陳天炎，韓澤明

（1.福建船政交通職業(yè)學(xué)院 軌道交通學(xué)院，福建 福州 350007；2.福建理工大學(xué) 交通工程學(xué)院，福建 福州 350108）

定位精度是影響工業(yè)機(jī)器人性能的重要因素，人們需要經(jīng)常對(duì)工業(yè)機(jī)器人進(jìn)行標(biāo)定，以提高機(jī)器人的定位精度來(lái)滿足工業(yè)生產(chǎn)上的需要.但是由于機(jī)器人零部件的加工制造誤差、裝配誤差、關(guān)節(jié)磨損和傳動(dòng)誤差等的影響，機(jī)器人的絕對(duì)定位精度較低，限制了機(jī)器人在高精度領(lǐng)域的應(yīng)用幅度與深度.因此，對(duì)工業(yè)機(jī)器人的絕對(duì)定位精度做進(jìn)一步的研究，具有極為關(guān)鍵的現(xiàn)實(shí)價(jià)值與意義.

機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中工具中心點(diǎn)（TCP）的位置和姿態(tài)是通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型嚴(yán)密計(jì)算得到的，運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中含有機(jī)器人所有連桿結(jié)構(gòu)尺寸和關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)參數(shù)，這些參數(shù)的計(jì)算取值與機(jī)器人實(shí)際參數(shù)值之間存在誤差，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果與實(shí)際位姿二者之間存在一定的誤差.現(xiàn)階段在實(shí)踐層面上有如下兩種方法用于實(shí)現(xiàn)對(duì)末端絕對(duì)定位精度的提升.1）借助高精度加工設(shè)備，并加強(qiáng)與先進(jìn)裝配的配合，據(jù)此規(guī)避與降低機(jī)器人出廠時(shí)的內(nèi)部誤差；2）應(yīng)用更優(yōu)量的測(cè)量工具和方法，對(duì)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)、分析與校正，此種方法為機(jī)器人標(biāo)定方法[1].從成本出發(fā)，第二種方法實(shí)現(xiàn)與普及的成本更為低廉；實(shí)際效果上，機(jī)器人標(biāo)定方法可以更好地補(bǔ)償與補(bǔ)救由于機(jī)器人的磨損或者結(jié)構(gòu)變形等情況引致的精度降低情況[2].綜合來(lái)看，現(xiàn)階段應(yīng)用機(jī)器人標(biāo)定方法具有更強(qiáng)的可行性，也是現(xiàn)階段學(xué)術(shù)界的主要研究?jī)?nèi)容與方向[3-4].

Judd 等[5]在對(duì)機(jī)器人標(biāo)定方法的研究中發(fā)現(xiàn)，絕對(duì)定位誤差的主要原因在于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型在參數(shù)上出現(xiàn)了誤差傳導(dǎo).因此，現(xiàn)階段有關(guān)于機(jī)器人標(biāo)定技術(shù)的研究重點(diǎn)在于辨識(shí)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的誤差[6-7].需要指出的是，當(dāng)前關(guān)于運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差造成機(jī)器人絕對(duì)定位精度降低的研究中，通常是假定機(jī)器人基坐標(biāo)系和法蘭坐標(biāo)系是已知或者是可以直接測(cè)量的.實(shí)踐中絕大部分的機(jī)器人法蘭坐標(biāo)系和機(jī)器人基坐標(biāo)系是“隱藏”的，無(wú)法直接測(cè)量得到，需要通過(guò)特殊的測(cè)量和計(jì)算方法才能獲得[8].文獻(xiàn)[9]使用FARO ARM 測(cè)量臂對(duì)機(jī)器人進(jìn)行標(biāo)定，使用四元素法獲取機(jī)器人基坐標(biāo)系.文獻(xiàn)[10]用激光跟蹤儀對(duì)機(jī)器人進(jìn)行標(biāo)定，針對(duì)IRB2400機(jī)器人特定的結(jié)構(gòu)，控制軸1和軸2旋轉(zhuǎn)，以及測(cè)量底座平面來(lái)確定機(jī)器人基坐標(biāo)系，使用激光跟蹤儀配套軟件實(shí)現(xiàn)坐標(biāo)變換.在現(xiàn)有機(jī)器人標(biāo)定測(cè)量過(guò)程中，基本都忽略測(cè)量得到的機(jī)器人基坐標(biāo)系和法蘭坐標(biāo)系的位姿誤差，而這也是機(jī)器人位姿誤差模型的重要組成部分，應(yīng)當(dāng)在機(jī)器人標(biāo)定過(guò)程中給予一并考慮.

機(jī)器人位置誤差模型或位姿誤差模型均可實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人的標(biāo)定.由于大部分測(cè)量設(shè)備都能實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)器人末端位置的測(cè)量，相對(duì)而言位置誤差模型適用的測(cè)量設(shè)備更加廣泛（如三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)、6或7軸測(cè)量臂、激光跟蹤儀（配靶球即可）），更具備通用性.為提升機(jī)器人的絕對(duì)定位精度，針對(duì)如下兩種誤差：1）機(jī)器人隱藏的法蘭坐標(biāo)系和機(jī)器人基坐標(biāo)系的測(cè)量誤差；2）機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型參數(shù)誤差.將這兩種誤差予以統(tǒng)一，將其確定為絕對(duì)定位誤差來(lái)源，并且基于此進(jìn)行建模，提出一種相對(duì)通用的測(cè)量方法，給出參數(shù)誤差辨識(shí)與補(bǔ)償算法.

1 機(jī)器人標(biāo)定建模

1.1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

Denavit等[11]于1955年推出的一種具有較好通用性與普適性的4參數(shù)DH模型，是目前使用最廣的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型.在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)，存在于軸關(guān)節(jié)之上的某種微小偏差極有可能在DH模型之上反映為一種數(shù)值畸變，這也可以理解為參數(shù)數(shù)值不連續(xù).針對(duì)這一問(wèn)題，Hayati[12]提出了修正后的MDH模型，通過(guò)在y軸上增添了一項(xiàng)旋轉(zhuǎn)參數(shù)改善模型表現(xiàn)，使得原有的4參數(shù)模型，變?yōu)?參數(shù)模型.即

式（1）中：θi、di、ai、αi分別表示連桿i的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角、關(guān)節(jié)偏置、連桿長(zhǎng)度、連桿扭角.關(guān)節(jié)βi僅存在相鄰軸平行的情況下，其他的情況直接將βi=0帶入式(1).

根據(jù)式(1)可以得到一般N自由度機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型.即

機(jī)器人標(biāo)定一般要借助各種有效的測(cè)量手段與方式，盡可能地獲取在其基坐標(biāo)系下的機(jī)器人末端的位姿誤差.實(shí)際機(jī)器人末端法蘭坐標(biāo)系和基坐標(biāo)系是隱藏的，需要構(gòu)建與測(cè)量結(jié)果直接相關(guān)的測(cè)量坐標(biāo)系.因此，將測(cè)量?jī)x的實(shí)際測(cè)量位置定義為檢測(cè)中心點(diǎn)（DCP），并且將DCP 確定為構(gòu)建坐標(biāo)的原點(diǎn)，據(jù)此來(lái)構(gòu)建研究所需要的測(cè)量坐標(biāo)系.因此在對(duì)機(jī)器人末端位姿進(jìn)行測(cè)量時(shí)，需要得到機(jī)器人DCP 坐標(biāo)系相對(duì)于法蘭坐標(biāo)系出現(xiàn)的位置變換情況、機(jī)器人基坐標(biāo)系相對(duì)于測(cè)量?jī)x坐標(biāo)系出現(xiàn)的位置變換，從而得到DCP 坐標(biāo)系在測(cè)量?jī)x坐標(biāo)系下的位姿模型，如圖1 所示.標(biāo)定的首要步驟就在于構(gòu)建DCP 坐標(biāo)系的位置模型.

圖1 DCP坐標(biāo)系位置模型

1.2 機(jī)器人法蘭坐標(biāo)系標(biāo)定模型

構(gòu)建模型的關(guān)鍵在于基于測(cè)量辨識(shí)與獲得機(jī)器人末端的實(shí)際位姿誤差，但機(jī)器人末端法蘭坐標(biāo)系一般情況下是“隱藏”的，無(wú)法直接通過(guò)測(cè)量設(shè)備測(cè)量得到.使用測(cè)量設(shè)備實(shí)際測(cè)量的位置相對(duì)于法蘭坐標(biāo)系存在一定偏移量（如圖2所示）.

圖2 實(shí)際測(cè)量點(diǎn)與法蘭坐標(biāo)系

式中：D表示DCP;L表示測(cè)量?jī)x器實(shí)測(cè)點(diǎn)DCP.

假設(shè)機(jī)器人在某個(gè)狀態(tài)下法蘭坐標(biāo)系位置為O，控制機(jī)器人末端位置不變，只改變姿態(tài)，通過(guò)對(duì)多個(gè)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，即可以借助于對(duì)球心的擬合，據(jù)此可以獲取O點(diǎn)位置坐標(biāo).從理論層面分析，擬合空間之中的4 個(gè)非共面點(diǎn)，就可以獲取球心坐標(biāo).因此，首先假設(shè)球心坐標(biāo)為(a,b,c)，半徑為R，并且將這4 個(gè)測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)定為(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)(x3,y3,z3)(x4,y4,z4).據(jù)此得到方程組為

通過(guò)求解式(4)得到法蘭坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置，后續(xù)需要進(jìn)一步導(dǎo)出法蘭坐標(biāo)系姿態(tài).若可以確保機(jī)器人控制器在TCP 坐標(biāo)系下，其運(yùn)動(dòng)方向是沿著確定的法蘭坐標(biāo)系的x，y，z三軸.那么就可以在控制器每一次的運(yùn)動(dòng)進(jìn)程之中，提取出2 個(gè)以上的點(diǎn)，由此來(lái)表述并確定其坐標(biāo)軸方向，然后獲取法蘭坐標(biāo)系的x，y，z軸在測(cè)量?jī)x坐標(biāo)系下的矢量n,o,a，并且最終得到位姿矩陣，即

據(jù)此可以計(jì)算得到由機(jī)器人末端法蘭坐標(biāo)系到設(shè)定的DCP點(diǎn)之間的位姿變換，即

1.3 機(jī)器人基坐標(biāo)系標(biāo)定模型

從實(shí)踐層面分析，在實(shí)際測(cè)量機(jī)器人末端位姿的過(guò)程中，所獲取到的數(shù)據(jù)是較之于測(cè)量?jī)x器自身所處的坐標(biāo)系來(lái)進(jìn)行討論的.因此，為確保所獲取到的實(shí)際位姿與名義位姿具有可比性，需要將二者統(tǒng)一至同一個(gè)坐標(biāo)系之中.

具體來(lái)看，可以將機(jī)器人末端法蘭坐標(biāo)系名義位置和姿態(tài)用PN和RN來(lái)呈現(xiàn)，測(cè)量?jī)x測(cè)量得到的某點(diǎn)的實(shí)際位姿用PC來(lái)表示.并且將前提條件設(shè)定為不考慮DCP坐標(biāo)系姿態(tài)，基于此，可以基于空間幾何變換，得到下述的變換關(guān)系

式中：T、R分別表示測(cè)量?jī)x坐標(biāo)系到機(jī)器人基坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)變換和平移變換；E表示3×3的單位矩陣；PL為法蘭坐標(biāo)系到DCP點(diǎn)的位置變換，上標(biāo)N為“Nominal”縮寫，表示名義值（下同）.

式(9)中，共計(jì)有12個(gè)未知數(shù)，因此，需要獲取到最少4個(gè)點(diǎn)的位置.實(shí)際上，為了減少誤差所使用的位置數(shù)遠(yuǎn)多于4組，這就使得式(9)成為了超定方程組.令

則超定方程組用矩陣可表示為

式中：A為TNL元素組成的系數(shù)矩陣；B為測(cè)量值PC組成的矩陣.

應(yīng)用最小二乘法來(lái)對(duì)式(11)進(jìn)行求解，得

據(jù)此可以得到測(cè)量?jī)x坐標(biāo)系與機(jī)器人基坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系X.這樣可以將測(cè)量到的末端位姿和控制器中顯示的末端位姿予以統(tǒng)一.

2 DCP位置誤差模型

在計(jì)算機(jī)器人基坐標(biāo)系時(shí)使用的機(jī)器人末端位置是直接從示教器中讀取的，這與機(jī)器人實(shí)際位置存在偏差，因此計(jì)算所得的機(jī)器人基坐標(biāo)系相對(duì)于測(cè)量?jī)x坐標(biāo)系的位置也存在偏差.同樣，在測(cè)量和計(jì)算DCP 位置時(shí)，由于測(cè)量擾動(dòng)的影響，計(jì)算得到的DCP 位置也存在一定的誤差.將通過(guò)模型計(jì)算得到的DCP 位置和機(jī)器人基坐標(biāo)系位置分別定義為名義DCP 和名義基坐標(biāo)系，如圖3 所示.DCP的名義位置與實(shí)際位置產(chǎn)生一定誤差的影響要素主要有運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差、基坐標(biāo)系位置誤差，以及DCP坐標(biāo)系位置誤差.

2.1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差

實(shí)踐中，由于機(jī)器人的磨損變形是絕對(duì)存在的，因此各連桿參數(shù)始終存在誤差，使得運(yùn)動(dòng)學(xué)模型參數(shù)在名義值和實(shí)際值上也將出現(xiàn)偏差.整體來(lái)說(shuō)，影響到機(jī)器人末端位姿的參數(shù)誤差主要有

其中：Δβi僅在相鄰軸呈現(xiàn)平行狀態(tài).如若不然，則確定Δβi=0.

此外，可以將機(jī)器人基坐標(biāo)系到末端法蘭坐標(biāo)系之間的實(shí)際變換關(guān)系表述如下

式中：R表示Rot，旋轉(zhuǎn)變換；T表示Trans，平移變換.

2.2 機(jī)器人基坐標(biāo)系參數(shù)誤差

機(jī)器人基坐標(biāo)系誤差可以基于式(13)計(jì)算得到的名義位姿矩陣呈現(xiàn)，即

式(14)中用來(lái)呈現(xiàn)姿態(tài)與位置的參數(shù)共計(jì)有12個(gè)，為了降低需要辨識(shí)與測(cè)量的參數(shù)數(shù)量，將其改寫為一個(gè)平移變換和三個(gè)旋轉(zhuǎn)變換組合成的一個(gè)6參數(shù)模型，即

機(jī)器人基坐標(biāo)系的參數(shù)誤差就可以表述為[Δxc,Δyc,Δzc,Δθxc,Δθyc,Δθzc].

式中：上標(biāo)R為“Real”縮寫，表示實(shí)際值.

2.3 DCP坐標(biāo)系參數(shù)誤差

假定機(jī)器人DCP坐標(biāo)系相對(duì)于機(jī)器人末端法蘭坐標(biāo)系的位姿變換矩陣為，并參考前文中機(jī)器人基坐標(biāo)系誤差的推導(dǎo)方法，可以獲取到機(jī)器人末端法蘭坐標(biāo)系跟DCP 實(shí)際坐標(biāo)系二者之間的變換模型，即

并且在確定了3個(gè)位姿模型的基礎(chǔ)之上，將其進(jìn)一步整合，可以構(gòu)建在測(cè)量?jī)x坐標(biāo)系下的DCP實(shí)際位姿模型，將這一變換矩陣表述如下

式中：R表示DCP坐標(biāo)系在測(cè)量?jī)x坐標(biāo)系下呈現(xiàn)的姿態(tài)；P則代表的是DCP坐標(biāo)系在測(cè)量?jī)x坐標(biāo)系下呈現(xiàn)的位置.

DCP的實(shí)際位姿可以表示為

影響DCP位姿精度的參數(shù)誤差為

位置誤差模型相對(duì)而言更具備通用性，因此忽略DCP姿態(tài)誤差，設(shè)參數(shù)誤差集合為Δq，結(jié)合式(19)，DCP的實(shí)際位置模型可以表示為

據(jù)此，可以將DCP位置誤差與模型之中的各參數(shù)誤差之間所具有的數(shù)學(xué)關(guān)系表述為

式(21)中位姿誤差和各參數(shù)誤差呈非線性關(guān)系，直接求解難度較大.從偏微分角度分析，對(duì)于含有n個(gè)參數(shù)誤差的模型，式(21)可以寫成

式(22)可以簡(jiǎn)化為

式中：ε表示DCP位置誤差；Δq表示標(biāo)定模型所有的參數(shù)誤差；M表示誤差系數(shù)矩陣.

3 參數(shù)誤差辨識(shí)及補(bǔ)償

3.1 冗余性參數(shù)分析

文件得到了機(jī)器人DCP 位置誤差模型：ε=MΔq.其中ε可以測(cè)量獲取，而M代表的是誤差系數(shù)矩陣，M是經(jīng)由誤差模型進(jìn)行推導(dǎo)得到，Δq是需要求解的參數(shù)誤差.由此可知，為獲取參數(shù)誤差的解，僅需要將ε代入至DCP 位置誤差模型中，計(jì)算Δq.但是考慮到實(shí)踐中不可避免地存在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)冗余，對(duì)Δq的求解準(zhǔn)確性與精度產(chǎn)生直接影響.因此，設(shè)定代表機(jī)器人連桿坐標(biāo)系{i}到連桿坐標(biāo)系{i+1}的齊次變換，在只考慮位姿變換時(shí)，可以把β≈0直接帶入式(1)，得到

根據(jù)機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng)學(xué)，結(jié)合式(23)可以得到連桿坐標(biāo)系{i}和連桿坐標(biāo)系{i+1}之間的微分變換關(guān)系[14]，即

假設(shè)機(jī)器人的自由度數(shù)為N，將式（26）的兩邊均乘以，確保兩個(gè)坐標(biāo)系之中的微分誤差都可以實(shí)現(xiàn)向機(jī)器人末端的轉(zhuǎn)換.由此可得

由式(27)可知，連桿坐標(biāo)系{i}的微分誤差dzi和δzi對(duì)末端造成的影響可以由連桿坐標(biāo)系{i+1}的微分誤差來(lái)呈現(xiàn).這說(shuō)明連桿坐標(biāo)系{i}與連桿坐標(biāo)系{i+1}各自的微分誤差dzi和δzi具有相關(guān)性，存在冗余性.將測(cè)量?jī)x坐標(biāo)系到機(jī)器人基坐標(biāo)系的變換模型參數(shù)中dz和δz確定為冗余參數(shù).則有

觀察式(28)可知，Gi中變量只有a和α.針對(duì)a和α取不同值，得到表1.

表1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)冗余性辨識(shí)

3.2 參數(shù)辨識(shí)算法

如前文所述，機(jī)器人DCP 的位置及姿態(tài)的微分誤差模型表述為

去掉Δq中的冗余性參數(shù)，可以辨識(shí)參數(shù)的數(shù)目N，由此可以確定，Mp、Mδ均為3×N的系數(shù)矩陣.實(shí)踐中，為了規(guī)避誤差對(duì)求解精度的干擾，需要借助大量的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行擬合.具體來(lái)看，設(shè)定實(shí)踐中共計(jì)測(cè)量得到K組(K>N/3)機(jī)器人位置數(shù)據(jù)，可以獲取到方程組為

式(30)是一個(gè)超定方程組，可以使用最小二乘法求解，由此可得

式中：M+表示系數(shù)矩陣M的廣義逆.

3.3 參數(shù)誤差補(bǔ)償算法

大部分機(jī)器人控制器生產(chǎn)廠家不會(huì)對(duì)修改權(quán)限授權(quán)，僅可以調(diào)整關(guān)節(jié)角度θ.處于不同位姿的機(jī)器人，其運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)d、a、α、β的誤差，各自對(duì)機(jī)器人的位姿誤差具有差異化的影響.因此，使用牛頓迭代法逐步調(diào)整各關(guān)節(jié)的角度θ，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)誤差導(dǎo)致的機(jī)器人末端的位姿偏差的補(bǔ)償.假設(shè)機(jī)器人目標(biāo)位姿為TN，將Δdi,Δai,Δαi,Δβi代入模型求得TR,再將名義位置與實(shí)際位姿的差對(duì)各關(guān)節(jié)角求偏導(dǎo)，可得

由式（32）可求得各關(guān)節(jié)實(shí)際轉(zhuǎn)角，再通過(guò)關(guān)節(jié)實(shí)際轉(zhuǎn)角求得應(yīng)該給定的指令位置，使機(jī)器人達(dá)到實(shí)際位置.

4 結(jié)束語(yǔ)

為促進(jìn)機(jī)器人產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，擴(kuò)大機(jī)器人在高精度領(lǐng)域的應(yīng)用，對(duì)機(jī)器人精度的提升方法進(jìn)行研究.首先從實(shí)際測(cè)量角度出發(fā)，建立DCP 坐標(biāo)系，并給出相對(duì)通用的DCP 坐標(biāo)系和機(jī)器人基坐標(biāo)系的測(cè)量方法，建立完整的誤差模型；然后利用微分運(yùn)動(dòng)學(xué)建立微分誤差模型，得到誤差辨識(shí)方程，并且具體分析誤差模型之中存在的冗余性參數(shù)誤差，明確提出對(duì)冗余性參數(shù)誤差進(jìn)行辨識(shí)的可行方法；最后提出了對(duì)參數(shù)誤差進(jìn)行補(bǔ)償?shù)木唧w方法.研究工作對(duì)機(jī)器人工作精度提升有一定的研究意義.