花 奎

(南京師范大學(xué)第二附屬高級(jí)中學(xué),江蘇 儀征 211900)

在使用高三數(shù)學(xué)模擬卷或復(fù)習(xí)用書進(jìn)行教學(xué)時(shí),由于命題者的疏忽,會(huì)出現(xiàn)一些條件信息錯(cuò)誤或矛盾的例題或習(xí)題,此類題目稱之為病題.大多數(shù)教師發(fā)現(xiàn)病題后,直接刪除或改為正確題目,再讓學(xué)生去訓(xùn)練或?qū)ζ溥M(jìn)行講解.其實(shí),病題是一種不可多得的教學(xué)資源.引導(dǎo)學(xué)生深層次地探究病因和修正錯(cuò)誤,對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)學(xué)思想的掌握、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升具有不可替代的作用,同時(shí)有利于喚醒學(xué)生的好奇心,激發(fā)學(xué)生的探究欲望,培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維,特別是有利于培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)及提出問題的能力.下面就談?wù)勔坏啦☆}的探究教學(xué)和點(diǎn)滴思考.

1 病題呈現(xiàn)及課前研討

此題是2022年江蘇教育出版社《高考總復(fù)習(xí)南方鳳凰臺(tái)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(數(shù)學(xué))》(學(xué)生用書)第146頁中的一道題.

教師用書參考答案(記為解法1)如圖1,根據(jù)橢圓方程可知a=3,c=2.設(shè)PF1=m,PF2=n,依題意有

圖1

可得

(m+n)2-2mn=16,

從而

mn=10,

于是

不難發(fā)現(xiàn)編題者意圖:讓學(xué)生掌握橢圓定義的應(yīng)用及整體處理的意識(shí).筆者在備課時(shí),發(fā)現(xiàn)由于編題者的失誤,即題中點(diǎn)P是不存在的,例1是一個(gè)病題.對(duì)于這道題如何進(jìn)行教學(xué)處理呢?筆者和其他教師進(jìn)行了簡(jiǎn)單交流,主要有兩種處理意見:

意見1(多數(shù)教師)在做題時(shí)沒發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤.既然是病題,那么就直接刪除或換一道類似題目,也可以修改一下數(shù)據(jù),就不要浪費(fèi)學(xué)生時(shí)間了.高三教學(xué)任務(wù)重,抓緊時(shí)間多完成幾道例題,應(yīng)對(duì)高考.

意見2(少數(shù)教師)此病題中的錯(cuò)誤不易發(fā)現(xiàn),可以讓學(xué)生嘗試去做,去發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,探究錯(cuò)因,揭示問題的本質(zhì),有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和深刻性.

愛因斯坦說過,發(fā)現(xiàn)問題比解決問題更重要.筆者比較傾向意見2,主張讓學(xué)生先做,了解學(xué)生會(huì)怎樣做,看學(xué)生能否發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,然后根據(jù)學(xué)生的情況,設(shè)計(jì)課堂教學(xué).筆者整理了學(xué)生課堂解答情況,主要有以下4種解法.

解法1(同參考答案的方法(略),全班共52名學(xué)生,有32名學(xué)生使用了解法1.)

m2+(6-m)2=16.

即

m2-6m+10=0.

因?yàn)棣?0,所以m無解.

(6名學(xué)生使用此法.其中有3名學(xué)生先用此法,后又劃掉使用解法1;1名學(xué)生改用解法3;1名學(xué)生寫到了Δ<0未敢下結(jié)論,只有1名學(xué)生下了無解的結(jié)論.)

解法3設(shè)P(x0,y0),由PF1⊥PF2,得

從而

即

故

(8名學(xué)生使用此法.)

(4名學(xué)生使用此法.)

根據(jù)學(xué)生的解答情況,只有2名學(xué)生認(rèn)為這道題目有問題,就不去做了,也沒有探究錯(cuò)誤的原因.利用解法2的大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為自己的解法不對(duì),但不認(rèn)為題目有錯(cuò),即使隱約感覺題目錯(cuò)了,也不敢質(zhì)疑.用解法1、解法3及解法4求解的學(xué)生,順風(fēng)順?biāo)?完全沒有發(fā)現(xiàn)問題.

不難發(fā)現(xiàn),學(xué)生普遍滿足于完成作業(yè)(做習(xí)題),問題意識(shí)淡薄,即使有少數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問題,也沒有進(jìn)一步探究,缺少刨根問底的精神,同時(shí)也說明了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中好奇心已然丟失.鑒于此,筆者設(shè)計(jì)了“比較生疑,探尋病因—修正改進(jìn),探索規(guī)律—嘗試學(xué)問,省悟本原”的探究教學(xué)流程,意在讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的同時(shí),喚醒學(xué)生的好奇心,激活問題意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力,激發(fā)學(xué)生的探究精神,揭示問題的本質(zhì).

2 教學(xué)過程

2.1 比較生疑,探尋病因

師(先展示解法1、解法3):同學(xué)們,通過這兩種解法的學(xué)習(xí),我們有什么感悟呢?

生1:點(diǎn)P在橢圓上,可以用橢圓的定義和橢圓的方程兩種方式刻畫.

師(展示解法2):這個(gè)解法又是怎么回事呢?

(學(xué)生看到解法2,略顯詫異!)

生(多數(shù)):應(yīng)該是計(jì)算錯(cuò)了吧!

師:真的算錯(cuò)了嗎?大家再算算.

等了一會(huì)兒,學(xué)生開始嘰嘰喳喳地討論起來.不少學(xué)生顯露出困惑和好奇!

師:你們現(xiàn)在再比較這幾種解法,思考為什么會(huì)產(chǎn)生截然不同的結(jié)果呢?哪個(gè)結(jié)果正確?為什么?

(此時(shí)學(xué)生的好奇心已被喚醒,頓時(shí)有了興趣,開始了積極的討論.)

師:說得很好!

師:難道題目真的錯(cuò)了嗎?錯(cuò)在哪里呢?解法4又如何解釋呢?

(教師故作驚訝!并在此時(shí)展示解法4,教室開始熱鬧起來.)

生4(過了一會(huì)兒):老師!這道題的圖畫不出來,是一道病題.

師(故作驚訝):噢!

圖2

師:太好了,解析幾何內(nèi)容的本質(zhì)依然是幾何!既然是幾何,那一定離不開圖形.生4抓住了點(diǎn)P需滿足“PF1⊥PF2”的幾何實(shí)質(zhì)是一個(gè)圓,而它與橢圓無交點(diǎn),說明題目中的條件是矛盾的.

2.2 修正改進(jìn),探索規(guī)律

師:沒想到還真是題目有錯(cuò)誤呀!編題者也不容易,我們能不能幫助其修正一下?

生5:可以將條件“PF1⊥PF2”改為“∠F1PF2=60°”.

師:大家對(duì)生5的修正做何評(píng)價(jià)呢?

生6:∠F1PF2=60°不一定可以.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠F1PF2是在變化的,它應(yīng)該有范圍!60°不一定在范圍內(nèi).

師:生6提出的問題太好了!那么∠F1PF2的范圍是什么呢?

生6:由圖形可知,當(dāng)點(diǎn)P在長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí),∠F1PF2取得最小值0;當(dāng)點(diǎn)P在短軸的端點(diǎn)時(shí),∠F1PF2取得最大值.

師:生6從圖形直觀感知當(dāng)點(diǎn)P為短軸的端點(diǎn)時(shí),∠F1PF2最大!這種猜想對(duì)嗎?伽利略認(rèn)為,僅靠自身的感受或者積累的經(jīng)驗(yàn)來了解世界已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,必須求助數(shù)理式的理性.我們能給予理性證明嗎?

(學(xué)生陷入沉思.)

師:要研究角的范圍(或最值),一般是怎樣去研究的呢?

生(眾):要研究角的范圍,通常可以先研究角的某一個(gè)三角函數(shù)的取值范圍.

師:那么,選擇哪個(gè)三角函數(shù)去研究方便呢?大家嘗試一下.

通過學(xué)生獨(dú)立思考、嘗試、討論,有以下想法:

想法1記∠PF2x=α,∠PF1x=β,設(shè)P(x0,y0),則

想法3在△F1PF2中,設(shè)PF1=m,PF2=n,則m+n=2a,由余弦定理得

又

從而

mn≤a2,

故

當(dāng)且僅當(dāng)PF1=PF2時(shí)取等號(hào),即P為短軸端點(diǎn)時(shí),∠F1PF2最大.

師:大家比較一下這3種想法,談?wù)勼w會(huì).

生(歸納整理):

想法1:在解析幾何中,角的刻畫通常用斜率和傾斜角,自然想到將∠F1PF2轉(zhuǎn)化為2條直線的斜傾角之差,利用兩角差的正切公式及斜率坐標(biāo)公式來計(jì)算,最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量y0的函數(shù)來解決.方法樸素自然,也是解析幾何中的一般方法.其不足為:計(jì)算量比較大,而且需要檢驗(yàn)斜率不存在和∠F1PF2=90°的情況.另外,正切函數(shù)在[0,π)內(nèi)不單調(diào),很難說清何時(shí)角最大.

想法2:向量法也是處理夾角問題的常用方法.將∠F1PF2轉(zhuǎn)化為向量夾角,利用向量夾角公式,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示,最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的函數(shù)來解決.其不足依然是計(jì)算量大.

想法3:抓住了△F1PF2的特點(diǎn)(焦點(diǎn)三角形),即由橢圓定義PF1+PF2=2a為常數(shù),利用余弦定理并結(jié)合基本不等式迅速獲得cos∠F1PF2的范圍,再借助余弦函數(shù)的單調(diào)性,一氣呵成!其不足為:若F1,F2不是焦點(diǎn),即PF1+PF2不是常數(shù),則不能順利解決.

師:同學(xué)們總結(jié)得非常到位.今后在解決角的范圍問題時(shí),要根據(jù)條件,估計(jì)一下運(yùn)算量,合理選擇三角函數(shù)進(jìn)行求解.

師:現(xiàn)在我們?cè)偎伎伎梢詫l件“PF1⊥PF2”改為“∠F1PF2=60°”嗎?如果可以,那么如何解決?

生7:不難得到當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)P0時(shí),

從而

∠F1P0F2>60°,

因此∠F1PF2可以等于60°.

設(shè)PF1=m,PF2=n,聯(lián)立

得

(m+n)2-3mn=16,

從而

師:從幾何角度看,將“PF1⊥PF2”改為“∠F1PF2=60°”,其本質(zhì)是什么?

2.3 嘗試學(xué)問,省悟本源

師:通過上述探究,同學(xué)們有哪些體會(huì)呢?

生:1)點(diǎn)P在橢圓上可以用橢圓的定義和方程兩種方式刻畫;2)點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),當(dāng)點(diǎn)P為短軸的端點(diǎn)時(shí),∠F1PF2最大;3)角的范圍的一般性求法;4)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)滿足兩個(gè)幾何條件,其代數(shù)本質(zhì)即為兩個(gè)方程構(gòu)成的方程組有解,幾何本質(zhì)就是兩個(gè)軌跡有公共點(diǎn).

師:同學(xué)們掌握得不錯(cuò),特別是兩個(gè)幾何條件的代數(shù)和幾何本質(zhì).現(xiàn)在,大家能否學(xué)做命題人,通過改變條件和結(jié)論,嘗試編制一些試題?并說說編題的理由.

學(xué)生的積極性很高,大多數(shù)學(xué)生編制如下變式題并能說出解法.

(理由:橢圓確定,改變∠F1PF2的大小,只要保證∠F1PF2在規(guī)定的范圍內(nèi),解焦點(diǎn)三角形就可以了.)

(理由:條件與結(jié)論互換,給出焦點(diǎn)三角形的面積,求∠F1PF2的大小.教師指出,△F1PF2的面積也有取值范圍的要求.)

少數(shù)學(xué)生編制了開放題,讓同學(xué)們大開眼界.

(理由:條件PF1⊥PF2表示點(diǎn)P在圓上,則橢圓與圓應(yīng)有交點(diǎn),因此對(duì)橢圓的離心率有要求.教師表揚(yáng)并評(píng)價(jià),讓大家思考一下解法.)

(理由:受到變式2的啟發(fā),給出焦點(diǎn)三角形的面積,可以求∠F1PF2的大小,∠F1PF2的大小應(yīng)在一定的范圍內(nèi),從而可求出a的范圍.)

(理由:高考試題中常出現(xiàn)結(jié)構(gòu)不良的試題,我就嘗試編出一個(gè).3個(gè)條件都表示“隱圓”,關(guān)鍵是要研究哪一個(gè)圓與橢圓有公共點(diǎn).)

學(xué)生在編題解題過程中學(xué)會(huì)提出問題的一些方法,理解了問題的本質(zhì),同時(shí)也體驗(yàn)了命題的快樂.教師在教學(xué)過程中對(duì)學(xué)生提出的問題應(yīng)給予充分的肯定和鼓勵(lì).

3 點(diǎn)滴思考

3.1 創(chuàng)設(shè)問題情境,喚醒學(xué)生的好奇心

我國(guó)教育缺乏對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).創(chuàng)造教育存在問題的根本原因在哪里?張奠宙先生曾頗為沮喪地感慨道,中國(guó)公眾和學(xué)生對(duì)考試以外的題目喪失了興趣,缺乏好奇心,真是一種教育的悲哀[1].本案例的課前教學(xué)研討中大多數(shù)教師認(rèn)為:“既然是病題,就直接刪除或者換一道類似題目,就不要浪費(fèi)學(xué)生時(shí)間了,抓緊時(shí)間多完成幾道例題,應(yīng)對(duì)高考.”這些教師希望學(xué)生在高考中取得好分?jǐn)?shù),追求“多做題”,這無疑扼殺了學(xué)生的興趣愛好,無端剝奪了學(xué)生的好奇心與思考力.何況,新高考數(shù)學(xué)凸顯理性思維,導(dǎo)向獨(dú)立思考、探究創(chuàng)新.周序教授認(rèn)為,知識(shí)究竟帶給學(xué)生一種怎樣的感覺,并不在于知識(shí)本身是抽象還是具體,而是教師能否用一種調(diào)動(dòng)學(xué)生興趣、符合學(xué)生心理特點(diǎn)的方式進(jìn)行教學(xué),從而促使學(xué)生的發(fā)展[2].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》)明確提出,通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心,養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣,發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力;樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神;不斷提高實(shí)踐能力,提升創(chuàng)新意識(shí).本文首先創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知的真情境(解法比較),通過解法1和解法3的學(xué)習(xí)與體會(huì),先建構(gòu)了一種“定義和方程”“數(shù)與形”的認(rèn)知平衡,再展示解法2并提出“真的計(jì)算錯(cuò)誤了嗎?”“為什么會(huì)產(chǎn)生截然不同的結(jié)果呢?”等問題,讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突,打破了之前的認(rèn)知平衡,由奇生疑,喚醒了學(xué)生的好奇心,使學(xué)生產(chǎn)生了探究的欲望.

3.2 問題引導(dǎo)探究,揭示數(shù)學(xué)的本源

教學(xué)過程是一種提出問題、解決問題的持續(xù)不斷的過程.問題是數(shù)學(xué)的心臟,讓思維從問題開始,思維活動(dòng)又形成新的問題,這種遞進(jìn)式的問題引領(lǐng)學(xué)生思考,也為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭起了支架,指明著探究的方向,當(dāng)然問題要針對(duì)學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)提出,才能促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展[3].在本案例中,“難道題目真的錯(cuò)了嗎?錯(cuò)在哪里呢?”這一問題激起了學(xué)生的探究欲望,為學(xué)生指明了探究方向.笛卡爾曾說,我所解決的每一個(gè)問題將成為一個(gè)范例,以用于解決其他問題.本文中“我們可以幫助修正一下嗎?要研究角的范圍(或最值),一般是怎樣去研究的呢?”這一問題,不僅引領(lǐng)學(xué)生探索得到了“點(diǎn)P為短軸的端點(diǎn)時(shí),∠F1PF2最大”的結(jié)論,更重要的是獲得了解決“角的范圍”問題的一般方法,這正是數(shù)學(xué)本質(zhì)的一種追尋過程,自然地與學(xué)生內(nèi)在需求產(chǎn)生共鳴.“你能嘗試編制一些試題嗎?”這一問題讓學(xué)生在不斷改變條件與結(jié)論的外在屬性而提出新問題的過程中,更深刻地理解了“點(diǎn)P為短軸的端點(diǎn)時(shí),∠F1PF2最大”和“動(dòng)點(diǎn)P同時(shí)滿足兩個(gè)條件,代數(shù)本質(zhì)為兩個(gè)方程構(gòu)成的方程組有解,幾何本質(zhì)就是兩個(gè)軌跡有公共點(diǎn)”的數(shù)學(xué)本源.

3.3 課堂主體轉(zhuǎn)向,培養(yǎng)問題提出的能力

教育的真正目的是讓學(xué)生不斷地提出問題、思考問題.《課標(biāo)》明確提出,提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.《課標(biāo)》在六大核心素養(yǎng)的具體闡述中,問題提出是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象這四大素養(yǎng)的表現(xiàn)之一.然而,課堂提問價(jià)值理性的缺失導(dǎo)致課堂提問及教學(xué)過程的異化.雖然我們的課堂上也有提問,但很少是由學(xué)生提出的,教師一直占據(jù)著課堂提問的主體地位,對(duì)學(xué)生成為課堂提問的主體形成了較大障礙,阻礙了新課程背景下課堂教學(xué)的提質(zhì)增效.教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到課堂提問的作用在于激勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的想法并提出問題,即課堂提問的價(jià)值理性是讓學(xué)生作為課堂提問的主體提出問題并培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)[4].在本文中,教師提出的“編題者也不容易,我們可以幫助修正一下嗎?”“大家對(duì)生5的修正有何評(píng)價(jià)呢?”等問題,就是基于課堂提問的價(jià)值理性,目的在于激勵(lì)學(xué)生提出源于自己的好奇心、質(zhì)疑及新發(fā)現(xiàn)的問題.李政道先生也曾說,學(xué)問,第一個(gè)字是“學(xué)”,第二個(gè)字是“問”,什么意思呢?就是你要學(xué)怎么樣去問問題,這才是真正的學(xué)問.反思當(dāng)前學(xué)校的學(xué)生做題、應(yīng)考只能讓學(xué)生學(xué)會(huì)作答別人的問題,而殊不知提出一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更重要.讓學(xué)生疲于做題的教育傳統(tǒng)必須改變,教育改革需要將學(xué)生“外包”給了命題人的思想還回來,不妨給學(xué)生時(shí)間和空間,讓學(xué)生學(xué)會(huì)自己提出問題.本文設(shè)計(jì)學(xué)生自己編題環(huán)節(jié),在編題的過程中實(shí)現(xiàn)了提問的主體轉(zhuǎn)向,培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、問題意識(shí)及創(chuàng)新思維,領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)本質(zhì),特別是讓學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)了提出問題的方法,從而培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力.