王澤學 陳維

【摘? 要】? 本文基于心理學家希思兄弟所揭示的具有黏性的六條路徑——簡單、意外、具體、可信、情感和故事，以高中數學“函數的單調性”教學為例，進行具有黏性的教學設計.從而總結出具有黏性的教學策略：精煉設計，明確目標；吸引學生注意，提升學習興趣；提高共情力，打破“知識的詛咒”.

【關鍵詞】? 黏性的六條路徑；函數單調性；高中數學

1? 引言

所謂“黏性”，是指教師的教學內容能讓學生聽懂，能被學生記住，并對他們形成持久的影響[1].而這也是教師所期望的，在多年以后，雖然學生已經記不清在學習時所涉及某些具體的知識點，但那些核心概念和思維方式還能被記住.對于學生來說，黏性的教學也正是他們所所渴望的，因為這樣的教學是富有感染力和吸引力的.那如何讓自己的教學富有“黏性”？國際知名行為心理學家希思兄弟根據大量的社會心理學研究案例，揭示了讓創(chuàng)意或觀點具有黏性的六條路徑——簡單、意外、具體、可信、情感和故事[1].沿著這六個原則，以高中數學“函數的單調性”內容為例，進行具有黏性的教學設計.

2? 教學過程設計

2.1? 情境導入

同學們，提到新疆你們會想到什么？“葡萄甜”“風景美”“美食多”……而新疆讓老師印象最深刻地是氣溫變化快，晝夜溫差大，也正是這樣，新疆的葡萄甜.為了讓你們能直觀感受到新疆氣溫的變化規(guī)律，老師繪制了新疆伊寧市某一天的氣溫曲線圖.

問題? 觀察氣溫曲線圖，你能獲得什么信息？

學生可以很容易得出當天的最高氣溫是16°，最低氣溫是0°，在0-8時、14-15時以及20-24時氣溫下降，在8-14時氣溫上升，但在15-20時會有些爭議，而教師不用迫切給出答案，以懸念形式留給學生.教師可以繼續(xù)引導學生，氣溫“上升”和“下降”這種變化趨勢以及有沒有最大值或最小值，這些都是函數的性質，而我們今天首先研究是“上升”和“下降”這種變化趨勢.

【黏性原則】（1）具體：氣溫隨時間變化的情境是具體的，在他們理解過程中不會造成困難，并且比較容易觀察發(fā)現出氣溫上升和下降趨勢以及最高、最低氣溫，能快速切入到本節(jié)課的核心內容.（2）情感：從學生的生活出發(fā)，在新疆生活的人對于氣溫是敏感的，所以能讓學生產生共鳴，引起他們的關心，不會一開始就因為晦澀難懂而排斥教學.（3）意外：對于情境中15-20時的氣溫變化到底是不變還是下降，此處設計懸念，能讓學生有些意外，繼而引起學生興趣，也為后面“為什么用符號語言刻畫函數單調性”埋下伏筆.而將數學與生活關聯(lián)起來，能培養(yǎng)學生“三會”的核心素養(yǎng)，對學生形成持久的影響.

追問1? 在我們初中階段還學過哪些函數圖象？你能繪制它們的圖象并描述其變化趨勢嗎？

一次函數，二次函數，反比例函數.第1張圖從左往右呈上升趨勢；第2張圖在（?∞，0]呈下降趨勢，在[0，+∞）呈上升趨勢；第3張圖在（?∞，0）和（0，+∞）都是呈下降趨勢.

追問2? 如何從函數值和自變量的變化來描述上升、下降趨勢的呢？

“上升”意味著函數值隨著自變量的增大而增大；“下降”意味著函數值隨著自變量的增大而減小.

【黏性原則】簡單.通過生活情境遷移到學生初中所學的函數圖象中來，以學生所熟悉的函數圖象以及性質為認知起點，引出函數單調性的描述性定義，符合學生的認知規(guī)律，并在圖形語言和自然語言的基礎上對函數單調性符號語言進行建構.

2.2? 建構定義

我們將“函數值隨著自變量的增大而增大或減小”的性質稱為函數的單調性，下面進一步用符號語言刻畫這種性質.

2.2.1? 建構前準備

問題? 為什么要用符號語言刻畫這種性質呢？

可以引導學生回顧剛剛氣溫曲線圖中所遇到的問題，通過圖象我們并不能準確描述出函數性質，因此通過圖象觀察是存在局限性的，而用符號語言刻畫函數單調性是必要之舉.

追問? 你能說出函數的單調性嗎？

學生會發(fā)現有時連函數圖象都難繪出，更談不上描述函數的單調性.

【黏性原則】（1）情感：建構定義時應該開始引導學生怎么用符號語言刻畫函數的單調性，但在此之前，要站在學生的角度去思考，在初中他們已經習慣用函數圖象來研究性質，不免會產生疑問：“為什么還要用符號語言刻畫這種性質？”因此強調用符號語言表征的必要性，符合學生情感的需要.（2）意外：追問中的函數也是后面例題中會展現的，提前亮出會讓學生感到“意外”，從而制造“知識缺口”，當人們覺得自己的知識出現缺口時，好奇心就會產生.

2.3? 聚焦建構

問題1? 以二次函數為例，如何用符號語言描述“在[0，+∞），函數值f（x）隨著自變量x的增大而增大呢”？

問題1.1? 如何用符號語言表示“x增大和f（x）增大呢”？

教師引導學生增大是一種變化狀態(tài)，假設我們在函數圖象中取一個點，顯然不能說明x增大，那我們再取一個點，從到就能說明x在增大，那我們用什么符號表示和關系呢？學生不難想到用＜和＜表示x增大和f（x）增大.

問題1.2? 如何將“隨”符號化？

引導學生如何將＜和＜串起來，學生會想到很多連詞，但只要合理就是正確的，為了統(tǒng)一書寫規(guī)范，我們用“當...時，有....”.

追問1? 那和取值有什么要求？

學生能想到[0，+∞）.

問題2? “若[0，+∞），當＜時，＜.”這句話能準確地描述y=f（x）在區(qū)間[0，+∞）時，f（x）隨x增大而增大嗎？

學生通過畫圖發(fā)現“若[0，+∞），當＜時，＜ ”時，圖象可以先上升再下降，也可以先下降后上升，中間會有很多的變化趨勢，而取三個點，無數個點也依然如此.

追問? 那怎樣能保證在區(qū)間[0，+∞）時，f（x）一直隨x增大而增大？

學生發(fā)現只有當區(qū)間內所有的點都滿足當＜時，＜ ，就能說明在區(qū)間[0，+∞）時，f（x）一直隨x增大而增大.而“所有”又可以用全稱量詞“任意”二字說明，即[0，+∞），當＜時，都有＜ ，就能準確說明在區(qū)間[0，+∞）時，f（x）一直隨x增大而增大，也稱函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增.

問題3 如何用符號語言描述在（?∞，0]，f（x）隨x的增大而減?。?/p>

（?∞，0]，當＜時，都有＞ ，我們就稱函數f（x）在區(qū)間（?∞，0]上單調遞減.

【黏性原則】（1）可信：通過問題串的方式逐步建構出函數單調性的符號語言，讓學生充分參與到概念的建構過程中，切身體驗數學概念如何從直觀到抽象、從文字到符號、逐步嚴謹的過程，讓單調性形式化的定義不再是一座“空中樓閣”.（2）情感：學生在建構過程中，更能加深他們對于函數單調性概念的記憶.如果教師沒有通過問題進行引導，而是直接給出形式化的定義，學生只能死記硬背且不能靈活的應用.而這時教師通常也會疑惑，這個定義明明很簡單，課上也講得很清楚明白，為什么學生還是沒有理解，而這就是“知識的詛咒”.因為教師沒有從學生的認知出發(fā)，沒有從學生的角度去看問題.

2.4? 形成概念

問題1? 用符號語言描述函數y=kx+b（k≠0）和y=-x2各有怎樣的單調性？完成下列表1.

函數 定義域I 單調遞增 單調遞減

y=x2 R [0，+∞），當＜時，都有＜ ，函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增 -∞，，當＜時，都有 ，函數f（x）在區(qū)間-∞，上單調遞減

y=-x2

y=kx+b（k≠0）

問題2? 你能根據表2中的內容，用符號語言歸納出定義域為I的函數y=f（x），在區(qū)間D上單調遞增和單調遞減的定義嗎？

函數 定義域I 單調遞增 單調遞減

y=x2 R [0，+∞），當＜時，都有＜ ，函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增 -∞，，當＜時，都有 ，函數f（x）在區(qū)間-∞，上單調遞減

y=-x2 R -∞，，當＜時，都有＜ ，函數f（x）在區(qū)間-∞，上單調遞增 ，當＜時，都有 ，函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞減

y=kx+b（k≠0） R R，當＜時，都有＜ ，函數f（x）在區(qū)間R上單調遞增 ，當＜時，都有 ，函數f（x）在區(qū)間R上單調遞減

設函數f（x）的定義域為I，如果∈D，當＜時，都有＜ （＞，那么就稱函數f（x）在區(qū)間D上是單調遞增（單調遞減）.

追問? 區(qū)間D和定義域I的關系是什么？

D，即D=I，也可以是定義域I的一部分，當D=I時，即函數f（x）在它的定義域上單調遞增（或單調遞減）時，我們就稱它是增函數（或減函數）.

【黏性原則】（1）具體：函數單調性的一般定義是極具抽象性的，通過學生自己歸納是有難度的，這時教師應該給學生搭“腳手架”，通過一些具體的函數進行對比分析，找出其共同點和區(qū)別，從而總結出一般函數單調性的定義，體驗從特殊到一般的過程.（2）情感：通過學生自己總結出的定義肯定是不完善的，通過表格形式，能提示學生不能忘掉定義域，還能清晰知道區(qū)間D與定義域I的關系，從而引出增函數和減函數的概念，逐步引導學生將其完善.

2.5? 鞏固運用，加深理解

例1? 判斷函數的單調性.

問題1? 你能說出函數的單調區(qū)間嗎？

學生通過畫圖很容易知道函數在（?∞，0）和（0，+∞）單調遞減.

問題2? 函數在上（?∞，0][0，+∞）是減函數嗎？

引導學生從圖象（形）和取值（數）兩方面進行辨析，如一1＜ 1，f（-1）＜f（1） ，由此說明該函數不滿足減函數的定義.

問題3? 證明函數在（?∞，0）和（0，+∞）單調遞減.

給學生示范運用單調性定義規(guī)范表達、證明單調性的完整過程，并概括出證明的一般步驟：取值一作差一變形一判號一定論.

【黏性原則】（1）具體：完成概念的意義建構和形式化定義后，要讓學生進一步理解其本質，通過反比例函數能學生明白單調區(qū)間為何不能用“∪”連接，進一步理解單調性是一個局部性質.（2）可信：在學生通過函數圖象進行判斷以后，緊接著使用定義證明，能讓學生從數與形兩方面理解函數的單調性.對于單調性的證明是學生在函數學習時運用數學概念進行形式化推理的重要論證內容，對學生推理論證要求比較高.通過例題示范，讓學生掌握證明函數單調性的基本程序，形成基本的表達規(guī)范，提升邏輯推理和數學運算的素養(yǎng).

例2? 判斷函數在（0，+∞）的單調性.

學生無從下手，教師可以引導學生從“數與形”兩方面進行函數圖象的猜想.

首先，讓學生分別畫出和的圖象，可以觀察到兩圖象相交于（1，1）點.在（0，區(qū)間，位于的上方，即的函數值始終大于，所以在（0，區(qū)間，的函數圖象變化趨勢主要受的控制.在，+∞）區(qū)間，恰好相反，的函數圖象變化趨勢主要受的控制.所以在（0，區(qū)間，函數的變化趨勢是下降的，在，+∞）區(qū)間，函數呈上升趨勢.

其次，對于“”這個式子，學生并不陌生，在學習基本不等式時曾求過其最值，學生容易知道在x＞0時，的最小值是2.雖然學生還未學習最值部分的知識，但是可以引導學生觀察二次函數的圖象，當開口向上時，圖象存在最小值，而存在最小值時，圖象變化趨勢就是先下降后上升.最后再對上述的猜想運用函數的單調性的定義展開證明.

【黏性原則】（1）意外：函數是上面所制造的“知識缺口”，而教師現在就是在填補之前的“知識缺口”；如果直接告訴學生函數在（0，區(qū)間單調遞減，在，+∞）區(qū)間是單調遞增，再要求他們去證明，這樣會讓這道題的價值大打折扣，首先降低了學生的好奇心，其次猜想函數的圖象是學生應該去掌握的能力，或許現在對于他們有些困難，但同時也在制造新的“知識缺口”.（2）可信：進行猜想以后再進行證明，也是認識事物的一般路徑，而且這道題在證明過程中對學生的數學運算，邏輯推理，直觀想象有一定的要求，因此也能發(fā)展這方面的核心素養(yǎng).

2.6? 回顧小結

教師與學生一起回顧本節(jié)課所學的主要內容.

1.函數單調性定義的3種語言轉換：

圖形語言 在區(qū)間上“上升” 在區(qū)間上“下降”

自然語言 f（x）在區(qū)間上隨x的增大而增大 f（x）在區(qū)間上隨x的增大而減小

符號語言 設函數f（x）的定義域為I，區(qū)間D；如果∈D，當＜時，都有＜ ，那么就稱函數f（x）在區(qū)間D上是單調遞增 設函數f（x）的定義域為I，區(qū)間D；如果∈D，當＜時，都有＞ ，那么就稱函數f（x）在區(qū)間D上是單調遞減

2.歸納函數單調性的定義以及判斷函數單調性時，我們運用數形結合、類比、從特殊到一般等思想方法.

3.用定義證明函數單調性的一般步驟：取值一作差一變形一判號一定論.

【黏性原則】情感.寫一輩子教案，成不了名師，寫三年反思，就會成為專家，同樣反思總結對于學生也很重要.而現實中大多數老師是疏于反思總結的，那學生也不會重視反思總結.因此只有教師在每堂課都做好反思總結，才能讓學生提高其反思總結的能力.

2.7? 布置作業(yè)

必做：

1.根據課上所展示的新疆某天氣溫曲線圖，描述氣溫和時間的關系.

2.練習中的第2題和第3題.

3.下列函數中，滿足“對任意x1，x2∈（0，+∞），都有的是（? ）

（A）.? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （B）.

（C）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（D）.

選做：

1.查閱資料，簡單描述玻意耳定律的發(fā)現過程，并用代數的方法嚴格證明物理學中的玻意耳定律，即對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強P增大.

2.已知函數在區(qū)間[-∞，6]上是減函數，求實數a的取值范圍.

【黏性原則】情感.每個學生都是獨立的個體，每個學生的發(fā)展也各不相同.因此要分層布置作業(yè)，讓不同層次的學生都能得到發(fā)展.必做作業(yè)是針對全體學生，即每位學生都必須掌握.第1題意在學生能用圖形語言，自然語言以及符號語言描述氣溫和時間的關系；練習中的第2題和第3題是強化學生能用定義證明函數的單調性；練習中的第3題意在讓學生理解函數單調性定義的一種變形形式，題目難度也是由易到難.

選做作業(yè)是知識的延伸和拓展，對學生的要求較高.第1題是結合物理背景，用函數單調性給予證明，而且通過了解定律的發(fā)現過程，能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識；第2題是將函數與方程結合起來，要融會貫通之前所學的知識，能培養(yǎng)學生函數與方程的思想.

3? 黏性策略

3.1? 精煉設計，明確目標

“簡單”通常比“復雜”更具有黏性.行為心理學的研究認為：表達中含有的信息量越少，就越容易增加黏性，這是個“帶寬問題”[1].所以我們需要精煉設計，但如何精煉，精煉到什么程度，則需要有方向進行指導.因此，我們首先需要明確教學目標.幾乎所有的教學理論都會強調目標的重要性，但現實中還是不乏抄襲的案例.如果沒有目標，就不能抓住教學的核心.而確定目標就在于提醒教師們所有的教學設計都是圍繞目標展開，而和目標毫無關系的內容就可以舍棄.正如奧卡姆剃刀原理所說“如無必要，勿增實體”，比如情境導入教學中，如果一至兩個情境已經能達到引入課題的目的，那即使第三個情境再好再妙也不建議使用，因為“導”是輔助，“入”才是根本.其次，善用現成知識.教師不能將學生當作用來填滿知識的容器，以學生已有的認知作為新知識的生長點.比如用符號語言刻畫函數的單調性，就是要通過學生在此之前用圖形語言和自然語言來描述這種規(guī)律的經驗來建立聯(lián)系.最后，巧用生成性類比，好的類比具有“生成性”.一個著名的“生成性”案例就是迪士尼稱自己的員工為“演員”，將樂園比作劇場，員工把自己的日常工作想象成舞臺演出[1].比如在《二分法求方程的近似解》中，利用湯加海底火山爆發(fā)導致湯加與外界唯一聯(lián)系的光纜被切斷這一現實場景，讓學生以小組合作的方式，承接在較短時間內找到長達數百公里的光纜的故障處這一救援任務.這會讓學生充滿熱情、積極參與、主動思維并樂此不疲.

3.2? 吸引學生注意，提升學習興趣

希思兄弟認為，天生具有黏性的觀點通常能激起兩種情緒：驚訝和興趣[1].而前者目的是吸引他人注意，但維持他們的注意力才是最終目的，也就是要提升學生的學習興趣.在數學教學中可以運用以下方法：（1）利用信息技術，比如GeoGebra等軟件；在函數圖象或者幾何的教學中，可以借助GeoGebra制作動畫.不僅在視覺上給學生帶來沖擊，而且能使學生的學習更加直觀，化抽象為具體，幫助學生理解，提高其學習的積極性；（2）融入數學史；數學史的價值不僅僅是以講故事的形式來吸引學生的注意力，它能創(chuàng)設情境激發(fā)學生的學習動機，比如在空間直線與平面垂直教學中，引入克萊羅對線面垂直中的定義：“直線不向平面的任意一方向傾斜.”在上課起立時，讓學生通過站得“直”和“不直”來感知定義；（3）問題驅動；一個好的問題能抓住學生的注意力，引發(fā)學生思考.比如講到排列組合的知識時，可以提出問題：在我們班至少有兩個人生日相同的概率約為多少？通常學生們都會認為概率是很低的，當教師告訴如果人數達到41人，概率就超過90%，這時就會引起學生的驚訝.但吸引學生的注意力往往是不夠的，洛溫施坦針認為，當我們覺得自己的知識出現缺口時，好奇心就會產生，這便是好奇心的“缺口理論”[2].缺口理論用在課堂教學上，就是讓我們的思考方式從“我想傳達什么信息”轉換為“我希望學生提什么問題”.而上述的“生日悖論”也是打開了學生的“知識缺口”，讓學生抱有好奇心耐心地聽講，提升學生的學習興趣.

3.3? 提高共情力，打破“知識的詛咒”

知識的詛咒[3]也叫“知識偏差”，是指因信息不對稱而造成的一種認知偏差，最先由C. Camerer 等人提出.而這種現象在教學中是時常發(fā)生的，我們會經常聽到教師抱怨：“為什么這么簡單的知識，學生理解不了呢？”往往教師都將其歸咎于學生太“笨”，但其實只是因為教師的知識水平明顯高于學生，導致這種認知偏差，換句話說，教師沒有站在學生的角度思考問題.因此要打破“知識的詛咒”，教師可以從以下三個方面提高其共情力：第一，教師要進行學情分析.充分地了解學生已有的知識儲備和已具備的能力，分析學生在學習新知識的過程中會遇到什么困難，從而制定教學策略去突破重難點.而不同學生的學習起點是不一樣的，所以教師還要根據學生的差異性進行教學分層設計，比如學習目標和作業(yè)設置要有層次性.第二，教師要讓知識與學生的現實世界連接起來，創(chuàng)建真實的情境.學生從真實情景中發(fā)現和提出問題，并應用數學知識分析和解決現實中的問題，這樣學生才能體會到數學是具有生活價值的學習.而凡是與自身利益相關的，才能喚起學生學習的熱情，從而促發(fā)學生的學習行為.第三，教師要重視建構并讓學生參與進來.傳統(tǒng)教學大多都是按照教師自己所想去設計，學生一旦跟不上教師的思路，知識的生成也會斷開.而進行知識的建構，是讓學生真正成為主體，站在學生的角度去設計課堂，在學生有困難的地方搭好“腳手架”.蘇霍姆林斯基也說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個發(fā)現者、研究者和探索者.”所以學生是樂于參與知識建構中來，親身經歷的過程也會讓學生印象深刻.

4? 結語

總之，具有黏性的數學教學能有效展現數學本身的魅力，進而受到學生真正的喜愛，促使學生對學習內容產生真正的關注，激發(fā)學生的學習興趣，幫助學生掌握進一步學習所必需的數學知識、技能、思想和方法，從而落實核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1] 奇普·希思，丹·希思，姜奕暉譯.讓創(chuàng)意具有黏性[M].中信出版社， 2014.

[2] GEORGE L. The Psychology of Curiosity： A Review and Reinterpretation [J]. Psychological Bulletin， 1994（116）： 75-98.

[3] CAMERER C， LOEWENSTEIN G， WEBER M. The Curse of Knowledge in Economic Settings： An Experimental Analysis [J]. Journal of Political Economy， 1989， 97（5）： 1232-54.