【摘? 要】? 解最值題的一般策略是動(dòng)靜轉(zhuǎn)化,以靜制動(dòng),捕捉特殊瞬間,凸顯問題本質(zhì).從學(xué)生易接受的二次函數(shù)法和幾何法角度對直角三角形內(nèi)接定形直角三角形的面積最值予以探究,豐富了解法.
【關(guān)鍵詞】? 直角三角形;內(nèi)接;三角形面積最值;二次函數(shù)法;幾何法
1? 問題呈現(xiàn)及緣由
△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,D,E,F(xiàn)分別是AB,AC,BC上的點(diǎn).若△DEF是兩直角邊DE與DF之比為定值λ(λ為正常數(shù))的直角三角形,探究△DEF面積的最值.
文[1]利用三角法得到了直角三角形的任意內(nèi)接直角三角形面積的最小值,并給出最小位置的作圖方法;文[2]用坐標(biāo)法探求直角三角形的最大內(nèi)接直角三角形,但錯(cuò)誤較多,實(shí)不敢茍同.譬如“記E(t,0)(0≤t<b)”,條件應(yīng)為0≤t≤b;“令直線DE的方程為y=k(x-t)(k>-ab)”,條件應(yīng)為k>0或k≤-ab(由于直線AB的斜率為-ab);去絕對值混亂;定理2△DEF面積的最大值嚴(yán)重錯(cuò)誤.
為此,本文分別用二次函數(shù)法和幾何法探究△DEF面積的最值,其中探究△DEF面積的最小值及最小位置的作圖方法有別于文[1].2? 最值的探究
解法1? 二次函數(shù)法
如圖1,分別過點(diǎn)C,E,F(xiàn)作AB的垂線段,垂足分別為H,M,N.
設(shè)AM=y,BN=x.易得BH=a2c,AH=b2c,CH=abc.
由tanA=ab=EMy得EM=ayb;由tanB=ba=NFx得NF=bxa.
易得△DNF∽△EMD,所以DEDF=MDNF=EMDN=λ.所以MD=λbxa,DN=ayλb.
所以x+λbxa+y+ayλb=c,解得y=λbca+λb-λbxa.
S△DEF=12DE·DF=λ2·DF2=λ2(b2x2a2+a2y2λ2b2)=λ2[b2x2a2+a2λ2b2(λbca+λb-λbxa)2]
=λc22a2x2-λaca+λbx+λa2c22a+λb2.
當(dāng)x=λaca+λbλc2a2=a3ca+λb時(shí),S△DEFmin=λa2c22a+λb2-λaca+λb22λc2a2=λa2b22a+λb2.
此時(shí)y=λbca+λb-λbxa=λb3ca+λb,所以tan∠NDF=NFND=bxaayλb=λb2a2·xy=ab=tanA.
所以∠NDF=∠A.所以DF∥AC.所以當(dāng)DE⊥AC時(shí),S△DEFmin=λa2b22a+λb2(如圖2).? 圖2
下面探究S△DEF的最大值,不妨設(shè)a≥b.
(1)當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)H下方時(shí),∠DFE=∠DCE<∠HCA,所以λ<ba.
此時(shí)點(diǎn)F在B,C之間運(yùn)動(dòng),故點(diǎn)N在B,H之間運(yùn)動(dòng),所以0≤x≤a2c.
當(dāng)x=0時(shí),S△DEF=λa2c22a+λb2;
當(dāng)x=a2c時(shí),S△DEF=λc22a2(a2c)2-λaca+λb·a2c+λa2c22a+λb2=λ1+λ2a2b22a+λb2.
下面比較λa2c22a+λb2與λ1+λ2a2b22a+λb2的大小,只需比較c2與(1+λ2)b2的大?。?/p>
c2-(1+λ2)b2=a2-λ2b2=(a+λb)(a-λb).
由于λ<ba≤ab,所以a-λb>0,即c2>(1+λ2)b2.
所以當(dāng)λ<ba時(shí),S△DEFmax=λa2c22a+λb2(如圖3).
(2)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)H重合時(shí)(易得λ=ba),顯然S△HCB≥S△HAC,S△DEFmax=S△HCB=12·a2c·abc=a3b2c2(參考圖3).
(3)當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)H上方時(shí),λ>ba.此時(shí)點(diǎn)E在A,C之間,故點(diǎn)M在A,H之間,所以0≤y≤b2c.即0≤λbca+λb-λbxa≤b2c.解得aca+λb-abλc≤x≤aca+λb.
當(dāng)x=aca+λb時(shí),S△DEF=λc22a2(aca+λb)2-λaca+λb·aca+λb+λa2c22a+λb2=λb2c22a+λb2.
當(dāng)x=aca+λb-abλc時(shí),
S△DEF=λc22a2(aca+λb-abλc)2-λaca+λb(aca+λb-abλc)+λa2c22a+λb2=1+λ2a2b22λa+λb2.
下面比較λb2c22a+λb2與1+λ2a2b22λa+λb2的大小,只需比較λ2b2c2與(1+λ2)a2b2的大?。?/p>
λ2b2c2-(1+λ2)a2b2=λ2b4-a2b2=b2(λb+a)(λb-a).
①當(dāng)λ=ab時(shí),λ2b2c2=(1+λ2)a2b2.S△DEFmax=λb2c22a+λb2=bc28a.
此時(shí)λ=tanA,所以∠DFE=∠DCE=∠A.所以DC=DA,即點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)O(如圖4).圖4
②當(dāng)λ>ab時(shí),λ2b2c2>(1+λ2)a2b2.S△DEFmax=λb2c22a+λb2(如圖5,點(diǎn)D在O,B之間).
③當(dāng)ba<λ<ab時(shí),λ2b2c2<(1+λ2)a2b2.S△DEFmax=1+λ2a2b22λa+λb2(如圖6,點(diǎn)D在H,O之間).圖5圖6
綜上,在a≥b條件下,當(dāng)點(diǎn)D在A,H之間(不含A,H;此時(shí)λ<ba)時(shí),S△DEFmax=λa2c22a+λb2(如圖3);當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)H重合(λ=ba)時(shí),S△DEFmax=S△HCB=a3b2c2(參考圖3);當(dāng)點(diǎn)D在H,O之間(不含O;此時(shí)ba<λ<ab)時(shí),S△DEFmax=(1+λ2)a2b22λa+λb2(如圖6);當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合(λ=ab)時(shí),S△DEFmax=bc28a(如圖4);當(dāng)點(diǎn)D在O,B之間(不含B;此時(shí)λ>ab)時(shí),S△DEFmax=λb2c22a+λb2(如圖5).
解法2? 幾何法
S△DEF=12·DE·DF=12λ·DE2.因此S△DEF的最值取決于DE的最值.
由垂線段最短知,當(dāng)DE⊥AC時(shí),S△DEF最小,如圖2.
tanA=ab=DEAE=DEb-DF=DEb-DEλ,解得DE=λaba+λb,
所以S△DEFmin=12λ(λaba+λb)2=λa2b22a+λb2.
下面分情況探究S△DEF的最大值,不妨設(shè)a≥b.記斜邊上的高為CH,斜邊中線為CO.
(1)當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)H或點(diǎn)H下方時(shí),圖7是△DEF的兩個(gè)極端位置.
由B,C,E,D四點(diǎn)共圓得∠DEE′=∠ABC;而∠DE′E>∠A≥∠ABC,故∠DE′E>∠DEE′,所以DE>DE′.故S△DEF>S△DE′F′.
tanA=ab=DEAD=DEc-DF=DEc-DEλ,解得DE=λaca+λb.
所以S△DEFmax=12λ(λaca+λb)2=λa2c22a+λb2,此時(shí)位置如圖7中的△DEF(當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)H時(shí)位置為△HCB).圖7
(2)當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)O處時(shí),圖8是△DEF的兩個(gè)極端位置,顯然DE=DE′,故S△DEFmax=S△DE′F′=12λ(c2)2=c28λ.而λ=tan∠OAC=ab,所以S△DEFmax=bc28a.圖8
(3)當(dāng)點(diǎn)D在H,O之間時(shí),圖9是△DEF的兩個(gè)極端位置.
由OC=OA得∠OAC=∠OCA>∠DCA,所以DE>DE′.故S△DEF>S△DE′F′.
過D作DG⊥BC于G.
因?yàn)棣?tan∠DFE=tan∠CDG=CGDG,tanB=ba=DGBG=DGa-CG,所以DG=aba+λb.
因?yàn)閠an∠DFE=λ,所以sin∠DFE=λ1+λ2=DGDF.解得DF=ab1+λ2λa+λb.
所以S△DEFmax=λ2·DF2=1+λ2a2b22λa+λb2,此時(shí)位置如圖9中的△DEF.圖9
(4)當(dāng)點(diǎn)D在O,B之間時(shí),圖10是△DEF的兩個(gè)極端位置.
由OC=OA得∠OAC=∠OCA<∠DCA,所以DE<DE′.故S△DEF<S△DE′F′.
過D作DG⊥BC于G.由③得DG=aba+λb.
因?yàn)閏os∠GDF′=cosB=ac,所以DGDF′=ac,解得DF′=bca+λb.
所以S△DEFmax=λ2·DF′2=λb2c22a+λb2,此時(shí)位置為圖10中的△DE′F′.圖10
3? 最小位置的作圖方法
當(dāng)DE⊥AC時(shí),S△DEF最小.由此可給出S△DEF最小時(shí)的準(zhǔn)確位置及作圖方法.
作法? (1)過點(diǎn)A作AD1⊥AC,使D1與B在AC的同側(cè),且AD1=λb;
(2)連接CD1交AB于點(diǎn)D;
(3)過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接EF.
圖11中的△DEF就是符合題意的面積最小的直角三角形.圖11
4? 內(nèi)接等腰直角三角形面積最值
由前述結(jié)論S△DEFmin=λa2b22a+λb2,當(dāng)λ=1時(shí),S等腰△DEFmin=12aba+b2,當(dāng)且僅當(dāng)DE⊥AC時(shí)取得.
由前述結(jié)論S△DEFmax=1+λ2a2b22λa+λb2,當(dāng)λ=1時(shí),S等腰△DEFmax=aba+b2.直角頂點(diǎn)D在斜邊中點(diǎn)O與垂點(diǎn)H之間,且CD平分∠ACB.等腰Rt△DEF最大時(shí)的位置:若a>b,如圖12①;若a<b,如圖12②;若a=b,如圖12③.
參考文獻(xiàn)
[1]郭要紅.直角三角形的最小內(nèi)接定形直角三角形[J].?dāng)?shù)學(xué)通報(bào),2006(09):55-55.
[2]黃海波.直角三角形的最大內(nèi)接直角三角形[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(初中版),2009(07):46-46.作者簡介? 鄧文忠(1974—),男,陜西洋縣人,中學(xué)一級教師,第四屆縣級名師,縣教研先進(jìn)個(gè)人;主要進(jìn)行數(shù)學(xué)解題、中高考和競賽研究;發(fā)表文章150余篇.