關(guān)鍵詞：空間引力波探測；有限元；自引力；多項(xiàng)式回歸

中圖分類號(hào)：Ｖ１９ 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ DOI：１０．１２３０５／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１-５０６Ｘ．２０２４．１２．１７

０引言

引力波是愛因斯坦廣義相對論的重要預(yù)測之一，是物質(zhì)和能量劇烈運(yùn)動(dòng)和變化所產(chǎn)生的一種物質(zhì)波［１］。引力波波源豐富，在不同頻段下對應(yīng)于不同的天體物理過程，信號(hào)攜帶大量關(guān)于宇宙和天體物理的重要信息。引力波探測為探索黑洞等天體、研究宇宙起源和演化、探索暗物質(zhì)和暗能量等領(lǐng)域提供了新的方法和手段，在推動(dòng)基礎(chǔ)物理學(xué)、天體物理學(xué)等學(xué)科的發(fā)展方面也具有重要意義［２４］。

２０１５年，美國地面激光干涉引力波天文臺(tái)（ＬａｓｅｒＩｎ-ｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒＧｒａｖｉｔａｔｉｏｎａｌＷａｖｅＯｂｓｅｒｖａｔｏｒｙ，ＬＩＧＯ）首次捕獲到來自雙黑洞合并的引力波信號(hào)ＧＷ１５０９１４［５］，相關(guān)科學(xué)家也因此在２０１７年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。然而，受地表震動(dòng)、干涉儀臂長等因素的影響，地面引力波探測的頻段在１０Ｈｚ以上，難以覆蓋到擁有大量波源信號(hào)的中低頻（０．１ｍＨｚ～１ Ｈｚ）。為克服地面引力波探測的限制，科學(xué)家們提出在太空中進(jìn)行引力波探測，以探測更低頻、更深遠(yuǎn)、更豐富的波源，如超大質(zhì)量黑洞并合、雙致密天體繞轉(zhuǎn)、早期宇宙相變和宇宙弦等［６１０］。目前，在研的空間引力波探測計(jì)劃主要有兩類：第一類是以激光干涉空間天線［１１］（ｌａｓｅｒｉｎｔｅｒｆｅｒｏｍｅｔｅｒｓｐａｃｅａｎｔｅｎｎａ，ＬＩＳＡ）以及“太極計(jì)劃”［１２］為代表的日心軌道探測方案；第二類是以“天琴計(jì)劃”［１３］為代表的地心軌道探測方案。

空間引力波探測的基本原理是利用自由懸浮的檢驗(yàn)質(zhì)量間距作為傳感器，將引力波信號(hào)轉(zhuǎn)換為檢驗(yàn)質(zhì)量皮米級(jí)的間距變化信號(hào)，并通過高精度激光干涉儀讀取該變化［１４］。為了有效檢測引力波信號(hào)，需要測量和抑制檢驗(yàn)質(zhì)量受到除引力波外的其他非保守力所導(dǎo)致的擾動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)引力波探測所需的靈敏度。

ＬＩＳＡ 和“太極計(jì)劃”由３顆日心軌道上的衛(wèi)星構(gòu)成三角形編隊(duì)，編隊(duì)平面與黃道面成６０°夾角，編隊(duì)中心位于地球公轉(zhuǎn)軌道上，超前／落后地球約２０°，臂長分別為２５０×１０^４ ｋｍ和３００×１０^４ｋｍ［１５１６］。“天琴計(jì)劃”則預(yù)計(jì)在約１０×１０^４ ｋｍ高的地心軌道上部署３顆衛(wèi)星，構(gòu)成三角形編隊(duì)，衛(wèi)星軌道平面法向被設(shè)定為指向校準(zhǔn)源ＲＸＪ０８０６．３＋１５２７［１７］。近年來，ＬＩＳＡ技術(shù)驗(yàn)證星-ＬＩＳＡ探路者（ＬＩＳＡ ｐａｔｈｆｉｎｄｅｒ，ＬＰＦ）［１８］取得了超出預(yù)期的試驗(yàn)成果，成功發(fā)射了引力波關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證星“太極一號(hào)”［１９］以及“天琴一號(hào)”試驗(yàn)衛(wèi)星［２０］。

在由劇烈天文事件產(chǎn)生的中低頻引力波傳播到地球時(shí)，其強(qiáng)度已降至極低水平，振幅大約在１０^－２１量級(jí)。同時(shí)，探測器會(huì)引入電、磁、力、熱、光等相關(guān)的各類耦合噪聲［２１２３］，使得實(shí)際引力波信號(hào)的探測變得非常困難。

航天器與檢驗(yàn)質(zhì)量之間的引力即自引力［２４］，和航天器質(zhì)量分布、結(jié)構(gòu)熱形變、在軌質(zhì)量波動(dòng)等因素密切相關(guān)，由自引力效應(yīng)引起的加速度擾動(dòng)是噪聲的一項(xiàng)重要來源［２５］。

針對空間引力波探測中的自引力指標(biāo)要求，已有多種方案被提出，以準(zhǔn)確計(jì)算檢驗(yàn)質(zhì)量受到的自引力。Ｂｒａｎｄｔ等［２６］采用端到端（ｅｎｄｔｏｅｎｄ，Ｅ２Ｅ）建模方法，模擬檢驗(yàn)質(zhì)量周圍的結(jié)構(gòu)質(zhì)量擾動(dòng)，搭建ＬＰＦ 自引力模型，計(jì)算航天器內(nèi)每個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量所受到的自引力擾動(dòng)噪聲。Ｍｅｒｋｏｗｉｔｚ等［２７］針對ＬＩＳＡ 引力波探測計(jì)劃的設(shè)計(jì)要求，提出完整的結(jié)構(gòu)／熱／光／力（ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ，ｔｈｅｒｍａｌ，ｏｐｔｉｃａｌ ａｎｄ ｇｒａｖｉｔａｔｉｏｎａｌ，ＳＴＯＰＧ）分析模型，考慮星上的熱擾動(dòng)、結(jié)構(gòu)變化等因素，對航天器的自引力進(jìn)行分析計(jì)算。Ｓｗａｎｋ［２８］給出均勻密度長方體在一點(diǎn)上的自引力和自引力梯度的解析表達(dá)式，并使用ＬＩＳＡ 檢驗(yàn)質(zhì)量作為測試案例，將解析表達(dá)式的模擬結(jié)果與單點(diǎn)質(zhì)量近似值進(jìn)行比較。林志勇［２９］提出一種基于距離控制網(wǎng)格加密的自引力仿真方法，該方法生成的網(wǎng)格具有“近密遠(yuǎn)疏”的特點(diǎn)，能有效減少檢驗(yàn)質(zhì)量周圍質(zhì)量體的總單元數(shù)量，提升計(jì)算效率，降低計(jì)算量。高志勇等［３０］基于有限元計(jì)算引力參考傳感器中檢驗(yàn)質(zhì)量受到的自引力加速度、角加速度和梯度，并提出一種“類自適應(yīng)”網(wǎng)格劃分方法，有效減少網(wǎng)格數(shù)量，縮短計(jì)算時(shí)間。

目前，國內(nèi)外在計(jì)算自引力時(shí)普遍采用有限元建模分析方法，此方法借由建立有限元模型，劃分網(wǎng)格并進(jìn)行反復(fù)疊加以計(jì)算自引力，精度較高但是計(jì)算量大、耗費(fèi)時(shí)間長，難以滿足系統(tǒng)全鏈路噪聲動(dòng)態(tài)仿真的計(jì)算需求，為此本文開展空間引力波探測器自引力分析與動(dòng)態(tài)模型構(gòu)建方法研究，分析空間引力波探測中自引力的主要影響因素，推導(dǎo)空間內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)對立方體檢驗(yàn)質(zhì)量的引力解析公式，構(gòu)建航天器有限元模型并分析主要因素對自引力的影響，提出一種基于有限元分析和多項(xiàng)式回歸的自引力數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法。

１自引力

自引力是航天器與檢驗(yàn)質(zhì)量之間的引力相互作用，在空間引力波探測中，由自引力效應(yīng)產(chǎn)生的加速度是殘余加速度噪聲的一項(xiàng)重要來源，其大小直接影響探測系統(tǒng)靈敏度，限制引力波探測系統(tǒng)的整體性能，相關(guān)計(jì)劃的指標(biāo)要求如表１所示。

針對指標(biāo)要求，需對檢驗(yàn)質(zhì)量受到的自引力進(jìn)行計(jì)算與分析，自引力分析主要考慮以下３個(gè)部分。

（１）靜態(tài)自引力分析：計(jì)算航天器在標(biāo)稱配置下由于質(zhì)量分布不平衡而產(chǎn)生的自引力，即自引力偏置。

（２）熱致自引力分析：由溫度變化引起航天器結(jié)構(gòu)形變，從而產(chǎn)生自引力變化。

（３）運(yùn)動(dòng)部件狀態(tài)變化導(dǎo)致自引力分析：計(jì)算由于航天器上運(yùn)動(dòng)部件的狀態(tài)變化引起的自引力變化，如航天器相對檢驗(yàn)質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)、高增益天線運(yùn)動(dòng)、移動(dòng)光學(xué)組件（ｍｏｖｉｎｇｏｐｔｉｃａｌｓｕｂ-ａｓｓｅｍｂｌｉｅｓ，ＭＯＳＡ）的轉(zhuǎn)動(dòng)、推力器工質(zhì)的消耗等。

１．１單點(diǎn)自引力計(jì)算

在計(jì)算自引力時(shí)，若將檢驗(yàn)質(zhì)量近似為質(zhì)點(diǎn)，則會(huì)為檢驗(yàn)質(zhì)量所受到的自引力帶來較大誤差。根據(jù)引力波探測方案，可以將每個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量近似為長、寬、高分別為２c、２b、２a且密度均勻的長方體（實(shí)際為帶凹槽的類立方體），犘（x，y，z）是長方體內(nèi)部任意一點(diǎn)，在點(diǎn)犙（x_０，y_０，z_０）處存在一質(zhì)量為M的點(diǎn)質(zhì)量，如圖１所示。

類似的公式同樣適用于y軸和z軸。對航天器進(jìn)行合理有限元網(wǎng)格劃分后，依據(jù)上述公式，可以計(jì)算各網(wǎng)格單元對檢驗(yàn)質(zhì)量處的引力加速度貢獻(xiàn)，從而獲取整體航天器的自引力場。

１．２有限元建模分析方法

有限元建模是一種廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)、熱傳導(dǎo)、固體力學(xué)、流體力學(xué)等領(lǐng)域的工程分析方法。在空間引力波探測領(lǐng)域中，目前主要通過該方法來計(jì)算檢驗(yàn)質(zhì)量的自引力，整體流程如下。

（１）使用計(jì)算機(jī)輔助軟件，根據(jù)航天器的實(shí)際結(jié)構(gòu)搭建幾何模型。

（２）進(jìn)行網(wǎng)格劃分，將結(jié)構(gòu)離散為大小適當(dāng)?shù)挠邢拊獑卧?，即點(diǎn)質(zhì)量。

（３）根據(jù)引力計(jì)算公式，計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)對檢驗(yàn)質(zhì)量的引力。

（４）將所有節(jié)點(diǎn)上的自引力矢量求和，得出總的自引力。

有限元建模分析方法對網(wǎng)格的劃分有著嚴(yán)格限制，以確保自引力計(jì)算的準(zhǔn)確度。理論上，網(wǎng)格越小，計(jì)算準(zhǔn)確度越高，但是隨著網(wǎng)格數(shù)量的增加，其計(jì)算復(fù)雜度也會(huì)相應(yīng)提高。雖然可以通過優(yōu)化網(wǎng)格劃分等方式提高計(jì)算效率，但仍然面臨計(jì)算量大、計(jì)算時(shí)間長的問題。

２建模方法

空間引力波探測任務(wù)需要對探測系統(tǒng)進(jìn)行全鏈路噪聲的動(dòng)態(tài)模擬，以確認(rèn)系統(tǒng)性能是否滿足相關(guān)指標(biāo)要求，因此需要?jiǎng)討B(tài)計(jì)算檢驗(yàn)質(zhì)量在每個(gè)時(shí)刻所受到的自引力。傳統(tǒng)的有限元建模分析方法計(jì)算量大，耗時(shí)久，難以滿足長時(shí)間的動(dòng)態(tài)計(jì)算要求。因此，本文提出一種基于有限元分析和多項(xiàng)式回歸的自引力數(shù)學(xué)模型構(gòu)建方法，以實(shí)現(xiàn)自引力快速、有效的動(dòng)態(tài)計(jì)算。

２．１相關(guān)定義

航天器構(gòu)型如圖２所示，其中Ｓ／Ｃ為航天器平臺(tái)，ＣｏＭ為航天器質(zhì)心，ＴＭ１、ＴＭ２為檢驗(yàn)質(zhì)量１和檢驗(yàn)質(zhì)量２，分別對應(yīng)坐標(biāo)系O₁x₁y₁x₁ 和O_２x_２y_２x_２，坐標(biāo)系的原點(diǎn)O_１、O_２位于兩檢驗(yàn)質(zhì)量的中心處，θ為ＭＯＳＡ 夾角。

作者簡介

湯寧標(biāo)（２０００—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)榭茖W(xué)衛(wèi)星總體技術(shù)。

楊中光（１９８９—），男，副研究員，博士，主要研究方向?yàn)榭茖W(xué)衛(wèi)星總體技術(shù)。

余賢圣（１９９４—），男，助理研究員，碩士，主要研究方向?yàn)槌瑑舫€(wěn)航天器設(shè)計(jì)。

何濤（１９８９—），男，副研究員，碩士，主要研究方向?yàn)槌瑑舫€(wěn)航天器設(shè)計(jì)。

蔡志鳴（１９８４—），男，副研究員，碩士，主要研究方向?yàn)榭茖W(xué)衛(wèi)星總體技術(shù)。

余金培（１９６５—），男，研究員，博士，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星通信、衛(wèi)星研制與應(yīng)用。