo)準(zhǔn)來為現(xiàn)實問題做決策提供依據(jù).同時,統(tǒng)計問題不以對錯來衡量,而以好壞來說理,重在言之有理.這也是統(tǒng)計與其他數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的最大差異.該課的統(tǒng)計決策類問題,就是要讓學(xué)生為自己的決策自圓其說,讓整個研究過程合情合理.

片段4設(shè)置開放問題,重在言之有理.

該課多次設(shè)置開放性問題.例如,選用2018年全國數(shù)學(xué)高考Ⅲ卷第18題的第1)小題,讓學(xué)生根據(jù)莖葉圖,判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高,并說明理由.學(xué)生可以從平均數(shù)估計、中位數(shù)估計、百分位數(shù)估計和主要分布估計等4個角度入手,都能得出第2種生產(chǎn)方式更優(yōu)的結(jié)論.教師在課堂中讓學(xué)生充分表達,重點考查學(xué)生給出的判斷方法是否體現(xiàn)統(tǒng)計的基本思想,述說的理由是否言之有理.

筆者大膽猜想,未來高考會不會在統(tǒng)計類問題中出現(xiàn)開放性問題?依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出的評價體系,是否可能采取不同水平的評價?例如,表述不夠完整、不夠清楚、不夠到位,根據(jù)滿意原則,可以認(rèn)為達到數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)水平一的要求;如果能夠理解數(shù)據(jù)分析的思想,過程述說比較清楚,數(shù)學(xué)表達比較到位,就可以認(rèn)為達到數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)水平二的要求.

產(chǎn)業(yè)升級、經(jīng)濟發(fā)展方式轉(zhuǎn)型主要有三條途徑：一是產(chǎn)品技術(shù)的換代升級.例如，由一般加工升級為關(guān)鍵零部件、關(guān)鍵裝備制造等；二是在產(chǎn)業(yè)鏈上向技術(shù)含量高、附加值高的領(lǐng)域延伸.如由一般加工制造向上游的研發(fā)、產(chǎn)品設(shè)計、技術(shù)專利、技術(shù)集成、融資、投資延伸，向下游的品牌構(gòu)建、商業(yè)模式創(chuàng)新、流通體系、物流、產(chǎn)業(yè)鏈管理等延伸.這些上下游的經(jīng)濟活動也是現(xiàn)代服務(wù)業(yè)的內(nèi)容，其增加值率更高，對產(chǎn)業(yè)的掌控能力更強；三是創(chuàng)建新興產(chǎn)業(yè).新興產(chǎn)業(yè)是指基于重大發(fā)現(xiàn)和發(fā)明而產(chǎn)生的將改變?nèi)祟惿鐣a(chǎn)方式和生活方式的新產(chǎn)品和由此產(chǎn)生的新的產(chǎn)業(yè)群，例如新能源、新材料、生物產(chǎn)業(yè)、新能源汽車等等.

4)針對“模型多、聯(lián)系長”的特點,要重視數(shù)學(xué)(統(tǒng)計)建模的過程,加強統(tǒng)計與其他數(shù)學(xué)知識的融合.

概率統(tǒng)計中有各式各樣的模型(如概率中的超幾何分布模型、統(tǒng)計中的獨立性檢驗?zāi)Ｐ偷?,人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(選擇性必修第三冊)也是以眾多案例建模的過程來編寫,讓學(xué)生真正經(jīng)歷各種統(tǒng)計量和模型的形成過程,實現(xiàn)從建模的視角去解決實際應(yīng)用問題.此外,在處理統(tǒng)計問題時還常常涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列等知識,與其他知識的聯(lián)系深遠(yuǎn),也給了它放在壓軸題考查的可能.

片段5經(jīng)歷建模過程,關(guān)注知識融合.

該課最后一道例題就是讓學(xué)生經(jīng)歷構(gòu)建收益模型的全過程,并且在求收益最大值時與導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識相融合.

例22020年是我國全面建成小康社會和“十三五”規(guī)劃收官之年,也是A市在經(jīng)濟總量超過萬億元新起點上開啟發(fā)展新征程的重要歷史節(jié)點.在推動制造業(yè)高質(zhì)量發(fā)展的大環(huán)境下,A市某工廠統(tǒng)籌各類資源,進行了積極的改革探索.表3是該工廠每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量x(其中5≤x≤20)(件)與相應(yīng)的生產(chǎn)總成本y(萬元)的4組對照數(shù)據(jù).

表3 工廠每月生產(chǎn)的產(chǎn)量與相應(yīng)的生產(chǎn)總成本

工廠研究人員建立了y與x的兩種回歸模型,利用計算機算得的近似結(jié)果如下:

其中模型1的殘差圖如圖2所示.

圖2

1)根據(jù)殘差分析,哪一個更適合作為y關(guān)于x的回歸方程?請說明理由.

2)市場前景風(fēng)云變幻,研究人員統(tǒng)計歷年的銷售數(shù)據(jù)得到每件產(chǎn)品的銷售價格q(萬元)是一個與產(chǎn)量x相關(guān)的隨機變量,分布列見表4.

表4 每件產(chǎn)品的銷售價格q的分布列

結(jié)合你對第1)小題的判斷,當(dāng)產(chǎn)量為何值時,月利潤的預(yù)報期望值最大?最大值是多少(精確到0.1)?

分析1)此題要求根據(jù)殘差分析來選擇回歸方程,因此求出模型2對應(yīng)的殘差值(見表5),并作出殘差圖(空心圓點),如圖3所示.

圖3

表5 模型2的殘差分析

借助殘差圖可以看到,模型1更適合作為y關(guān)于x的回歸方程.

判斷的理由可以多種,至少表述一種即可.例如,從數(shù)量的角度,模型1的4個樣本點的殘差的絕對值都比模型2的小;從圖形的角度,模型1的4個樣本殘差比模型2的殘差點更貼近x軸;模型1的4個樣本點的殘差點所在的帶狀區(qū)域比模型2的帶狀區(qū)域更窄.

2)設(shè)月利潤為W,由題意知W=qx-y,容易列出W的分布列,并求得

借助導(dǎo)數(shù)工具,可以求得當(dāng)x=11,即產(chǎn)量為11件時,月利潤的預(yù)報期望值最大值是774.8萬元.

3 結(jié)束語

未來已來,新高考已來!概率統(tǒng)計試題或許會成為未來新高考的一個分水嶺,如果不予以重視,可能會成為高考中的一大隱患.因此,在高三復(fù)習(xí)備考過程中,這塊內(nèi)容需要加強研究,認(rèn)真復(fù)習(xí).教師要重視回歸教材,細(xì)摳概念,強化閱讀,落實方法,滲透思想,培養(yǎng)素養(yǎng),這樣才能從容應(yīng)對高考.與此同時,挑戰(zhàn)與機遇并存,新高考對廣大教師來說也是一個新契機,只要努力提升自身的專業(yè)素養(yǎng)與業(yè)務(wù)水平,相信未來在統(tǒng)計這片藍海中,會有更多的教師脫穎而出.