廣州市番禺區(qū)教師進修學校(番禺區(qū)教師發(fā)展中心)(511488) 郭施敏

在“雙減”政策下,如何在課堂切實做到“減負增效”是目前一線教師亟需解決的難題. 因此廣東省基礎(chǔ)教育初中數(shù)學科教研基地(廣州市)舉辦了一次“堂上高效率,課外輕負擔”的研討活動. 在此活動上筆者進行了“去分母法解一元一次方程”的課例展示,并收到了同行的一致好評.

高效課堂體現(xiàn)在教師高效的教與學生高效的學,其中要求教師具備重要的教學觀是“以生為本”,教師需重點關(guān)注學生數(shù)學知識的生成過程,同時也是數(shù)學知識的生與長的過程.聚焦知識的生與長,其實是從本質(zhì)上解決學生在學習新知識過程中對數(shù)學知識理解的錯覺和偏差. 對于數(shù)學的一些知識,不少教師為了凸顯程序化操作,把解法歸納為具體的操作步驟,突出了此類解法的程序化. 接受這樣教學的學生往往對數(shù)學知識的理解停留在知其然而不知其所以然,他們對數(shù)學知識的認識是機械的、片面的,不利于其后續(xù)發(fā)展和解決真實世界的數(shù)學問題.

基于上述的背景, 本文將基于知識發(fā)生和發(fā)展的視角,以“去分母法解一元一次方程”的教學為例,嘗試對初中數(shù)學高效教與學進行探索,以期獲得一些啟發(fā).

1 聚焦知識的發(fā)生

1.1 分析學生認知的起點

去分母法解一元一次方程是人教版七年級上冊第三章第三節(jié)的內(nèi)容,“去分母”解一元一次方程是運用等式的基本性質(zhì)解含分數(shù)系數(shù)的一元一次方程,它是“去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1”解一元一次方程的繼續(xù),本節(jié)學習內(nèi)容蘊含轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想,是解方程的核心. 解方程的核心是“復(fù)雜化簡單,簡單到‘x=a’;多元化少元,少到一元;高次化低次,低到一次”. 本節(jié)課為后續(xù)建立方程模型解決實際問題、二元一次方程組、不等式、一元二次方程等內(nèi)容奠定了知識與思想方法基礎(chǔ).

七年級學生對本課的內(nèi)容已有一定的認知基礎(chǔ),如已掌握有理數(shù)乘法分配律,已積累分數(shù)可化為整數(shù)的經(jīng)驗,能運用等式的性質(zhì)解簡單方程,具備一定的分析問題和轉(zhuǎn)化問題的能力. 但是他們對本課內(nèi)容也有一定的認知障礙,如去分母的提出與認同可能產(chǎn)生一定的障礙,對等式性質(zhì)2 的理解水平一般,常常會出現(xiàn)理解偏差,同時在解方程中化歸思想方法儲備不足.

問題1什么是解方程?

學生活動根據(jù)之前所學知識,學生快速回答.

教師活動教師對學生回答進行提煉也是開篇的點睛之筆,萬千世界林林總總的方程,最終化為“x=a”的形式,體會“追求簡單化”的數(shù)學靈魂.

問題1 開門見山,既明確解方程的目標,又滲透化歸的數(shù)學思想,讓學生體會數(shù)學追求簡單化.

1.2 研究知識的承接

基于對學生認知的分析和對七年級教材的研究,不難發(fā)現(xiàn)學生不學習“去分母”也是能夠解決一元一次方程的問題,因此本課首先要解決的是學生對于本課內(nèi)容學習的必要性解釋,也就是“為什么要學習‘去分母’解一元一次方程”.

研讀七年級上冊, 發(fā)現(xiàn)在第一單元如圖1(即課本第33頁)陳述有理數(shù)的分配律時,課本選用了例題4 雙法對照說明分配律的優(yōu)勢,并在此后提出了思考. 思考題中提到哪種解法運算量小. 事實上已經(jīng)解答了學生“為什么要學習‘去分母’解一元一次方程”. 去分母的核心是把分數(shù)系數(shù)方程轉(zhuǎn)化為整數(shù)系數(shù)方程,從而運算量更小. 根據(jù)以上分析,設(shè)計了教學環(huán)節(jié)的第二個問題,具體如下:

圖1 人教版七年級上冊第33 頁

問題2解方程.

學生活動學生分小組討論,得到兩種解法,大部分學生快速得到移項的解法,少數(shù)可以考慮到去分母的解法.

教師活動小組推薦同學上臺展示和講解解題思路. 講解完,教師PPT 展示,如圖2,并提煉去分母的步驟.

圖2 解方程的兩種方法的展示圖

生: 嘗試把“分數(shù)系數(shù)”化為“整數(shù)系數(shù)”,去掉分母.

師: 如何去分母?

生: 找到2 與5 的最小公倍數(shù)10,方程兩邊乘10.

師:“去分母”的依據(jù)是什么?

生: 等式的性質(zhì)2 等式兩邊同時乘同一個數(shù),或除以同一個不為0 的數(shù),結(jié)果仍相等.

通過問題探究,可以得到兩種甚至更多的解法,并通過觀察比較選擇最優(yōu)解法,使得學生運用所學的等式性質(zhì)解決問題. 通過問題設(shè)置,讓學生層層深入了解去分母的依據(jù)及其操作步驟.

1.3 深挖知識的歷史起源

著名的求未知數(shù)的問題英國倫敦博物館保存著一部極其珍貴的文物——紙草書. 這是古代埃及人用象形文字寫在一種用紙莎草壓制成的草片上的著作,它于公元前1700 年左右寫成. 這部書中記載了許多有關(guān)的數(shù)學問題,書中一道著名的求未知數(shù)的問題.

教師活動展示PPT,播放預(yù)錄制的視頻“萊因德紙草書的簡介”,詳細的視頻文案如下:

在尼羅河三角洲盛產(chǎn)一種和蘆葦很相像的水生植物——紙莎草,古埃及人把這種草從縱面劈成小條,搗碎曬干,制作成黃色的紙頁,用于寫字,便成了“紙草書”[1].

目前我們對古埃及數(shù)學的認識與研究,主要根據(jù)兩卷紙草書,其中一卷叫《萊因德紙草書》. 它是古埃及人于公元前一千七百年左右,用象形文字記載數(shù)學問題的著作,屬于世界上最古老的數(shù)學著作之一,現(xiàn)藏于倫敦大英博物館. 該紙草書全長544 厘米,寬33 厘米. 書里列出了87 個問題,每個問題都給出了解答[2].

接下來我們看看在《萊茵德紙草書》中的第31 題,譯為:一個數(shù),他的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部,加起來總共是33,求這個數(shù). 大家拿起筆來挑戰(zhàn)一下吧!

問題3一個數(shù),它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部,加起來總共是33,求這個數(shù).

學生活動學生進行獨立思考,在導學案上解決該問題.

教師活動教師對上述視頻介紹進行總結(jié)并引領(lǐng)學生感受數(shù)學文化的魅力. 距今3000 多年的古埃及已經(jīng)體現(xiàn)了數(shù)學問題源于生活并于無形中服務(wù)生活.

2 聚焦知識的生長

2.1 改良知識的生長土壤

去分母解一元一次方程,步步都離不開等式的性質(zhì),尤其是等式的性質(zhì)2. 等式的性質(zhì)2,等式兩邊乘同一個數(shù),或除以一個不為0 的數(shù),結(jié)果仍相等.

學生如果對此性質(zhì)理解不深刻,往往會在去分母解一元一次方程時,出現(xiàn)某些項漏乘最小公倍數(shù),從而造成錯誤. 在初中教師的教學中也經(jīng)歷過對學生此類的錯誤進行反復(fù)糾正也收效甚微. 個別老師往往會布置大量的練習,希望通過“針對性”練習使得學生對此類錯誤認識“深刻”. 然而結(jié)果學生只是淺層知道自己漏乘是錯誤的,但是沒有從本質(zhì)認知為什么要各項乘最小公倍數(shù).

對以上的情況怎樣才是“減負提質(zhì)”的正確做法呢? 教師應(yīng)引領(lǐng)學生環(huán)視去分母解一元一次方程所需的基礎(chǔ)知識,并保證學生對此有深刻而正確的理解,才能在此基礎(chǔ)上開展新知識的建構(gòu).

問題4根據(jù)圖3 的天平情況回答右圖的問號處填什么?

圖3 問題展示

第一,善于用直觀的圖形替代抽象的符號表達. 關(guān)于等式的性質(zhì)2 的文字和字母的表達,對于七年級的學生是相對抽象的.

第二,學生看圖思考,從圖形的變化中獲得直接經(jīng)驗: 如果等式的右邊翻倍,那么左邊的圓形和三角形均需同時翻倍.

第三,學生把看圖所得經(jīng)驗進行推廣: 等式兩邊的各項均需同時乘同一個數(shù)(或除同一個不為0 的數(shù)).

第四,學生把以上總結(jié)經(jīng)驗實施于去分母解一元一次方程的數(shù)學問題中.

問題5解方程.

解: 分母2 和5 的最小公倍數(shù)是10;

第①步去分母,方程兩邊同時乘10,得

化簡,得

第②步去括號,得5x= 2x+2+6. ……分配律

第③步移項,得5x-2x=10+2. ……等式性質(zhì)1

第④步合并同類項,得3x=12. ……分配律

第⑤步系數(shù)化1,得x=4. ……等式性質(zhì)2

學生活動學生能知道兩邊同時乘10,但有漏乘10.

教師活動

(活動一)教師引導學生分析方程的特點, 把變式為,預(yù)留2 分鐘時間讓學生思考和嘗試解決.

(活動二)教師提問同學們此方程的解決方案,同時黑板書寫例題的解答過程,邊問邊寫.

提問1: 為什么方程兩邊乘的這個數(shù)是10?

提問2: 為什么方程兩邊要乘10?

提問3: 沒有分母,它是否需要乘10? 為什么?

2.2 指引知識的生長方向

研讀教材第97 頁發(fā)現(xiàn)每一次“去分母”后都會在相應(yīng)的分子處添括號,此處教師可指引學生發(fā)現(xiàn)問題并思考此問題的內(nèi)涵.

問題6在中的分數(shù)線有什么意義和作用?

學生活動學生回答分數(shù)線的意義為除號.

教師活動教師介紹分數(shù)線的雙重含義: 除號和括號.分數(shù)線分隔分子分母,實質(zhì)上是一個隱形的括號,因此去分母后,分數(shù)線消失了,仍要保持原式不變,必須在原來分子處添加括號. 通過經(jīng)典問題,展示去分母解一元一次方程的規(guī)范解答及兩個易錯問題強化了學生對等式性質(zhì)2 和分配律的理解,使得教與學都非常高效.

2.3 梳理知識的生長脈絡(luò)

問題7你能否總結(jié)本題的解題步驟及其思想方法?

學生活動學生根據(jù)自己的理解回答問題.

教師活動教師PPT 投影例題中解方程的流程圖,如圖4,通過實例總結(jié)解一元一次方程的一般步驟及其依據(jù).

圖4 本節(jié)課的課堂總結(jié)

通過梳理一元一次方程的解答流程圖,進一步鞏固解一元一次方程的“五步法”,同時滲透程序化和化歸的數(shù)學思想方法;通過總結(jié)解一元一次方程過程,總結(jié)“化歸”的數(shù)學思想,有利于學生理解和掌握重要的數(shù)學思想方法.

3 體驗高效的教學

3.1 教師高效的教學體驗

教師在備課時做大量“根”的研究,關(guān)注學生知識起點、關(guān)注知識的根系,關(guān)注知識的歷史起源,從而使得課堂的授課起點與學生的知識水平無縫銜接, 實現(xiàn)課堂的精準定位,教師的高效講解.

教師在評價學生時利用信息技術(shù)進行收集學生的學情,無論在課前抑或課后均可實施. 本課使用點陣筆技術(shù)反饋學習效果的試題設(shè)計,如圖5. 教師首先在網(wǎng)頁導入預(yù)設(shè)計的試題,試題設(shè)計做到每題考查的知識和方法清晰明了,然后學生用簽字筆限時作答,最后教師回收試題并用點陣筆進行批改,對應(yīng)平臺上就獲得即時數(shù)據(jù)分析. 利用信息技術(shù),實現(xiàn)學情的精準把控,教師的高效評價.

圖5 點陣筆技術(shù)賦能的課堂即時反饋題目

3.2 學生高效的學習體驗

學生在學習過程中,通過問題的引領(lǐng),層層遞進,逐漸逼近數(shù)學的本質(zhì),掌握數(shù)學的思想方法. 學生高效的學體現(xiàn)在以小見大,如問題1、問題4、問題6,通過小細節(jié)的觀察和理解可以獲得大道理. 其次,學生高效的學體現(xiàn)在舉一反三,問題5 是經(jīng)典例題,可以達到以一敵百的效果. 這是脫離茫茫題海,真正實現(xiàn)減負提質(zhì)增效.

4 結(jié)束語

聚焦知識的生與長,實現(xiàn)了化歸思想的滲透,并將“追求簡單化”這一數(shù)學的靈魂貫穿課堂始終. 基于數(shù)學的簡潔性和概括性的本質(zhì)要求,設(shè)計了相應(yīng)的內(nèi)容. 探究問題的兩種方法比較制造認知沖突,凸顯數(shù)學的靈魂“追求簡單化”. 經(jīng)典例題涵蓋方法和常見易錯點,希望能夠?qū)崿F(xiàn)“以一敵百”的能力目標. 巧用教材,通過深挖教材案例的歷史背景,搜索史料,獨立制作一段關(guān)于《萊茵德紙草書》的中文視頻,滲透數(shù)學文化,體會數(shù)學來源于生活并應(yīng)用于生活,數(shù)學是非常有用的! 設(shè)計針對性問題及利用點陣筆收集數(shù)據(jù),及時了解學生掌握情況,調(diào)整教學策略,實現(xiàn)精準反饋. 聚焦知識的生與長,才能貫徹落實“雙減”政策,體驗高效的教與學.