彭珍瑞,張雪萍,張亞峰

(蘭州交通大學 機電工程學院,蘭州 730070)

近年來,有限元模型修正技術發(fā)展迅速,逐漸成為結構動力學領域的熱門研究方向。模型修正的本質是利用實測響應來調整、優(yōu)化有限元模型參數,包括材料參數、幾何尺寸以及約束條件等,使修正后的有限元模型能夠更好地反映實際結構的動力學行為[1-2]。

當下,絕大多數模型修正方法局限于確定性領域,確定性方法認為結構參數及響應均為定值,導致修正后的有限元模型只能重現某一特定情形下的動力學行為[3-5]。然而,不確定性方法通過引入概率統(tǒng)計來量化模型修正過程中的不確定性,對于結構模型修正具有重要研究意義[6-7]。國內外學者在不確定模型修正領域開展研究,取得了一定的研究成果。宗周紅等[8]采用蒙特卡洛模擬來量化分析模型修正中的不確定性,同時評價修正后模型的預測精度,并成功地對連續(xù)剛構橋有限元模型進行了修正。Hua等[9]引入計算效率較高的改進攝動法,利用隨機實測響應修正了桁架有限元模型,并獲得了結構參數的統(tǒng)計特征。Fang等[10]基于Hermite多項式混沌展開理論,建立了模型修正的隨機反問題,有效修正了結構參數的均值和標準差等統(tǒng)計特征。陳爐云等[11]基于多類型響應和多層次理論,建立了考慮多響應的結構動力學修正歸一化模型,并對一船艦底座模進行了修正。陳輝等[12]通過多變量非正交多項式展開式來表示結構的待修正參數,構造了結構響應與待修正參數之間的隨機修正方程,并引入混合攝動-伽遼金方法求解得到了結構參數的統(tǒng)計特征。秦仙蓉等[13]將不確定性模型修正問題轉化為一系列確定性模型修正問題,采用多目標遺傳算法進行求解,并對一岸橋模型進行了修正。

采用上述方法進行隨機模型修正時,通常需要建立多個目標函數進行求解。在利用智能優(yōu)化算法進行多目標優(yōu)化的過程中,通常不能保證所有子目標函數同時獲得最優(yōu)值[14]。針對隨機模型修正中計算成本較高的問題,本文將Cokriging代理模型技術和單目標函數進行結合,提出了一種隨機模型修正方法。首先,利用訓練集樣本和對應的有限元計算響應來構造滿足精度要求的Cokriging模型;然后,基于有限元模型計算響應和試驗響應的統(tǒng)計特征值,建立加權殘差之和目標函數;最后,引入土狼優(yōu)化算法獲得待修正參數的最優(yōu)均值和標準差,并通過二維桁架與三維桁架結構驗證本文方法的有效性。

1 Cokriging模型構造

Cokriging模型將主變量的自相關性和主變量與協變量的交叉相關性結合進行估計。理論上Cokriging方法比Kriging方法更好。采用Cokriging法構造的修正模型[15]可表示為

(1)

式中:μ(xi)為x的多項式函數;z(xi)為服從正態(tài)分布N(0,σ2)且協方差不為0的隨機分布。

初始待修正參數由拉丁超立方方法抽樣,樣本區(qū)間為待修正參數的±20%,計算樣本響應值,將樣本與所對應的響應值分為訓練集和測試集,訓練集構建Cokriging模型,由均方根誤差(RMSE)值檢驗模型精度,RMSE越小,表明Cokriging模型的預測精度越高。RMSE表示為

(2)

2 目標函數構造

隨機有限元模型修正中往往需要建立隨機參數的均值和標準差的多個目標函數進行多目標優(yōu)化。目標函數可表示為:

(3)

(4)

兩個目標函數往往相互矛盾,有時候很難同時達到最優(yōu),考慮轉化為單目標優(yōu)化問題,簡化修正過程,提高計算效率,其目標函數為

(5)

3 模型修正過程

3.1 土狼優(yōu)化算法

土狼優(yōu)化算法是基于土狼對環(huán)境的適應行為提出的一種新型群智能全局優(yōu)化算法[16],該算法具有種群多樣性強、收斂速度快等優(yōu)點。土狼優(yōu)化算法步驟如下:

1) 土狼群初始化。土狼劃分Np組,每組Nc只土狼,土狼的社會條件socj為

socj=lbj+randj(ubj-lbj)

(6)

式中:ubj和lbj分別為參數上、下界;randj為[0,1]區(qū)間的隨機數,j=1,2,…,D,D為優(yōu)化問題決策變量數量。

2) 土狼組內文化互動。土狼在群體影響(δ1)和最優(yōu)狼影響(δ2)下產生組內族群間文化互動,即形成新的社會條件,可表示為

socnew=soc+r1δ1+r2δ2

(7)

式中:r1和r2為[0,1]中的隨機數。

3) 新土狼誕生?？紤]出生和死亡為生命中的主要事件,在環(huán)境影響和遺傳因子共同作用下,新土狼的誕生公式為

(8)

ps=1/D,pa=(1-ps)/2

(9)

3.2 模型修正過程

在Cokriging模型作為代理模型參與迭代計算的過程中,參數樣本和結構響應需要相對應,難以直接獲得響應的標準差,因此本文在每次迭代過程中隨機抽取2 000個服從正態(tài)分布的樣本;然后,利用Cokriging模型計算隨機樣本的響應,進而得到響應的統(tǒng)計特征值;最后,采用土狼優(yōu)化算法求解目標函數obj3,得到待修正參數的均值和標準差。模型修正流程如圖1所示。

圖1 模型修正流程圖Fig. 1 Flow chart of model updating

4 數值算例

4.1 二維桁架

二維桁架結構如圖2所示,其由16個節(jié)點和29個自由度組成。將桿單元分為斜桿和剩余桿兩組,彈性模量分別為E1和E2,所有桿單元的質量密度為d。選取上述材料參數的均值和標準差作為待修正參數,假設有限元模型的E1、E2及d的試驗均值分別為190 GPa、210 GPa和7 800 kg/m3,標準差為2.5、2.2和25。同時,初始均值和試驗均值的相對誤差為±10%,則待修正參數的初始均值分別為209 GPa、231 GPa和7 020 kg/m3。

圖2 二維桁架模型Fig. 2 Two dimensional truss structure

采用拉丁超立方抽樣在待修正參數范圍內抽取550組樣本,其中,將前450組樣本作為訓練集,前10階模態(tài)頻率和第3節(jié)點的前4階模態(tài)振型作為響應來構造Cokriging模型,后100組樣本作為測試集來檢驗所構造Cokriging模型的預測精度。計算得到RMSE為1.09×10-5,說明模型精度滿足要求。為進一步驗證預測精度,分別利用有限元模型和Cokriging模型計算第6階頻率和第2階振型,如圖3和圖4所示?？梢钥闯?Cokriging模型的預測值和有限元模型計算值基本重合,表明所構造的Cokriging模型具有較高的預測精度。

圖3 頻率的預測值和真實值Fig. 3 Predicted and true values of frequency

由于在實際工程中難以獲得大樣本試驗數據,因此本文采用半實驗樣本數據,即隨機抽取500組服從試驗高斯分布的參數樣本,將樣本代入有限元模型,計算得到前10階頻率和第3節(jié)點前4階振型作為試驗響應。然后,設定土狼優(yōu)化算法中的相關參數,分別為:Np=10,Nc=10,進化次數為500。求解待修正參數的均值與標準差,多次試驗得到ω1=0.605、ω2=0.155。為了驗證本文方法的優(yōu)勢,在相同條件下,利用土狼優(yōu)化算法分別求解多目標函數和單目標函數,獲得待修正參數的統(tǒng)計特征值,如表1所示?？梢钥闯?經多目標函數修正方法修正后的有限元模型,其結構參數的均值和標準差的相對誤差小于5%,而經本文所提單目標函數修正方法修正后的相對誤差均能保持在3.5%以內,本文方法具有更高的修正精度。

表1 修正前后結構參數均值與標準差(二維桁架)Tab. 1 The means and standard deviations of structural parameters before and after updating(2D truss)

圖5和圖6分別為利用本文所提方法修正前后的模態(tài)頻率和振型的對比圖,可以看出,經本文方法修正后模態(tài)響應的均值與試驗響應的均值能夠充分接近。

圖5 頻率對比Fig. 5 Frequencies comparison

圖6 振型對比Fig. 6 Shapes comparison

為進一步驗證本文方法的有效性,在表1修正值所對應的高斯分布內,隨機抽取300組樣本,代入修正后有限元模型中計算頻率來得到概率密度函數。修正后模型和試驗模型的第1、2、5、10階模態(tài)頻率的概率密度函數曲線如圖7所示,可以看出修正后頻率的概率密度曲線與試驗結果基本重合。

圖7 修正后頻率的概率密度函數曲線Fig. 7 Updated frequency probability density function curves

對修正后的模態(tài)響應進行歸一化處理,第5階與第6階模態(tài)頻率、第7階與第8階模態(tài)頻率、第1階與第3階模態(tài)振型的分布及95%置信橢圓如圖8所示。由圖8可以看出:修正后的模態(tài)響應大部分位于置信橢圓內的高概率區(qū)域內,且修正后模型響應和試驗響應的置信橢圓基本一致。

圖8 修正后參數響應的分布及置信橢圓Fig. 8 The distributions and confidence ellipses of the updated parameter response

4.2 三維桁架

三維桁架結構如圖9所示,基本屬性參數如表2所示。將桿單元分為兩組,分別為各主桁桿單元和上、下平縱聯各桿單元。兩組桿單元的彈性模量分別為E1和E2,各桿單元的質量密度均為d。選取待修正參數為E1、E2及d的均值和標準差,假設試驗均值分別為230 GPa、210 GPa和7 300 kg/m3,標準差分別為3.0、2.0和20,同時,初始均值分別為253 GPa、189 GPa和8 030 kg/m3。

圖9 三維桁架模型Fig. 9 Three dimensional truss model

表2 三維桁架模型屬性Tab. 2 Properties of 3D truss model

選取前4階頻率和第6節(jié)點前4階振型作為響應,采用4.1節(jié)方法構造訓練集和測試集樣本,計算相應的結構響應來構建Cokriging模型。計算得到RMSE為1.43×10-5,表明所構造的Cokriging模型精度滿足要求。圖10為第1階頻率的預測值和有限元模型計算值,可以看出預測值與有限元模型計算值幾乎重合,表明所構造的Cokriging模型的預測精度滿足要求。

圖10 第1階頻率的預測值和真實值Fig. 10 Predicted value and true value of first order frequencies

同樣采用半實驗樣本數據,計算有限元模型的前4階頻率和第4節(jié)點的前4階振型作為試驗響應,得到ω1=0.605、ω2=0.155及多目標和單目標函數下的參數修正結果,如表3所示。

表3 修正前后結構參數均值與標準差(三維桁架)Tab. 3 The means and standard deviations of structural parameters before and after updating(3D truss)

由表3可以看出:本文單目標函數修正后的參數均值與標準差的相對誤差小于3.2%,小于多目標函數修正方法的4.5%。頻率和振型的修正結果如圖11和圖12所示,可看出修正前頻率和振型的均值與試驗模態(tài)響應均值相差較大,經所提方法修正后,兩者的均值接近。由表3還可以看出,經多目標函數修正方法修正后的有限元模型,其結構參數的均值和標準差的相對誤差在4.5%以內,而經本文所提單目標函數修正方法修正后的相對誤差均能保持在3.2%以內,所提方法具有更高的修正精度。

圖11 頻率對比Fig. 11 Frequencies comparison

圖12 振型對比Fig. 12 Shapes comparison

圖11和圖12分別為修正前后模態(tài)頻率和振型的對比圖,可以看出,經所提方法修正后的模態(tài)響應均值能夠充分接近于試驗響應均值。

為進一步驗證本文方法的修正效果,同4.1節(jié)計算修正后模型和試驗模型的概率密度函數,如圖13所示,可以看出修正后頻率的概率密度曲線向試驗結果充分靠攏。進而對修正后的模態(tài)響應進行歸一化處理,第1階與第3階模態(tài)頻率、第2階與第4階模態(tài)頻率、第1階與第3階模態(tài)振型的分布及置信橢圓如圖14所示。由圖14可以看出:修正后的修正后模型響應和試驗響應的置信橢圓基本重合,進一步驗證了所提方法的可行性和有效性。

圖13 修正后頻率的概率密度函數曲線Fig. 13 Updated frequency probability density function curves

圖14 修正后參數響應的分布及置信橢圓Fig. 14 The distributions and confidence ellipses of the updated parameter response

5 結論

1) 將隨機模型修正問題簡化為修正結構參數的統(tǒng)計特征值,直接求解加權殘差目標函數得到參數的統(tǒng)計特征,提高了隨機模型修正的效率。

2) 建立的單目標函數能夠較好地度量兩個概率分布之間的差異,為解決多目標優(yōu)化中的各子目標函數相互制約的問題提供了一定的借鑒。

3) 通過Cokriging模型技術擬合待修正參數與響應之間的復雜關系,進而替代有限元模型參與迭代計算,降低了模型修正的計算成本。