侯世昌，李洪帥，劉維巖

（河北省水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院集團(tuán)有限公司，天津 300220）

在水利工程建設(shè)施工中， 填筑土料經(jīng)挖掘后，其原有結(jié)構(gòu)已被破壞。王述紅、寧寶寬等［6］認(rèn)為：未經(jīng)壓實(shí)的填土松散、壓縮性大、抗剪強(qiáng)度低、水穩(wěn)性差等不利特點(diǎn)，不能作為土工構(gòu)筑物或地基。因此，填筑土料的有效碾壓是保證工程質(zhì)量的重要環(huán)節(jié)。碾壓后的土料可提高土體的抗剪強(qiáng)度，降低透水性和壓縮性等［7］不利特性，從而滿足設(shè)計(jì)要求的土體穩(wěn)定和運(yùn)行安全。土料的擊實(shí)試驗(yàn)是采用標(biāo)準(zhǔn)化擊實(shí)設(shè)備和標(biāo)準(zhǔn)方法［1］，測(cè)定土料的最大干密度和最優(yōu)含水率，為填筑工程設(shè)計(jì)和現(xiàn)場(chǎng)碾壓施工提供土料的壓實(shí)性控制指標(biāo)。因此，擊實(shí)試驗(yàn)是土料填筑工程（如堤壩、路基、房基等）不可或缺的重要試驗(yàn)項(xiàng)目。

土料擊實(shí)試驗(yàn)成果分析表明：土料的類(lèi)型、擊實(shí)功能等因素影響擊實(shí)試驗(yàn)效果； 土料的擊實(shí)效果與土的物理特性有一定相關(guān)關(guān)系，但具有局限性。馮建國(guó)［10］認(rèn)為：擊實(shí)試驗(yàn)獲得的土料最大干密度和最優(yōu)含水率的準(zhǔn)確與否關(guān)系到實(shí)際工程中碾壓填筑土料的質(zhì)量控制。潘新欣［11］認(rèn)為：盡管在同一區(qū)域內(nèi)，在一定擊實(shí)功能下， 土料的最大干密度和最優(yōu)含水率與土料的液限、塑限具有良好的相關(guān)關(guān)系,但這些關(guān)系式只能在限定工程中或范圍內(nèi)借鑒, 還不具有通用性，不能代替實(shí)際的擊實(shí)試驗(yàn)結(jié)果。

目前， 擊實(shí)試驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理一般采用作圖法和土工試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理軟件。但在資料的整理過(guò)程中，對(duì)于圖表的格式和自由編輯還存在一定不便。 如當(dāng)在報(bào)告中插入擊實(shí)試驗(yàn)曲線（干密度度與含水率關(guān)系曲線）時(shí)，作圖法或土工試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理軟件生成的圖形不一定滿足要求。如果采用Excel 形成的圖形和土工試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理軟件計(jì)算的最大干密度和最優(yōu)含水率，可能圖形與計(jì)算結(jié)果不一定相互匹配；如果采用Excel 形成的圖形和在圖上通過(guò)目力確定最大干密度和最優(yōu)含水率，造成數(shù)據(jù)結(jié)果的精度不夠。為解決這種問(wèn)題,依據(jù)Excel 提供的強(qiáng)大圖表和內(nèi)置函數(shù)功能，結(jié)合實(shí)際工程項(xiàng)目的土試驗(yàn)數(shù)據(jù)，詳細(xì)描述既在Excel 中繪制圖形又與圖形相一致的幾種擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理方法及對(duì)比分析。

1 試驗(yàn)方法

試驗(yàn)依據(jù)GB/T 50123—2019 《土工試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》［1］規(guī)定的擊實(shí)試驗(yàn)方法進(jìn)行。采用輕型擊實(shí)法，擊實(shí)試驗(yàn)的單位體積擊實(shí)功約592.2 kJ/m3。

干土質(zhì)量按式（1）計(jì)算：

式中md為干土質(zhì)量(g)；m0為風(fēng)干土質(zhì)量（或天然濕土質(zhì)量）(g)；ω0為風(fēng)干含水率（或天然含水率）（%）。

土樣制備含水率所加水量按式（2）計(jì)算：

式中mw為土樣所需加水質(zhì)量(g)；ω' 為土樣所要求的含水率(%)。

擊實(shí)后各試樣的含水率按式（3）計(jì)算：

式中ω 為擊實(shí)后試樣的實(shí)測(cè)含水率(%)；m濕為試樣中所取的濕土質(zhì)量(g)；m干為烘干后的干土質(zhì)量(g)。

擊實(shí)后各試樣的濕密度按式（4）計(jì)算：

式 中ρ 為 擊實(shí)后試樣的濕密度(g/cm3)；m 為擊實(shí)后試樣的濕土質(zhì)量 (g)；V 為擊實(shí)筒體積(cm3)。

擊實(shí)后各試樣的干密度按式（5）計(jì)算：

式中ρd為擊實(shí)后試樣的干密度（g/cm3）。

擊實(shí)后各試樣的飽和含水率按式（6）計(jì)算：

式中ωsat為飽和含水率(%)；ρW為水的密度（g/cm3）；Gs 為土粒比重。

2 基本數(shù)據(jù)

2.1 土料的基本物理性質(zhì)數(shù)據(jù)

土料取自某除險(xiǎn)加固工程的筑堤填筑料， 其基本物理性質(zhì)數(shù)據(jù)如表1。

表1 土料的基本物理性質(zhì)數(shù)據(jù)

2.2 擊實(shí)試驗(yàn)基本數(shù)據(jù)

擊實(shí)試驗(yàn)的基本數(shù)據(jù)如表2。

表2 擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)

3 結(jié)果數(shù)據(jù)

根據(jù)表1 中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，采用上述公式分別計(jì)算不同含水率情況下對(duì)應(yīng)的干密度，同時(shí)為后續(xù)方便計(jì)算和分析, 用符號(hào)x 表示含水率（代替符號(hào)ω）， 用符號(hào)y 表示干密度（代替符號(hào)ρd）。其結(jié)果如表3。

表3 相同擊實(shí)功能的情況下干密度與含水率對(duì)應(yīng)值

4 數(shù)據(jù)處理

為滿足Excel 軟件繪圖和擬合趨勢(shì)線的要求，分別把計(jì)算結(jié)果的含水率數(shù)據(jù)定為x 值序列,相對(duì)應(yīng)的干密度定為y 值序列，如表3。

在Excel 中建立與表2 中的數(shù)據(jù)相同的數(shù)據(jù)源。插入散點(diǎn)圖如圖1，在圖中添加多項(xiàng)式趨勢(shì)線。由于繪制的干密度與含水率關(guān)系曲線要求其均過(guò)實(shí)際測(cè)試點(diǎn)，因此采用拉格朗日差值多項(xiàng)式擬合趨勢(shì)線，其階數(shù)是擬合趨勢(shì)線測(cè)試點(diǎn)數(shù)減一值。 按照土工試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)［1］要求的基本測(cè)試點(diǎn)數(shù)，多項(xiàng)式的階數(shù)取為4。在Excel 中趨勢(shì)線選項(xiàng)為：顯示公式和R2 值。

圖1 干密度y 與含水率x 關(guān)系曲線

為實(shí)現(xiàn)擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的自動(dòng)化處理， 需利用Excel 中提供的強(qiáng)大函數(shù)功能把擬合多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)先提取出來(lái)并放到指定的單元格內(nèi)， 通過(guò)提取多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)， 建立隨基礎(chǔ)數(shù)據(jù)變化而變化的計(jì)算公式，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)計(jì)算的目的。

以表2 中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)為例， 首先采用函數(shù)INDEX 和LINEST 提取擬合多項(xiàng)式中各項(xiàng)的系數(shù)，格式如下：

設(shè)定擬合的多項(xiàng)式格式為：

提取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的函數(shù)式：

a1=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,1）

a2=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,2）

a3=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,3）

a4=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,4）

a5=INDEX（LINEST（已知y 值系列（干密度），已知x 值系列（含水率）^{1,2,3,4},TRUE,TRUE）,1,5）

這樣， 通過(guò)提取多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)后組成的多項(xiàng)式就可隨基本數(shù)據(jù)變化而變化。 提取出的多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)如表4。

表4 提取出的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)

從圖1 和表5 中可看出：對(duì)于同一組數(shù)據(jù),表5中提取出的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)與圖1 中多項(xiàng)式各項(xiàng)的系數(shù)一致，因此，采用提取多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)后進(jìn)行其計(jì)算結(jié)果是可靠的。

表5 采用多項(xiàng)式計(jì)算不同含水率情況下的干密度

另外，從圖1 可看出：求解圖1 中最優(yōu)含水率和最大干密度就是求解干密度與含水率關(guān)系曲線在區(qū)間［12.3，20.3］內(nèi)的極值問(wèn)題。

令ψ(x)=f'(x)=0 （8）

即：ψ(x)=4a1x3+3a2x2+2a3x+a4=0，求最優(yōu)含水率的值即為求函數(shù)ψ(x)=0 的根。

利用Excel 表格數(shù)據(jù)計(jì)算功能， 分別采用搜索法、迭代法、二分法和正割法求解函數(shù)ψ(x)=0 的根。

為防止出現(xiàn)非預(yù)期求解的結(jié)果， 繪制函數(shù)ψ(x)與含水率的關(guān)系曲線（曲線兩頭各延長(zhǎng)一部分），如圖2。從圖2 可看出：在區(qū)間［12.3,20.3］內(nèi)，函數(shù)ψ(x)=0 時(shí)只有1 個(gè)實(shí)根。

圖2 ψ(x)值與含水率x 關(guān)系曲線

4.1 搜索法

為獲得最大干密度和最優(yōu)含水率， 采用圖1 多項(xiàng)式對(duì)一定間隔數(shù)值的含水率進(jìn)行干密度搜索計(jì)算。當(dāng)計(jì)算干密度由逐漸增加變?yōu)橹饾u減小時(shí)，其分界值即為最大干密度， 對(duì)應(yīng)的含水率即為最優(yōu)含水率。其結(jié)果如表5。

從表4 可得出：當(dāng)含水率為15.6%時(shí)，干密度達(dá)最大值1.7530 g/cm3。對(duì)照?qǐng)D1 中的干密度與含水率關(guān)系曲線，其值合理。為獲得最優(yōu)含水率和最大干密度，本方法共進(jìn)行30 次計(jì)算,根據(jù)圖1 中曲線變化趨勢(shì)選定計(jì)算起始值（如：15.0）和控制終了值（如：15.9），至少需進(jìn)行10 次計(jì)算。

4.2 采用Newton 迭代法［3,8,9］求函數(shù)ψ(x)=0 的根

Newton 迭代法：設(shè)ψ(x)=0，ψ'(x)≠0，且ψ(x)在x 的領(lǐng)域N(x)內(nèi)有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，則Newton 迭代格式為：

為減少計(jì)算次數(shù),加快計(jì)算收斂速度,取x0=16.30（試驗(yàn)測(cè)定含水率的最小值與最大值的平均值），采用Newton 迭代法迭代計(jì)算過(guò)程如表6。

表6 Newton 迭代法迭代求解最優(yōu)含水率的過(guò)程

由表5 可知： 迭代計(jì)算收斂速度很快，x3=x4=x5=x6=x7，x2即為最終的迭代結(jié)果（x3=15.62353）。將x3值代入圖1 中的多項(xiàng)式后得：y=0.000150x4-0.009363x3+0.209586x2-1.986151x+8.373072=1.75299，修約后其最優(yōu)含水率15.6%，最大干密度1.7530 g/cm3。

4.3 采用二分法［2,8,9］求函數(shù)ψ(x)=0 的根

設(shè)：函數(shù)ψ(x)=0.00060x3-0.028089x2+0.419172x-1.986151 在［a1,b1］上連續(xù)，且ψ(a1)·ψ(b1)＜0（在此實(shí)例中：a1=12.3，b1=20.3）,方程ψ(x)=0 在區(qū)間(a1,b1)內(nèi)僅有1 個(gè)實(shí)根。

第1 步分半計(jì)算（k=1）：將［a1,b1］分半，計(jì)算中點(diǎn)x1=1/2(a1+b1)及ψ(x1)，如果

則函數(shù)ψ(x)的根一定在區(qū)間［a1,x1］≡［a2,b2］內(nèi)，否則其根一定在區(qū)間［x1,b1］≡［a2,b2］內(nèi)（若ψ(x1)=0，則x1=x*）。于是得到長(zhǎng)度縮小一半的含根區(qū)間［a2,b2］。

以［a2,b2］作為根x* 所在的縮小范圍的新區(qū)間，重復(fù)上述做法。當(dāng)x*≠x2=1/2(b2-a2)時(shí)，可求得a2＜x*＜b2，且b2-a2=1/22(b1-a1)

第k 步分半計(jì)算：重復(fù)上述過(guò)程，可求得ak＜x*＜bk，且bk-ak=1/2k(b1-a1)。

由此可知： 如果以ak 或bk 作為x* 的近似值，那么其誤差小于1/2k(b1-a1)。

如果達(dá)到上述計(jì)算方法的精度，如：|xk-x*|＜10-7，那么需要計(jì)算的次數(shù)為：k＞(ln(b1-a1)-lnε)/ln2,即

計(jì)算步驟至少達(dá)27 次后（如：28 次），所計(jì)算方程ψ(x)=0 的近似根值才能滿足要求精度。當(dāng)計(jì)算步驟達(dá)28 次時(shí)，a28=15.6235311，b28=15.6235312， 于是15.6235311＜x*＜15.6235312。 即15.6235311 作為根的不足近似值，15.6235312 作為根的過(guò)剩近似值，其誤差均小于10-7。

按照同樣的含水率精度計(jì)算最大干密度，即x28=15.62353, 代入多項(xiàng)式y(tǒng)=0.000150x4-0.009363x3+0.209586x2-1.986151x+8.373072=1.75299 后，求得最大干密度為1.7530 g/cm3， 含水率修約后其值為15.6%。

4.4 采用正割（割線）法［2,4］求函數(shù)ψ(x)=0 的根

通過(guò)正割法求解方程ψ(x)=0.00060x3-0.028089x2+0.419172x-1.986151=0 在區(qū)間［12.3,20.3］內(nèi)的根。其計(jì)算公式如式（12）。

設(shè)：x0=12.3，x1=20.3， 其值為實(shí)測(cè)含水率的最小值和最大值。 為防止出現(xiàn)不合理的計(jì)算結(jié)果， 保證ψ(x0)·ψ(x1)＜0,在確定x0和x1值時(shí)，最好取實(shí)測(cè)含水率的兩個(gè)端點(diǎn)值。計(jì)算結(jié)果如表7。

表7 正割法求解最優(yōu)含水率過(guò)程

從表7 可看出：x10=x11=x12，x10即 為 最終的正割法計(jì)算結(jié)果x10=15.6235311。按照同樣的含水率精度計(jì)算最大干密度，即x10=15.62353,代入多項(xiàng)式y(tǒng)=0.000150x4-0.009363x3+0.209586x2-1.986151x+8.373072=1.75299， 求得最大干密度為1.7530g/cm3，含水率修約后其值為15.6%。

同時(shí),從圖2 可看出：當(dāng)函數(shù)ψ(x)=0 時(shí)，在區(qū)間（-∞,+∞）內(nèi)可能有多個(gè)根，符合計(jì)算結(jié)果要求的只能在區(qū)間（12.3,20.3）內(nèi)，否則為無(wú)效結(jié)果。因此，在確定初值x0，x1時(shí)，如果不能保證ψ(x0)·ψ(x1)＜0，即使x0，x1均在區(qū)間（12.3,20.3）內(nèi)也可得出錯(cuò)誤結(jié)果。如：當(dāng)x0=12.3，x1=13.0 時(shí)，ψ(x0)=0.0392640，ψ(x1)=0.0373816，ψ(x0)·ψ(x1)＞0，計(jì)算結(jié)果為x=10.0505085；當(dāng)x0=20.3，x1=18.2 時(shí)，ψ(x0) = -0.0211313， ψ(x1) = -0.0357733，ψ(x0)·ψ(x1)＞0，計(jì)算結(jié)果為x=21.0331016。兩種情況下均產(chǎn)生無(wú)效結(jié)果。 這兩個(gè)無(wú)效解不是針對(duì)上述函數(shù)ψ(x)=0 情況的，而是針對(duì)實(shí)際擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)情況的。如果實(shí)際擊實(shí)試驗(yàn)測(cè)試的含水率存在數(shù)據(jù)x=10.0505085 或x=21.0331016（相近即可），或兩者均存在，則圖1 擬合的多項(xiàng)式和函數(shù)ψ(x)就不是上述結(jié)果了。

5 數(shù)據(jù)處理對(duì)比分析

幾種計(jì)算方法的特點(diǎn)分析如表8。

表8 幾種求解最優(yōu)含水率方法的特點(diǎn)分析

從表8 可看出： 針對(duì)擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理，Newton 迭代法無(wú)論從計(jì)算精度還是從計(jì)算效率都是比較好的選項(xiàng)。

6 結(jié)語(yǔ)

（1） 通過(guò)Excel 插圖和內(nèi)置函數(shù)的強(qiáng)大功能，可實(shí)現(xiàn)擊實(shí)試驗(yàn)數(shù)據(jù)多項(xiàng)式函數(shù)的自動(dòng)擬合, 可實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式系數(shù)的自動(dòng)提取，從而建立模板文件，實(shí)現(xiàn)插圖和計(jì)算結(jié)果隨原始數(shù)據(jù)的變化而自動(dòng)更新。

（2）在求解最優(yōu)含水率的方法中，Newton 迭代法在計(jì)算精度和計(jì)算效率方面均相對(duì)較好。

（3）為保證最優(yōu)含水率和最大干密度的精度，在計(jì)算過(guò)程中兩者均要保留一定的小數(shù)位數(shù), 計(jì)算結(jié)束后進(jìn)行修約。