蘇日娜，趙 威

（1.內(nèi)蒙古民族大學 數(shù)學科學學院，內(nèi)蒙古 通遼 028043；2.滿洲里市第一中學，內(nèi)蒙古 滿洲里 021400）

常微分方程是研究自然科學中各類事物運動規(guī)律的最為基本的數(shù)學理論和方法［1］。該課程學時短、知識點繁雜且概念多，內(nèi)容晦澀抽象，且與物理、生物、化學、工程和經(jīng)濟等領域結合緊密。為了能夠使常微分方程這門課程的發(fā)展與時俱進，符合時代背景，許多高校教師對該課程如何突破“傳統(tǒng)教學”模式、建設并豐富“線上課堂”等教學改革進行了深入探索與研究，王麗麗等［2］將MOOC與傳統(tǒng)教學相結合構建新的平臺，并給出可行教學模式；涂強等［3］考慮了線上資源的構建和線下教學模式的改進，提煉出調整課程建設的相關方案；廖芳芳等［4］以多元智能理論為基礎，將網(wǎng)絡教學的互動與數(shù)學課程的特點融合，構建了一種新的教學模式。根據(jù)常微分方程的課程目標，結合學生的實際情況，從“線上”+“線下”多元融合的角度出發(fā)，提出了幾點改進常微分方程教學模式的建議。

1 常微分方程課程教學現(xiàn)狀分析

常微分方程課程是數(shù)學與應用數(shù)學、信息與計算科學專業(yè)的重要基礎課之一，要求學生具備并掌握數(shù)學分析、高等代數(shù)等基礎知識。本課程主要目的是利用微積分思想，結合線性代數(shù)、解析幾何等知識來解決數(shù)學以及其他學科中出現(xiàn)的若干微分方程問題，促使學生有效地掌握常微分方程的基礎理論和方法，為他們后續(xù)課程的學習如生物數(shù)學、動力系統(tǒng)、泛函分析和數(shù)學物理方程做準備。此外，本課程具有強大的實用背景，在學習和練習過程中不僅能夠使學生們理解數(shù)學建模的一些基本思想，了解當今社會存在的一些非線性問題，還能夠為將來從事相關領域的科學研究工作奠定基礎。

在傳統(tǒng)的常微分方程教學中，教師的主要目標是培養(yǎng)學生的知識能力。通常在有限的學時內(nèi)，教師會重點講授核心基礎知識，并通過關聯(lián)性的串講來幫助學生理解知識點。此外，教師還會提供少量練習題，以幫助學生鞏固所學內(nèi)容［5］。在這個過程中，提高教學質量和學生成績的主要途徑是合理設置教學內(nèi)容，并采用有效的精講、小組研討和研讀文獻等方式，以實現(xiàn)理論知識的傳授和實踐操作的練習。值得注意的是，盡管線下教學環(huán)節(jié)有助于教師完成教學進度、直觀地了解學生的學習情況，并且在教學管理方面也比較方便，但仍存在一些弊端。

1.1 教學內(nèi)容過于陳舊

常微分方程的教學內(nèi)容通常分為理論部分、求解方程部分和模型應用部分。隨著科學技術的不斷發(fā)展和進步，一些新的理論、方法和應用在常微分方程領域不斷涌現(xiàn)，然而在傳統(tǒng)的教學過程中，由于學時有限，教材和教師可能更側重于傳授理論和解方程2個部分，很少將常微分方程的發(fā)展史及其在自然科學中應用的最新成果及時引入課堂，這可能導致學生在課程學習過程中無法及時了解到最新的發(fā)展動態(tài)，限制了他們對常微分方程領域的深入理解和應用能力的培養(yǎng)。

1.2 教學手段過于單一

在線下課堂教學中，大多數(shù)任課教師仍舊采用“純板書”的方式教學，照本宣科。這種方式雖然能夠在有限的時間內(nèi)開展教學，從而完成教學進度，但是往往忽略了學生的積極性、主動性。同時，對于一些抽象概念和復雜的計算步驟，僅僅通過板書講解也不夠直觀和易于理解。此外，傳統(tǒng)板書的效果也受到教師書寫速度和清晰度的影響，可能導致信息傳遞不夠準確或者難以跟上教師的講解節(jié)奏。

1.3 教學評價過于薄弱

在修改教學大綱之前，常微分方程課程采用平時成績（30%）+期末考試成績（70%）的方式進行評價，平時成績占比相對較少，且僅采用作業(yè)、考勤等方式，評價模式單一。傳統(tǒng)教學注重學生的考試成績，輕視過程性考核。同時，學生只追求高分，而缺乏對知識的實際應用和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

為了改進常微分方程課程教學模式的不足，提供更全面的教學資源，發(fā)展并建設完善的常微分方程線上教學資源變得非常必要。筆者結合信息技術，探討常微分方程“線上”+“線下”多元融合的教學方案，以期實現(xiàn)教學模式的改進。

2 “線上”+“線下”多元融合教學模式的探索與構建

多元融合教學模式的設計思想就是將多種教學要素和資源結合在一起，形成教學新模式和新結構［6］。這一過程中的“混合要素+資源”并不是簡單隨意混合，而是要遵循多元融合教學模式設計的原則，即開展有針對性的、分眾化的和對象化的教學設計工作［7］。近年來，人們將互聯(lián)網(wǎng)、大數(shù)據(jù)和人工智能等快速發(fā)展的信息技術廣泛應用于教育教學上，為打造常微分方程“線上”+“線下”多元融合的教學模式奠定了技術基礎。筆者在具體建設過程中，從課前、課中、課后等3個環(huán)節(jié)全面闡述多元融合教學模式的設計思路，根據(jù)數(shù)學類各專業(yè)學生的實際情況，探索出一系列可行的教學方法和評價體系，并對教學實踐中出現(xiàn)的問題給出建議與對策。

2.1 課前環(huán)節(jié)

首先，科學分析學生特征和專業(yè)需求，編寫或收集與教學內(nèi)容相關的教學資源。使用多媒體教具如動畫、模擬實驗等方式來展示常微分方程的概念和解題方法，并設計適用于“線上課堂”的教案及多媒體PPT，增加學生學習的興趣。在建設線上資源時，還可以利用手寫板或者平板電腦，借助于軟件（Wps，Notability和Goodnote）在PPT里面進行標識和注解，便于學生的理解。其次，將制作的教學視頻或其他教育平臺的視頻、課程PPT、文獻拓展資料等上傳至知到、超星或優(yōu)慕課等教學平臺，根據(jù)教學大綱發(fā)布課前自測和自學任務，督促學生自我學習。學生可以自主選擇觀看時間和地點，提高學習的靈活性。最后，搜集常微分方程在不同領域的應用案例，發(fā)送給學生讓其預習，并根據(jù)線上反饋數(shù)據(jù)有針對性地進行教學調整和輔導。此外，在線上平臺上可以設計互動式的學習活動，如在線討論、小組合作等，以促進學生之間的交流和合作，共同解決常微分方程方面的問題。依據(jù)上述方法，能夠有效解決教學內(nèi)容過于陳舊、教師和學生過度依賴課本的難題。

2.2 課中環(huán)節(jié)

隨著數(shù)字化教育的快速發(fā)展，完善常微分方程課程的線上資源對于提供廣泛的學習機會、提高學習效率、個性化學習、促進自主學習和提供便捷的學習方式等方面都起到了重要作用。首先，針對學生自主學習任務問題，在學習平臺給出課前測試題，學生完成后，根據(jù)平臺統(tǒng)計的正確率，了解學生的課前預習情況。此外，針對發(fā)布的拓展文獻資料，設置閱讀時長和隨機問題，根據(jù)問題的回答情況，判斷學生是否完成自主學習任務，并給出相應的評價體系。其次，設置疑難問題板塊，鼓勵學生多問多寫多思考。針對學生的問題進行答疑解惑，解答過程中涉及到的推理論證盡量手寫，加深學生的理解。再次，線下課程講授完畢后，設置討論模塊并提出與課程相關的問題，組織學生分組展開討論（線上討論小組），教師通過線上教學平臺的答疑功能，選擇小組代表向大家匯報小組解題思路、計算過程以及論證結果，考查學生對于常微分方程基礎知識的應用能力。最后，根據(jù)學時安排及教學進度情況，對現(xiàn)有知識進行一定的總結與擴展，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

2.3 課后環(huán)節(jié)

針對常微分方程教學過程中存在的問題，結合教師的所思、所想、所感進行課后反思是提高教師教學水平的有效途徑。以“學生為中心、產(chǎn)出導向和持續(xù)改進”為主導思想，結合教學反思不僅能夠有針對性地修改教學目標、教學內(nèi)容和教學策略，還能夠在下一輪教學中突出教學重點和難點?；诋斀窠虒W背景和社會動態(tài)實現(xiàn)上述反思閉環(huán)，僅僅通過手寫教案的方法已遠遠不夠，還要借助各類教學平臺建立線上反思模塊。借助線上反思模塊，教師和學生之間、學生和學生之間可以隨時隨地展開互動，開展個性化輔導和交流。課后反思模塊除了交流和輔導之外，教師可根據(jù)學生的留言和問題進行歸納總結和分類整理，然后在線上反思模塊中建立問題庫，給出相應解答，為今后學習常微分方程的各級學生提供一系列的教學服務。

在建設關于常微分方程課程多元融合教學模式的過程中，探索出一種新的“探究+創(chuàng)新”式學習模式，并將教學目標向“數(shù)學問題的應用和理論體系的構建相結合”的方向推進。同時，依托各類教學平臺，如超星、微助教和知到等APP的統(tǒng)計功能，將課前測試和預習、課中考勤和搶答、課后作業(yè)和討論等環(huán)節(jié)的學習數(shù)據(jù)導出，再結合學期過程中的線上測驗計算出平時成績。最后，將平時成績、過程性測驗、期末成績等3 項成績按照一定的比例計入考試評價系統(tǒng)。由于多元融合教學模式包括線上和線下部分，因此，要特別注重過程評價。為了能夠督促學生更多地參與到學習過程中，使得教學評價更公平、更客觀，應在學期初根據(jù)課程內(nèi)容和學生能力給出具體且詳細的評價標準。在教學過程中，針對這些標準收集材料和數(shù)據(jù)，以此來支撐評價結果。

3 常微分方程課程多元融合教學模式的實踐

基于學校教學現(xiàn)狀，結合多年的教學經(jīng)驗，教研組經(jīng)過長時間的探索與研究選取了王高雄等編寫的《常微分方程》［1］作為教材，主要教學內(nèi)容包括：一階微分方程的初等解法、一階微分方程的解的存在定理、高階微分方程、線性微分方程組和非線性微分方程。隨著近幾年教師與學生對線上遠程教學的需求，教研組著力建設網(wǎng)絡教學平臺，合理規(guī)劃了線上自學內(nèi)容。

學校全面普及智慧樹推出的手機網(wǎng)課平臺——知到APP，教研組主要在該平臺中構建常微分方程課程網(wǎng)絡教學資源，設計了課前自測題目、課程目標和重難點、課程知識精講內(nèi)容、課中模型案例的討論、課后強化訓練題、主題小組討論與展示等教學活動。此外，還借助各類教學平臺（微信、QQ、釘釘?shù)龋┻m時適量地發(fā)布學習任務，并對學生在學習過程中的數(shù)據(jù)進行記錄和分析。同時，引入多媒體輔助教學，采用現(xiàn)代化教學方式，基于學生的學習情況及時調整教學內(nèi)容和訓練活動，逐步構建、實施和完善常微分方程課程的“線上”+“線下”多元融合教學模式。學生借助于線上資源進行預習和前測，通過該環(huán)節(jié)對新知識有一定的了解。教師課堂講授時，鼓勵學生積極發(fā)言，提出見解，師生共同學習經(jīng)典模型應用的最新結果。同時鼓勵學生課下查找資料、分析對比、理論聯(lián)系實際。每個專題講授完畢后，為學生布置1～2 個思考題，并給出相應的評價標準，鼓勵學生思考、小組討論。課后，針對教學重難點布置作業(yè)和討論，檢驗學生掌握新知識的情況。為了順利實施常微分方程多元融合的教學模式，需要事先準備充分的教學素材，提供學習建議，還要事先預測學生的各種問題和應對方案，建立完善的線上教學資源。線下課堂中，教師要控制協(xié)調學生的整個學習過程，在關鍵環(huán)節(jié)上要啟發(fā)、激勵和引導學生進行思考，做到理論知識與實際應用相結合。

教學評價方法的改革也是多元融合教學模式不同于傳統(tǒng)教學形式的特色之一。本課程綜合考核學生對課程知識的掌握情況、學生素質能力和創(chuàng)新意識等方面，采取綜合性評價模式。學期末采用傳統(tǒng)的閉卷形式，以應用題、證明題、計算題等來考查學生對相關知識的掌握和運用。學期中以3次測驗（線上和線下結合的方式）為主，要求學生將數(shù)學建模與小組討論相結合，變成數(shù)學建模式的小組學習。在此過程中，真正鍛煉學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，并以此來提高學生的學習興趣。同時，要求學生對于常微分方程的學習過程進行反思和思考，包括對于數(shù)學知識與思想方法的理解、對于常微分方程與社會實際問題的聯(lián)系等思考?？梢酝ㄟ^書面作業(yè)、小組討論或者個人口頭報告等形式進行評價，從而激發(fā)學生的學習動力，使學生能夠深入地分析所學專業(yè)中實際問題的深度和廣度，有利于知識的轉化和吸收。此外，學生在討論、匯報等環(huán)節(jié)的參與度相對比較積極，常常能夠提出較深刻的問題，建立數(shù)學應用問題案例庫，營造應用和創(chuàng)新氛圍，最終使學生成為數(shù)學應用能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的受益者。

網(wǎng)絡教學平臺經(jīng)過近3年的完善與實踐，“線上”+“線下”多元融合教學模式下的課堂教學效果得到了顯著提高。學生通過“線上”的課前準備和測驗環(huán)節(jié)，能夠對新知識有一定的了解；通過“線下”的課堂提問環(huán)節(jié)，每一組代表都能準確回答，并展現(xiàn)出獨特的思維風格，學習熱情高漲。作為數(shù)學師范類專業(yè)的學生，他們不僅通過“線上”資源加深了對專業(yè)知識的理解，還通過“線下”多媒體教學及小組討論等環(huán)節(jié)拓展了對教學方法的認知。在這種“線上”+“線下”多元融合教學模式下，教師充分發(fā)掘了學生身上的潛力，真正體現(xiàn)了師范專業(yè)認證標準所提出的以“學生為主體，教師為主導”的基本教學理念。

4 結論

綜上，建立完善的線上學習資源，有助于學生化零為整、高效地利用碎片化的時間和地點來學習新知識。將線上資源與面授有效結合，并隨著不同社會形態(tài)適當交替輪換，可以促進學生建立良好的自主學習習慣，調動學生的學習積極性，提高學生思維的廣度和深度，最終實現(xiàn)高效課堂。總而言之，在高校常微分方程課程中開展“線上”+“線下”多元融合的教學模式是教學的趨勢和方向，對于提升教學質量有著積極的促進作用。