馮 青， 葛劍敏， 林國斌， 丁叁叁， 朱雷威

（1.同濟大學(xué) 物理科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200092；2.同濟大學(xué) 國家磁浮交通工程技術(shù)研究中心，上海 201804；3.中車青島四方機車車輛股份有限公司 國家工程研究中心，山東 青島 266111）

帶有黏彈性阻尼材料的薄板件常用于各類高速交通運載工具的壁板結(jié)構(gòu)，例如飛機艙壁、磁浮車身壁板等，用于減少車廂壁板的振動和輻射噪聲。飛機和磁浮等交通運載工具會長期在相對溫度較高或較低的極端溫度條件下運行，溫度對黏彈性阻尼材料的模量、損耗因子會有顯著的影響，尤其在低溫下，阻尼材料性能大幅衰減，甚至失效，因此，有必要對帶有阻尼材料薄板件在大跨度溫度范圍內(nèi)的模態(tài)特性進行實驗，分析溫度對帶阻尼薄板件振動特性的影響規(guī)律。識別黏彈性阻尼材料的材料參數(shù)隨溫度和頻率的變化規(guī)律，是分析帶阻尼薄板構(gòu)件在極端溫度下模態(tài)特性的關(guān)鍵。

高鐵行業(yè)較早開始關(guān)注阻尼材料在極端溫度條件下的性能，劉佳等［1］對高寒列車常用的4款阻尼材料在低溫情況下的性能進行了模態(tài)實驗研究，發(fā)現(xiàn)不同阻尼材料在低溫下性能差別顯著；陳沛等［2］用仿真方法研究了溫度對帶阻尼板件隔聲特性的影響。由于測試所需的溫度環(huán)境、方法和設(shè)備等因素，帶阻尼材料的薄板件在大跨度的溫度范圍內(nèi)的振動模態(tài)特性還沒有系統(tǒng)的測試研究結(jié)果。

隨著激光測振系統(tǒng)的發(fā)展，基于激光多普勒測振原理的測試得到廣泛應(yīng)用。杜鵑［3］使用激光測振技術(shù)識別飛機襟翼蒙皮的局部模態(tài)；田英等［4］使用二維激光掃描測試裝置對熱環(huán)境下的復(fù)合材料層合板進行了振動測試；代江波等［5］非使用三維激光掃描對渦輪葉片的高溫模態(tài)進行了測試分析。激光測振以其非接觸的特點，可以最大程度地減少實體加速度傳感器對測試樣件帶來的附加質(zhì)量。

對于黏彈性阻尼材料的參數(shù)識別主要有DMA（動態(tài)力學(xué)分析）方法［6］和基于懸臂梁振動的復(fù)合損耗因子識別法［7］。DMA 方法對阻尼材料樣件加載周期變化的力載荷，將位移響應(yīng)和力進行處理得到材料在特定受力模式下的儲能模量和損耗因子，但要進一步推導(dǎo)黏彈性材料的特性總曲線，過程復(fù)雜繁瑣。懸臂梁法通過測試帶阻尼材料的復(fù)合樣條和不帶阻尼材料的基體樣條的頻率響應(yīng)曲線，識別出各階共振頻率和復(fù)合損耗因子，再通過公式推導(dǎo)出阻尼材料復(fù)模量和損耗因子，誤差較大且?guī)缀鯚o法得到連續(xù)的黏彈性材料的特性總曲線。基于以上，學(xué)者開始嘗試倒推法來識別阻尼材料的參數(shù)。Ren等［8］基于自由梁的振動頻率響應(yīng)，使用倒推法來識別黏彈性阻尼材料的特性總曲線，該方法在材料級別效果較好，但并未在大尺度構(gòu)件和仿真中進行驗證；Sun等［9］基于帶阻尼板件結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)，使用倒推法識別了阻尼材料在單一溫度下的材料頻變參數(shù)，但并未得到材料的特性總曲線，即無法得到不同溫度下的材料參數(shù)。

為研究帶阻尼薄板件在大跨度溫度范圍內(nèi)的模態(tài)特性，基于激光多普勒測振原理，在環(huán)境箱中使用非接觸方法測試各個溫度下帶阻尼板件的振動響應(yīng)，分析帶阻尼薄板件在極端高、低溫下的模態(tài)特性以及隨溫度的變化規(guī)律。嘗試基于優(yōu)化算法倒推識別黏彈性阻尼材料的特性總曲線，再從特性總曲線中提取不同溫度下的隨頻率變化的頻變參數(shù)，用于有限元仿真的輸入?yún)?shù)。

1 帶阻尼薄板件在高低溫下模態(tài)特性實驗

1.1 高低溫下模態(tài)實驗技術(shù)

帶阻尼薄板件的模態(tài)測試分析需要測試板件上諸多離散點的傳遞函數(shù)，常用方法有加速度傳感器配合移動力錘的方法，也有加速度傳感器配合激振器的方法。測試件需要放置于溫度箱內(nèi)，移動力錘法操作困難且逐個敲擊測點工作量巨大。激振器法需要大量加速度傳感器，帶來的附加質(zhì)量會嚴重影響測試精度。

將激振器和測試樣件置于環(huán)境箱內(nèi)，使用基于激光多普勒原理的振動測試技術(shù)，以消除加速度傳感器附加質(zhì)量帶來的負面影響；同時，環(huán)境箱門用透明亞克力板進行封蓋，使測試激光可透過透明亞克力板，逐點掃描測試樣件上的測點，以滿足測試板件在不同溫度下各測點的振動響應(yīng)信號的采集。將激光測振采集的各點傳遞函數(shù)用于模態(tài)參數(shù)識別，從而得到系統(tǒng)的模態(tài)頻率、模態(tài)阻尼比和模態(tài)振型等參數(shù)。

激光多普勒測振原理是通過測量從振動物體表面反射回來的激光，通過信號處理解調(diào)出多普勒頻移fd，從而得到物體振動速率v，進而獲得物體的振動特性。其關(guān)系式為

式中：λ為激光波長；θ為激光傳播方向和振動物體運動方向的夾角。

1.2 高低溫下的模態(tài)實驗過程

測試樣件為帶有阻尼材料的薄板件，基底板為平直鋼板，尺寸500mm×500mm，厚度1.5mm；阻尼材料為高鐵車廂內(nèi)壁使用的水性阻尼漿，單側(cè)涂覆，充分固化后阻尼材料平均厚度3mm。測試板件固定在剛性支座上，連同整個支座置于溫度箱中，溫度箱正面用透明亞克力板件密封。測試過程中，鋼板面朝外，垂直面對激光測試儀。溫度箱和激光測振儀的配置如圖1所示。

圖1 溫度箱與激光測振儀Fig.1 Environment chamber and laser vibration meter

帶阻尼薄板件的約束狀態(tài)為對邊固支、對邊自由。激振器自由懸掛于剛性支座，一同放置在環(huán)境箱內(nèi)。力傳感器（圖2）粘接到薄板阻尼側(cè)，通過激振桿連接至激振器。力信號作為測試傳遞函數(shù)的參考量引出到數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中。

圖2 傳感器和激振器布置Fig.2 Arrangement of transducer and exciter

測試溫度為-25℃、-10℃、5℃、20℃、35℃、50℃，將環(huán)境箱溫度調(diào)整至各測試溫度點，并且保持30min以上再開始測試，以保證板件阻尼材料內(nèi)部達到設(shè)定的溫度。在每個溫度下，通過激光測振儀透過透明亞克力板掃描板件上49 個測點（見圖1），經(jīng)FFT 分析得到49 組速率和激振力之間的傳遞函數(shù)用于后續(xù)的模態(tài)參數(shù)識別。

經(jīng)過預(yù)測試，不帶阻尼材料的薄板樣件的模態(tài)參數(shù)和有限元仿真一致性較好，因此，認為實驗設(shè)置是合理的。帶阻尼材料的薄板樣件在室溫環(huán)境下前10 階的模態(tài)頻率都在300Hz 以下，為確保識別各個溫度下的模態(tài)參數(shù)，并留有一定的余量，頻率上限定為1 000Hz。

1.3 模態(tài)實驗結(jié)果分析

將激光掃描得到的各個溫度下的49 組傳遞函數(shù)導(dǎo)入Pulse Reflex core軟件進行模態(tài)參數(shù)識別，使用有理分式多項式方法（rational partial polynomial）進行總體擬合［10-11］，提取各個溫度下前幾階清晰的模態(tài)振型和對應(yīng)的模態(tài)參數(shù)。表1 和表2 列出了帶阻尼薄板件在各個溫度下的前6階識別出的模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼比。

表1 各溫度下的模態(tài)頻率Tab.1 Modal frequency at different temperatures單位：Hz

表2 各溫度下的模態(tài)阻尼Tab.2 Modal damping at different temperatures

在不同溫度下帶阻尼薄板件前幾階振型基本一致，如圖3列出了50℃時的前6階振型。

圖3 前6階模態(tài)振型Fig.3 Vibration modes of first 6 orders

溫度對模態(tài)頻率影響很大，圖4 顯示為各溫度下前4 階振型的模態(tài)頻率隨溫度的變化規(guī)律，溫度會顯著改變帶阻尼薄板件的模態(tài)頻率，且模態(tài)頻率與溫度呈負相關(guān)。

圖4 各溫度下的模態(tài)頻率Fig.4 Modal frequency at different temperatures

根據(jù)表2 數(shù)據(jù)，在同一溫度下帶阻尼薄板件的各階模態(tài)阻尼比基本保持一致。將各個溫度下的前幾階模態(tài)阻尼比取算術(shù)平均值，得到各溫度下的平均模態(tài)阻尼比，如圖5 所示。平均模態(tài)阻尼比在20℃時最高，其余溫度均呈下降趨勢，尤其在-25℃低溫時下降尤為顯著。

圖5 各溫度下的平均模態(tài)阻尼比Fig.5 Averaged modal damping ratio at different temperatures

2 阻尼材料參數(shù)識別

2.1 黏彈材料定常參數(shù)識別

2.1.1 復(fù)合損耗因子識別

為識別黏彈性阻尼材料在不同溫度下的材料損耗因子和模量，首先識別復(fù)合樣條的復(fù)合損耗因子［7］。圖6所示是環(huán)境箱內(nèi)的測試裝置和樣件，懸臂梁測試樣件自由長度215mm，寬度10mm，基底梁厚度1mm，阻尼材料厚度3mm。激勵位置位于懸臂梁末端，響應(yīng)位置距固定端64mm，激勵和響應(yīng)信號經(jīng)采集和處理，可得到振動頻率響應(yīng)曲線，頻率上限800Hz。測試溫度包括-25℃以及從-20℃到50℃每間隔10℃一個溫度點。典型的頻率響應(yīng)曲線包含若干個清晰的共振峰，如圖7 中列出的-10℃、20℃和50℃的頻率響應(yīng)曲線。通過第2 階和第3 階共振峰的半功率帶寬，可識別出對應(yīng)的頻率和復(fù)合損耗因子，如表3所示。

表3 各溫度下的損耗因子Tab.3 Loss factor at different temperatures

圖6 復(fù)合損耗因子測試裝置Fig.6 Test configuration for composite loss factor

圖7 頻率響應(yīng)曲線Fig.7 Frequency response

2.1.2 黏彈材料定常參數(shù)

通過式（2）和式（3）［7］可推導(dǎo)阻尼材料的模量E1和損耗因子η1。

式中：ηc為復(fù)合樣條的復(fù)合損耗因子；M為阻尼材料與基底梁材料的模量比；T為阻尼材料與基底梁的厚度比。

根據(jù)每一個溫度下頻率和復(fù)合損耗因子可得到對應(yīng)的材料模量和材料損耗因子，數(shù)據(jù)如表3所示。每一個溫度下，均有一組材料模量和材料損耗因子的不隨頻率變化的單值參數(shù)，可用于后續(xù)的仿真參數(shù)輸入。

2.2 黏彈材料不同溫度下頻變參數(shù)識別

2.2.1 參數(shù)識別過程

為識別不同溫度下阻尼材料隨頻率變化的模量和損耗因子參數(shù)，首先用包含待定參數(shù)的黏彈性材料分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型結(jié)合溫頻轉(zhuǎn)換系數(shù)方程，推導(dǎo)不同溫度下帶頻率特性的材料參數(shù)。將材料參數(shù)代入懸臂梁復(fù)彎曲剛度表達式，結(jié)合懸臂梁強迫振動理論模型，預(yù)測不同溫度下的懸臂梁的振動頻率響應(yīng)。將預(yù)測的頻率響應(yīng)和測試的頻率響應(yīng)構(gòu)建目標函數(shù)，用Pattern Search（模式搜索）的方法尋找目標函數(shù)的最小值，即可找到阻尼材料分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型和溫頻轉(zhuǎn)換方程的參數(shù)，使得預(yù)測理論值曲線和實測曲線無限接近，這組參數(shù)就是識別出的黏彈性材料的特性參數(shù)。識別流程圖如圖8所示。

圖8 參數(shù)識別過程Fig.8 Flowchart of identification

2.2.2 黏彈性材料的分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型

黏彈性材料的參數(shù)模型即描述材料動力學(xué)性能參數(shù)的一組模型公式，以復(fù)模量G*表示，如式（4）：

式中：G'為儲能模量；G″為損耗模量；η為損耗因子。

考慮復(fù)模量G*和頻率f以及溫度T的相關(guān)性，用式（5）所示的4參數(shù)分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型［12-13］來描述阻尼材料的特性。

式中：G0為準靜態(tài)彈性模量；d=G∞G0，其中G∞為動模量的最大值；1τ為損耗模量最大值的頻率；β為指數(shù)；α(T)為溫頻轉(zhuǎn)換系數(shù)。

2.2.3 溫頻轉(zhuǎn)換系數(shù)

根據(jù)溫頻率等效原理，低溫對材料性能的影響與高頻的影響等效，高溫對材料性能的影響與低頻的影響等效，其表達式如式（6）：

經(jīng)典的溫頻轉(zhuǎn)換公式［12］如式（7），也稱WLF方程。

式中：B、C為待定系數(shù)；T0為待定參考溫度。因此，利用溫頻等效原理，如要得到阻尼材料在溫度T時的頻變參數(shù)，只需將α(T)代入分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型即可。

2.2.4 懸臂梁復(fù)彎曲剛度

基于文獻［14］所述復(fù)剛度法推導(dǎo)得到帶有自由阻尼的懸臂梁復(fù)彎曲剛度B'，如式（8）所示：

式中：B1為基底梁彎曲剛度；e為阻尼材料與基底梁材料的模量比，e=E2E1；h為阻尼材料與基底梁的厚度比，h=H2H1。將式（5）的阻尼材料在溫度T時的復(fù)模量代入式（8），可得到懸臂梁隨頻率變化的復(fù)彎曲剛度B'。

2.2.5 懸臂梁動力學(xué)模型梁彎曲振動運動方程如式（9）：

式中：y=y（x，t）為梁在位置x和時間t的位移；ρ為線密度；B'為梁的復(fù)彎曲剛度。應(yīng)用懸臂梁一端固支一端自由的邊界條件，得到懸臂梁的彎曲振動的特征方程如式（10）：

式中：γi=-(sinhλil-sinλil)/(coshλil+cosλil)。

根據(jù)圖9 所示懸臂梁強迫振動示意圖，寫出任意點激勵任意點響應(yīng)的運動方程為

圖9 自由阻尼懸臂梁示意Fig.9 Schematics of cantilever beam with free damping

模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度容易求得。物理坐標中的激勵位于距離懸臂梁固定端lex距離處，并設(shè)為P0sinθt，因此可得模態(tài)坐標下的載荷為

物理坐標下的響應(yīng)是各階模態(tài)振型的疊加，將響應(yīng)點位置lre代入，得到物理坐標下的頻率響應(yīng)函數(shù)為

根據(jù)測試配置，懸臂梁的總長度、激勵位置和響應(yīng)點位置均在模型中體現(xiàn)。各個溫度下黏彈性阻尼材料的頻變特性也由分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型和WLF 方程得到，已包括在模型之中。因此，此頻率響應(yīng)函數(shù)中就包括4 個分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型的變量和3 個WLF 方程的變量。

2.2.6 目標函數(shù)

為了使包含有未知量的預(yù)測頻率響應(yīng)曲線與實測曲線逼近，使用全局幅值準則［15］，其表達式為

式中：Hx(Tj，fi)和HA(Tj，fi)分別為不同溫度下測試和預(yù)測得到的頻率響應(yīng)復(fù)數(shù)值，Hx*和為HA*為復(fù)數(shù)值的共軛。顯然，這個幅值準則同時考慮了頻率響應(yīng)的實部和虛部。因此，構(gòu)建的目標函數(shù)為

擬合問題就變成尋找目標函數(shù)J(Tj，fi)最小值問題。使用Matlab 軟件中的Pattern Search 全局優(yōu)化工具，搜索分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型和WLF 方程的7 個變量，使目標函數(shù)最小。

2.2.7 黏彈性阻尼材料的特性總曲線

選用了-20℃到50℃的8 個溫度下測試所得的頻率響應(yīng)曲線，以及根據(jù)待定參數(shù)建立的8 組對應(yīng)溫度下的頻響預(yù)測曲線，構(gòu)建用于擬合的目標函數(shù)，并進行優(yōu)化擬合。表4給出了優(yōu)化過程的初始值和約束條件。

表4 優(yōu)化參數(shù)和優(yōu)化結(jié)果Tab.4 Parameters for optimization and results

將表4中的優(yōu)化結(jié)果代入阻尼材料分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型和WLF方程，即可得到黏彈性材料模型如式（20）和式（21）所示表達式，變量為溫度T和頻率f。

式中：α(T)f為折算頻率；G*(f)為材料復(fù)模量。

以折算頻率α(T)f作為橫軸，以材料模量和損耗因子為縱軸，得到黏彈性材料的特性總曲線，如圖10 所示。儲能模量隨折算頻率提高而提高，損耗模量和損耗因子存在明顯的峰值，在峰值兩邊會有明顯的下降。溫頻轉(zhuǎn)換系數(shù)如圖11所示。

圖10 黏彈性材料特性總曲線Fig.10 Nomogram of visco-elastic material

圖11 溫頻轉(zhuǎn)換系數(shù)Fig.11 Frequency-temperature shift factor

2.2.8 黏彈性阻尼材料的頻變參數(shù)

將任意溫度T代入WLF 方程得到溫頻轉(zhuǎn)換系數(shù)α(T)，將其代入阻尼材料分數(shù)導(dǎo)數(shù)模型，即可得到對應(yīng)溫度下自變量為f的材料復(fù)模量，根據(jù)式（4）材料損耗因子亦可得。圖12給出了-25℃、-10℃、20℃和50℃溫度下阻尼材料儲能模量和損耗因子的頻變特性曲線。

材料儲能模量在1 000Hz范圍內(nèi)變化相對平緩，總體趨勢是頻率增加、儲能模量提高。損耗因子顯示出更顯著的頻變特征，20℃時損耗因子中間高兩頭低，-25℃和-10℃時是由高到低的趨勢，50℃時是由低到高的趨勢。因此，在研究帶阻尼薄板件振動響應(yīng)時，需要充分考慮阻尼材料損耗因子的頻變特性。

3 帶阻尼板件高低溫下振動響應(yīng)仿真分析

3.1 有限元分析中阻尼材料參數(shù)設(shè)置

3.1.1 阻尼材料單值參數(shù)的設(shè)置有限元分析中的頻率響應(yīng)分析模型可表述為

式中：M為質(zhì)量矩陣；B為黏性阻尼矩陣；K為剛度矩陣；x(ω)為位移響應(yīng)；F(ω)為載荷。黏彈性阻尼材料單值參數(shù)包含在復(fù)剛度矩陣K內(nèi)，表達式

式中：g為總體結(jié)構(gòu)損耗因子；K0為總體剛度矩陣；gE為黏彈性材料的損耗因子；KE為黏彈性材料的剛度矩陣。

3.1.2 阻尼材料頻變參數(shù)的設(shè)置

阻尼材料頻變的儲能模量G'(f)和損耗模量G''(f)需要根據(jù)式（24）和式（25）分別轉(zhuǎn)成頻變的數(shù)據(jù)卡TR(f)和TI(f)，并寫入到TABLED1 數(shù)據(jù)卡中，最終通過SDAMP控制卡調(diào)取使用。

式中：gREF為參考損耗因子；GREF為參考模量；G'(f)為材料頻變儲能模量；G″(f)為材料頻變損耗模量。因此，黏彈性材料的頻變參數(shù)包含在式（26）所描述的剛度矩陣內(nèi)。

式中：KV為黏彈性材料的剛度矩陣。

3.2 頻率響應(yīng)的有限元驗證

使用oSH 模型［16］（偏置殼單元加六面體單元方法）建立帶阻尼薄板件的有限元模型，可達到較高的有限元建模和仿真精度。具體地，薄板用四邊形殼單元，厚度1.5mm，使用鋼材典型材料參數(shù)，如表5所示。阻尼材料使用六面體單元，與薄鋼板殼單元在交界面處共節(jié)點。薄板殼單元偏置0.5倍的鋼板厚度。建立的有限元模型如圖13所示，約束條件與1.2節(jié)中所述實驗一致，即對邊自由、對邊固支；激振點和49個響應(yīng)點也與實驗一致。

根據(jù)3.1.1 所述的方法和表3 中對應(yīng)溫度下的阻尼材料模量和損耗因子，在模型中設(shè)置阻尼材料的單值參數(shù)。根據(jù)3.1.2 所述的方法，將圖13 所示的不同溫度下的頻變模量和損耗因子轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的TR(f)和TI(f)，在模型中設(shè)置阻尼材料的頻變參數(shù)。使用直接頻率響應(yīng)法分析帶阻尼薄板件的振動響應(yīng)，分析頻率上限為1 000Hz，頻率間隔1Hz。在模態(tài)實驗己有的溫度點中，選擇-25℃、-10℃、20℃和50℃這幾個典型且溫度跨度較大的溫度點，使用其對應(yīng)溫度下的單值和頻變參數(shù)進行仿真驗證。

3.3 分析結(jié)果

圖14 所示為-25℃、-10℃、20℃和50℃下激振點和響應(yīng)點之間頻率響應(yīng)曲線，包括測試結(jié)果、單值參數(shù)和頻變參數(shù)仿真所得的結(jié)果。2 種參數(shù)得到的仿真曲線與測試曲線都有較好的一致性，相比之下，頻變參數(shù)得到的前幾階頻率和幅值更接近測試值。

圖14 頻率響應(yīng)曲線Fig.14 Frequency response

將圖14所示頻率響應(yīng)曲線的前2階峰值的頻率和幅值取出，進行誤差分析，如表6所示。單值參數(shù)和頻變參數(shù)仿真得到的1階峰的頻率值最大誤差分別為3.0Hz和3.0Hz，2階峰值的頻率值最大誤差分別為17.8Hz 和7.9Hz；單值參數(shù)和頻變參數(shù)仿真得到的1階幅值最大誤差分別為11.9dB和5.3dB，2階幅值最大誤差分別為-20.9dB和2.8dB。使用頻變參數(shù)進行仿真得到前2階的峰值頻率和幅值均比單值參數(shù)誤差更小，更接近測試結(jié)果。因此，本文基于優(yōu)化算法的倒推法識別得到的頻變參數(shù)，由于考慮了參數(shù)隨頻率的變化，可以更準確地用于帶阻尼薄板件的振動響應(yīng)仿真分析。

表6 仿真結(jié)果的誤差分析Tab.6 Error analysis of simulation results

4 結(jié)語

對帶阻尼薄板構(gòu)件在大跨度的溫度范圍內(nèi)進行了模態(tài)參數(shù)識別，分析結(jié)果表明溫度對帶阻尼薄板件的模態(tài)特性會有顯著的影響。溫度與模態(tài)頻率呈負相關(guān)，在極端高、低溫下，模態(tài)阻尼比會有極大的衰減。

提出了基于優(yōu)化算法倒推識別黏彈性阻尼材料的特性總曲線，再從特性總曲線中提取不同溫度下的隨頻率變化的材料模量和損耗因子。材料的模量隨頻率的提高而提高，材料損耗因子在不同溫度下都呈現(xiàn)明顯的頻變特性，且趨勢各不相同。

將頻變參數(shù)用于有限元仿真，分析結(jié)果顯示，頻變參數(shù)能更準確地預(yù)測帶阻尼薄板件的振動響應(yīng)，其頻率響應(yīng)曲線前2階的頻率和幅值的精度比單值參數(shù)更高。

作者貢獻聲明：

馮 青：提出研究內(nèi)容和研究方法，實施試驗和仿真，起草與修訂論文。

葛劍敏：確認研究內(nèi)容和研究方法，指導(dǎo)試驗方案，修訂論文。

林國斌：指導(dǎo)試驗方案，參與修訂論文。

丁叁叁：確認研究內(nèi)容和研究方法，參與修訂論文。

朱雷威：參與試驗和仿真，協(xié)助分析數(shù)據(jù)。