朱文軒,張書(shū)維,王 琳,周海川

(1.江蘇安全技術(shù)職業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 徐州 221011;2.南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,江蘇 南京 211106)

0 引 言

分析時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)的變化規(guī)律是反映齒輪副嚙合特性的有效途徑。許多學(xué)者都對(duì)時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算方法進(jìn)行了研究。

該類(lèi)研究所采用的方法一般可分為以下3類(lèi):有限元法、解析法、解析—有限元法。

其中,有限元法可以自動(dòng)模擬實(shí)際齒廓,包括齒廓修形、加工誤差和安裝誤差,對(duì)時(shí)變嚙合剛度的分析具有較高的精度。WANG Jian-de等人[1-2]綜合運(yùn)用2D與3D單元,對(duì)輪齒進(jìn)行了自適應(yīng)網(wǎng)格劃分,構(gòu)建了通用的有限元模型,結(jié)合數(shù)值分析方法計(jì)算了傳動(dòng)誤差、載荷分布以及扭轉(zhuǎn)嚙合剛度。LI Run-fang等人[3]采用三維接觸有限元法,對(duì)某型減速箱的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了仿真,確定了齒輪箱的剛度激勵(lì)和誤差激勵(lì)。LI Shu-ting[4]采用了有限元軟件,定量研究了加工誤差和裝配誤差對(duì)一對(duì)直齒輪的承載能力、載荷分配以及傳動(dòng)誤差的影響。WU Yong-jun等人[5]運(yùn)用有限元分析方法,詳細(xì)討論了滑動(dòng)摩擦和時(shí)變嚙合剛度對(duì)連續(xù)嚙合齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)嚙合特性的影響。

然而,上述研究中所采用的有限元分析方法,存在耗費(fèi)資源大,不利于齒輪副的快速優(yōu)化設(shè)計(jì)的缺陷。

研究人員結(jié)合有限元法和解析法的各自優(yōu)點(diǎn),提出了解析-有限元法。采用該方法可以快速計(jì)算齒廓修形、齒基、裂紋等多種參數(shù)下的齒輪時(shí)變嚙合剛度。WANG Qi-bin等人[6]采用三維有限元法構(gòu)建了齒基模型,并將該模型與基于勢(shì)能法構(gòu)建的輪齒副嚙合剛度模型進(jìn)行了剛性耦合,借此分析了裂紋對(duì)嚙合剛度的影響規(guī)律。CHEN Kang-kang等人[7-8]運(yùn)用解析—有限元法,分析了輪齒剝落對(duì)直齒和斜齒輪嚙合剛度、接觸應(yīng)力和齒根圓角應(yīng)力的影響;但該方法不能適應(yīng)制造誤差等新條件,需進(jìn)一步研究擴(kuò)大其應(yīng)用范圍。

由于求解效率高的特點(diǎn),解析法被廣泛應(yīng)用于時(shí)變嚙合剛度的快速計(jì)算中。TIAN Xin-hao[9]利用勢(shì)能法和漸開(kāi)線輪齒的特性,導(dǎo)出了健康直齒輪與裂紋、斷齒直齒輪嚙合剛度的表達(dá)式。WU Si-yan等人[10]在YANG D C等人[11]的研究基礎(chǔ)上,將直齒輪模擬為基圓上的變截面懸臂梁,提出了綜合考慮彎曲剛度、徑向壓縮剛度和赫茲接觸剛度的直齒輪時(shí)變嚙合剛度模型;但研究中并未考慮輪齒剪切變形、齒根圓角部分以及齒基對(duì)嚙合剛度的影響。SAINSOT P等人[12]基于Muskhelishvili理論,提出了一種齒基剛度的解析公式。馬輝等人[13]基于能量等效原理,提出了一種包含漸開(kāi)線齒廓部分與齒根過(guò)渡曲線部分的直齒輪改進(jìn)時(shí)變嚙合剛度模型。CHEN Zai-gang等人[14-17]基于梁變形理論,提出了綜合考慮抗彎剛度、剪切剛度、徑向壓縮剛度、赫茲接觸剛度和齒基剛度的直齒輪時(shí)變嚙合剛度模型,并分析了齒廓修形和裂紋對(duì)時(shí)變嚙合剛度的影響。

然而,上述研究并未考慮多齒嚙合對(duì)剛度疊加模型中齒基剛度的影響。因此,MA Hui等人[18-20]提出了一種多齒嚙合狀態(tài)下的齒基剛度改進(jìn)計(jì)算式,并結(jié)合彈性力學(xué)原理分析了齒頂導(dǎo)圓和摩擦對(duì)時(shí)變嚙合剛度的影響。除此之外,許多文獻(xiàn)也研究了齒廓修形、點(diǎn)蝕、磨損、剝落、裂紋等因素對(duì)直齒輪時(shí)變嚙合剛度的影響[21-24]。

然而,目前考慮齒向修鼓和軸向錯(cuò)位的直齒輪副時(shí)變嚙合剛度激勵(lì)的研究較少。這是由于該齒輪副在受載狀態(tài)下將會(huì)由整個(gè)齒寬的線接觸轉(zhuǎn)換為局部共軛接觸形成橢圓形接觸區(qū)域。上述研究中的方法多是對(duì)輪齒整體進(jìn)行受力分析,結(jié)合彈性力學(xué)原理求解應(yīng)變能從而導(dǎo)出剛度計(jì)算式,對(duì)局部接觸齒輪副則不完全適用。若采用WAN Zhi-guo等人[25]447-463提出的基于切片理論的累積積分勢(shì)能法,計(jì)算齒向修鼓和軸向錯(cuò)位的直齒輪嚙合剛度,則忽略了片齒間的耦合效應(yīng)。

雖然YU W等人[26]在AJMI M等人[27]的研究基礎(chǔ)上,提出了一種考慮片齒耦合效應(yīng)的片齒加權(quán)因子分布模型;但是,該模型存在因子難以準(zhǔn)確估算的缺點(diǎn)。此外,采用切片法計(jì)算齒向修鼓和軸向錯(cuò)位的直齒輪嚙合剛度時(shí),則需要通過(guò)TCA與LTCA計(jì)算接觸點(diǎn)、接觸跡線以及加載接觸區(qū),這是齒向修鼓和軸向錯(cuò)位的直齒輪副嚙合剛度準(zhǔn)確計(jì)算的前提,也是計(jì)算中的難點(diǎn)之一。

筆者針對(duì)齒向修鼓和軸向錯(cuò)位直齒輪副展開(kāi)研究,提出一種改進(jìn)的嚙合剛度計(jì)算方法。

首先,在直齒輪誤差模型的基礎(chǔ)上,結(jié)合彈性力學(xué)理論計(jì)算加載狀態(tài)下的嚙合特征;然后,結(jié)合勢(shì)能法以及切片理論,推導(dǎo)齒向修鼓和軸向錯(cuò)位直齒輪副改進(jìn)時(shí)變嚙合剛度解析式;最后,與有限元結(jié)果對(duì)比分析,對(duì)該解析模型進(jìn)行驗(yàn)證;并分析不同鼓形量與錯(cuò)位量對(duì)直齒輪副嚙合特性的影響。

1 直齒輪誤差數(shù)學(xué)模型

鼓形齒示意圖如圖1所示。

圖1 鼓形齒示意圖Fig.1 Tooth lead crown relief diagram注:B,Cc,Cci為齒寬、最大修形量和齒廓任意點(diǎn)修形量。

根據(jù)多項(xiàng)式函數(shù),Cci表示為[28]1-9:

(1)

式中:s為曲線彎曲系數(shù);b0,bi見(jiàn)文獻(xiàn)[28]2-3。

軸向錯(cuò)位即直齒輪副的兩平行軸線錯(cuò)位一個(gè)角度的示意圖,如圖2所示。

圖2 作用面上的軸向錯(cuò)位Fig.2 Misalignment error on the action plane

圖2中,Cmi是任意截面齒廓處的錯(cuò)位量;該錯(cuò)位量可以由小齒輪和大齒輪上的展角來(lái)定義,即:

(2)

式中:βb,θx,θy,ψ12等參數(shù)詳見(jiàn)文獻(xiàn)[28]3-4。

結(jié)合式(1)～式(2)可知,齒對(duì)的總誤差Ei可表示為:

(3)

式中:上標(biāo)(p),上標(biāo)(g)為小輪與大輪。

2 齒接觸分析及加載齒接觸分析

考慮齒向修鼓和軸向錯(cuò)位的直齒輪副會(huì)由線接觸轉(zhuǎn)換為局部共軛接觸,并在載荷作用下形成橢圓形接觸區(qū)域。

瞬時(shí)接觸特征如圖3所示。

圖3 接觸特征示意圖Fig.3 Contact characteristic diagram注:P為瞬時(shí)接觸點(diǎn);l1,l2為橢圓長(zhǎng)軸與短軸長(zhǎng)度。

圖3中,齒面上各個(gè)瞬時(shí)接觸點(diǎn)的連線即為嚙合跡線。

TCA與LTCA技術(shù)的目標(biāo)則是為了求解瞬時(shí)接觸點(diǎn)P和橢圓主軸長(zhǎng)l1、l2及其方向。

2.1 齒接觸分析

局部共軛接觸直齒輪副齒接觸分析(TCA)如圖4所示。

圖4 TCA示意圖Fig.4 TCA diagram注:為齒面∑1和∑2于坐標(biāo)系Sf中的法矢和位置矢量;T為接觸點(diǎn)P處的切平面。

圖4中,設(shè)定坐標(biāo)系S1和S2分別與主動(dòng)輪和從動(dòng)輪固連,坐標(biāo)系Sf為全局固定坐標(biāo)系,固定坐標(biāo)系Sq表示裝配錯(cuò)位。由于齒向修鼓直齒輪齒面不再是標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線齒面,無(wú)法用漸開(kāi)線函數(shù)準(zhǔn)確表達(dá)齒廓特征。

為了TCA以及LTCA程序編寫(xiě)的簡(jiǎn)化以及程序的可計(jì)算性,筆者采用B-樣條曲面將齒廓偏差齒面重新表征為雙參數(shù)函數(shù)r(u,v)[29-30]。

齒面∑1和∑2的位矢和單位法矢在坐標(biāo)系S1和S2中可表示為:

(4)

∑1繞Sf中的固定軸旋轉(zhuǎn)。結(jié)合式(4),位置矢量和單位法矢在Sf中可表示為:

(5)

∑2則是繞錯(cuò)位坐標(biāo)系Sq中的固定軸旋轉(zhuǎn),位置矢量和單位法矢在Sf中可表示為:

(6)

式中:L為3×3階矩陣,可由矩陣M確定。

接觸齒面于接觸點(diǎn)處相切,此時(shí)兩齒面的位置矢量和法矢滿足下式條件:

(7)

式中:φ1為∑1繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)角度;φ2為∑2繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)角度。

其中:位矢方程提供3個(gè)標(biāo)量方程,法矢方程提供2個(gè)標(biāo)量方程,卻有6個(gè)未知數(shù),即u1,v1,φ1,u2,v2,φ2。

因此,給定一個(gè)參數(shù)v2,對(duì)式(7)提供的5個(gè)非線性方程進(jìn)行迭代求解,便可得到另外5個(gè)參數(shù),其對(duì)應(yīng)的齒面點(diǎn)即為接觸點(diǎn);不同v2下的接觸點(diǎn)連線即為接觸路徑,直到迭代點(diǎn)超出齒面范圍。

2.2 加載齒接觸分析

接觸點(diǎn)P處的受載變形如圖5所示。

圖5 切面坐標(biāo)系示意圖Fig.5 Section coordinate system diagram

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)直齒輪或者齒向修鼓直齒輪,橢圓主軸分別為齒長(zhǎng)方向和齒廓方向。由于軸向錯(cuò)位的影響,主軸方向與主方向存在一定角度。

橢圓主軸與主方向示意圖如圖6所示。

圖6 曲率與主軸關(guān)系示意圖Fig.6 Curvature and spindle relationship diagram注:μⅠ,μⅡ?yàn)闄E圓主軸方向與主方向間的夾角。

根據(jù)歐拉公式,任意方向上的法曲率可表示為:

(8)

筆者結(jié)合式(8)可計(jì)算出兩齒面的相對(duì)法曲率。其中,最大相對(duì)法曲率方向?yàn)闄E圓短軸,最小相對(duì)法曲率方向?yàn)殚L(zhǎng)軸[32];求得對(duì)應(yīng)的曲率半徑并結(jié)合赫茲理論,給出曲率半徑與半長(zhǎng)軸和半短軸間的關(guān)系為:

(9)

式中:a為橢圓半長(zhǎng)軸;b為橢圓半短軸;E(e)為第二類(lèi)完全橢圓積分;K(e)為第一類(lèi)完全橢圓積分。

筆者在式(9)基礎(chǔ)上,補(bǔ)充a和b的關(guān)系表示如下:

(10)

式中:F為法向嚙合力;Re為等效曲率半徑,值為(RⅠRⅡ)1/2;E*為等效彈性模量;f(e)為a/b相關(guān)的函數(shù)。

這些參數(shù)可表示為[33]:

(11)

式中:e為橢圓率;E為彈性模量;v為泊松比。

筆者結(jié)合式(9)～式(11),可得橢圓主軸長(zhǎng)l1和l2。

3 時(shí)變嚙合剛度模型

輪齒沿齒寬方向切片處理示意圖如圖7所示。

圖7 切片示意圖Fig.7 Slice diagram注:db為片齒寬度。

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)直齒輪結(jié)構(gòu)剛度和赫茲接觸剛度時(shí)需考慮整個(gè)齒面上的片齒。而對(duì)于齒廓偏差直齒輪副,則只需考慮接觸區(qū)內(nèi)片齒。

片齒等效變截面懸臂梁模型如圖8所示。

圖8 懸臂梁模型Fig.8 Cantilever model注:F為法向嚙合力;Fb,Fa為F的分力;xps,x分別為嚙合點(diǎn)和變截面齒廓點(diǎn)處的橫坐標(biāo),對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)為hps和hx。

由于齒向修鼓后的直齒輪齒面點(diǎn)橫縱坐標(biāo)值無(wú)法用標(biāo)準(zhǔn)漸開(kāi)線函數(shù)計(jì)算得到。結(jié)合2.1節(jié)重構(gòu)的齒面新函數(shù)r(u,v),并改變齒長(zhǎng)參數(shù)u,對(duì)輪齒進(jìn)行切片,可以得到任意截面齒廓參數(shù)。在齒根與齒頂截面齒廓的中點(diǎn)處建立坐標(biāo)系,通過(guò)位置矢量關(guān)系即可進(jìn)一步得到任意截面齒廓點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)值。

Fb和Fa可表示為:

Fb=Fcosα
Fa=Fsinα

(12)

采用勢(shì)能法,片齒受載變形存儲(chǔ)的彎曲應(yīng)變能dUb、剪切應(yīng)變能dUs,及軸向壓縮應(yīng)變能dUa可表示為:

(13)

式中:Mt為力矩;Ix為慣性矩;Ax為截面面積。

這些參數(shù)可表示為:

(14)

結(jié)合式(13)～式(14),片齒彎曲等效剛度dKb、剪切等效剛度dKs,以及軸向壓縮剛度dKa可表示為:

(15)

赫茲接觸剛度與非線性接觸力有關(guān),也呈非線性。在文獻(xiàn)[34-35]中,作者采用有限元法和實(shí)驗(yàn)法都已對(duì)其進(jìn)行了證實(shí);因此,片齒赫茲剛度dKh表達(dá)式如下[36]:

(16)

式中:Fi為片齒載荷。

其中:Ee=2E1E2/(E1+E2)。

除輪齒剛度與赫茲剛度外,齒輪副嚙合剛度中還包含齒基剛度。

齒基剛度Kf表達(dá)式如下[17]6:

(17)

式中:B為齒寬;系數(shù)L*,M*,P*,Q*以及參數(shù)uf和Sf詳見(jiàn)文獻(xiàn)[17]6。

由于齒向修鼓和軸向錯(cuò)位直齒輪副接觸齒面間呈非線性接觸,各片齒變形不同,力在片齒間的傳遞存在耦合效應(yīng)。因此,筆者將各片齒以及片齒間的耦合效應(yīng)等效為彈簧模型。

耦合效應(yīng)等效彈簧模型如圖9所示。

圖9 片齒耦合彈簧模型Fig.9 Coupling spring model of slices注:dKti為片齒剛度;Kci(i+1)為耦合彈簧等效剛度。

結(jié)合式(15),Kci(i+1)可表示為[37]:

(18)

筆者將片齒剛度和耦合彈簧剛度用對(duì)角矩陣K表示,在力平衡原理的基礎(chǔ)上,可得表達(dá)式如下:

F=K·δ

(19)

式中:F為片齒載荷矩陣;δ為片齒變形矩陣;矩陣F和δ中的元素分別是Fi和dδti。

根據(jù)力平衡原則,可得總的外力F表達(dá)式為:

(20)

在嚙合力F作用下,齒輪副的片齒副變形示意圖如圖10所示。

圖10 串聯(lián)彈簧模型Fig.10 Series spring model

根據(jù)串聯(lián)彈簧理論,并結(jié)合式(16)、式(18),可得如下關(guān)系式:

(21)

式中:dδi為片齒副總變形。

結(jié)合式(21),可得片齒各變形分量關(guān)系如下:

(22)

結(jié)合式(18)～式(22)可以計(jì)算dδi,輪齒副總變形δ可表示為:

δ=Max(dδi),(i=1,2,…,N)

(23)

結(jié)合式(23),輪齒副總剛度K(pg)可表示為:

(24)

結(jié)合式(17),單齒嚙合剛度Ke表達(dá)式為:

(25)

結(jié)合式(3),各片齒對(duì)之間的齒形誤差可表示為:

E=[E1,E2,E3,…EN]T

(26)

結(jié)合式(19),當(dāng)雙齒嚙合時(shí),可得到如下表達(dá)式:

(27)

式中:角標(biāo)1和2為齒對(duì)1和齒對(duì)2。

雙齒嚙合時(shí),根據(jù)力平衡法則可得到:

F=F1+F2

(28)

式中:F1為齒對(duì)1嚙合力;F2為齒對(duì)2嚙合力。

只需設(shè)定初始載荷分配系數(shù),根據(jù)式(28)即可得到各齒對(duì)的嚙合力。同時(shí),結(jié)合式(15),以及式(18)～式(22),即可計(jì)算各齒對(duì)的剛度矩陣以及變形列陣。綜合式(26)～式(27),即可迭代出穩(wěn)定的載荷分配系數(shù)。在此基礎(chǔ)上,通過(guò)式(23)～式(25)計(jì)算,即可得到各接觸對(duì)的單齒嚙合剛度Ke。

傳統(tǒng)多齒嚙合剛度計(jì)算方法如圖11所示。

圖11 多齒嚙合齒基剛度傳統(tǒng)計(jì)算方法Fig.11 Traditional method of multi-tooth meshing foundation stiffness

根據(jù)圖11所示并聯(lián)剛度模型,多齒嚙合剛度K可以表示為:

(29)

式中:n為嚙合齒對(duì)數(shù)。

實(shí)際上,兩齒對(duì)嚙合時(shí),多齒共享一個(gè)齒基。

MA Hui等人[19]66-67提出了一個(gè)改進(jìn)的多齒嚙合齒基剛度計(jì)算方法。

多齒嚙合齒基剛度改進(jìn)模型如圖12所示。

圖12 多齒嚙合齒基剛度改進(jìn)計(jì)算方法 Fig.12 Improved method of multi-tooth meshing foundation stiffness

圖12中,λ為齒基剛度的修正系數(shù)。單齒嚙合時(shí)λ等于1;多齒嚙合時(shí),利用有限元法可以得到λ,具體計(jì)算流程見(jiàn)文獻(xiàn)[19]66-67。

改進(jìn)后的多齒對(duì)嚙合齒基剛度可表示為:

(30)

筆者結(jié)合式(25)、式(29)、式(30),可得改進(jìn)的多齒嚙合剛度K表達(dá)式為:

(31)

4 驗(yàn)證與分析

通常來(lái)說(shuō),采用實(shí)驗(yàn)法對(duì)齒輪副嚙合剛度的計(jì)算是最符合實(shí)際的。然而,進(jìn)行實(shí)驗(yàn)需要昂貴的特殊設(shè)備,且易受到安裝誤差和設(shè)備測(cè)量精度等外部條件影響。因此,有限元法被許多研究者采用,這種方法可以自動(dòng)考慮實(shí)際齒形誤差的影響。

筆者采用文獻(xiàn)[38]的有限元分析方法進(jìn)行齒輪副靜力學(xué)分析,以完成解析模型驗(yàn)證。齒輪內(nèi)孔施加耦合約束,并添加相應(yīng)邊界與載荷條件;接觸面之間通過(guò)接觸單元進(jìn)行耦合,接觸行為為標(biāo)準(zhǔn)接觸;分析過(guò)程不考慮動(dòng)力學(xué)效應(yīng);施加扭矩為100 Nm。

用于實(shí)例驗(yàn)證的直齒輪參數(shù)如表1所示。

表1 基本參數(shù)Table 1 Parameters

4.1 模型驗(yàn)證

4.1.1 理想齒廓?jiǎng)偠缺葘?duì)

基于表1參數(shù),筆者運(yùn)用有限元法計(jì)算得到齒基剛度修正系數(shù)λ為1.19。

筆者運(yùn)用上述齒向修鼓和軸向錯(cuò)位直齒輪副剛度計(jì)算方法,對(duì)齒向修鼓量和軸向錯(cuò)位量為0時(shí)的理想齒廓直齒輪副時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行計(jì)算,并將其結(jié)果與文獻(xiàn)[25]450-452的累積積分勢(shì)能法和有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如圖13所示。

圖13 時(shí)變嚙合剛度對(duì)比Fig.13 Comparison of time-varying mesh stiffness注:實(shí)線、虛線、點(diǎn)畫(huà)線為筆者提出的嚙合剛度計(jì)算方法、文獻(xiàn)[25]方法以及有限元法的嚙合剛度曲線。

從圖13中可以看出:采用3種方法得到的計(jì)算結(jié)果非常接近,曲線的變化趨勢(shì)一致;運(yùn)用筆者提出的嚙合剛度計(jì)算方法計(jì)算理想齒廓直齒圓柱齒輪的時(shí)變嚙合剛度與采用文獻(xiàn)[25]方法的計(jì)算結(jié)果相同,這是由于理想齒廓直齒輪副各片齒間的變形相同,片齒間沒(méi)有力的傳遞,說(shuō)明運(yùn)用筆者所提出的考慮片齒耦合效應(yīng)的直齒輪副嚙合剛度計(jì)算方法和不考慮耦合效應(yīng)的累積積分勢(shì)能法都能適用于理想齒廓直齒輪剛度計(jì)算。

從數(shù)值上看,基于筆者提出的嚙合剛度計(jì)算方法所計(jì)算得到的時(shí)變嚙合剛度均值為483 kN/mm,基于有限元法的結(jié)果為473 kN/mm,誤差為2.1%;由此可以說(shuō)明,筆者提出的齒向修鼓和軸向錯(cuò)位直齒輪副剛度計(jì)算方法對(duì)齒向修鼓量和軸向錯(cuò)位量為0的理想齒廓直齒輪副時(shí)變嚙合剛度計(jì)算有較高的計(jì)算精度。

4.1.2 誤差直齒輪副剛度比對(duì)

筆者基于表1參數(shù),得到了綜合考慮軸向錯(cuò)位量0.01°、鼓形量0.01 mm時(shí)的接觸跡線以及接觸區(qū)域計(jì)算結(jié)果,如圖14所示。

圖14 接觸跡線以及接觸區(qū)域?qū)Ρ菷ig.14 Contact trace and contact area comparison

圖14(a)是運(yùn)用筆者提出的TCA及LTCA技術(shù)計(jì)算得到的接觸跡線和橢圓長(zhǎng)軸,黑色虛線表示橢圓長(zhǎng)軸,黑色實(shí)線和黑色實(shí)心點(diǎn)分別表示接觸跡線以及不同瞬時(shí)時(shí)刻的接觸點(diǎn)。

圖14(b)是有限元計(jì)算結(jié)果,云圖區(qū)域則是實(shí)際承載接觸區(qū),圖中標(biāo)記的黑色實(shí)線表示接觸跡線。經(jīng)對(duì)比可知,兩種方法的計(jì)算結(jié)果相近;接觸點(diǎn)、接觸線以及接觸范圍的準(zhǔn)確計(jì)算也為后續(xù)的嚙合剛度模型建立打下基礎(chǔ)。

在此基礎(chǔ)上,筆者分別運(yùn)用提出的方法、文獻(xiàn)[25]方法以及有限元法,對(duì)該錯(cuò)位量與鼓形量下的直齒輪副時(shí)變嚙合剛度分別進(jìn)行計(jì)算。

具體的時(shí)變嚙合剛度結(jié)果對(duì)比如圖15所示。

圖15 時(shí)變嚙合剛度對(duì)比Fig.15 Comparison of time-varying mesh stiffness

由圖15可知:運(yùn)用筆者提出的齒向修鼓和軸向錯(cuò)位直齒輪副剛度計(jì)算方法計(jì)算得到的嚙合剛度結(jié)果略高于有限元結(jié)果,文獻(xiàn)[25]方法的計(jì)算結(jié)果略低于有限元;從數(shù)值上看,運(yùn)用筆者提出的齒向修鼓和軸向錯(cuò)位直齒輪副剛度計(jì)算方法計(jì)算得到的時(shí)變嚙合剛度均值為339 kN/mm,文獻(xiàn)[25]450-452方法的剛度均值為315 kN/mm,有限元的剛度均值為329 kN/mm,兩者與有限元結(jié)果的誤差分別為3%和4.2%;由此可以看出,筆者提出的齒向修鼓和軸向錯(cuò)位直齒輪副剛度計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果精確度高于文獻(xiàn)[25]方法的計(jì)算結(jié)果的精確度。

以上結(jié)果說(shuō)明,對(duì)于齒面間存在非線性接觸的齒輪副,運(yùn)用微元法對(duì)輪齒進(jìn)行切片處理計(jì)算時(shí)變嚙合剛度時(shí)(由于各片齒變形不同導(dǎo)致片齒間有力相互傳遞),考慮此片齒間耦合效應(yīng)的時(shí)變嚙合剛度計(jì)算方法的計(jì)算精度要略高于不考慮片齒耦合效應(yīng)的累積積分勢(shì)能法的計(jì)算精度[39-41]。

除此之外,相較于理想齒廓,考慮齒向修鼓和軸向錯(cuò)位后的齒輪副剛度均值降低了30%,可以看出齒向修鼓和軸向錯(cuò)位對(duì)齒輪副的剛度有較大的影響。

4.2 誤差對(duì)嚙合剛度的影響分析

4.2.1 錯(cuò)位量對(duì)嚙合剛度的影響

基于表1參數(shù),筆者將軸向錯(cuò)位量分別設(shè)置為0.01°、0.02°、0.03°、0.04°,得到了不同錯(cuò)位量的嚙合剛度計(jì)算結(jié)果,如圖16所示。

圖16 不同錯(cuò)位量的嚙合剛度Fig.16 Mesh stiffness with different misalignments

從圖16中可以看出:隨著錯(cuò)位量的增大,嚙合剛度顯著減小,呈負(fù)相關(guān);這是由于錯(cuò)位量增大,接觸區(qū)逐漸從齒面中部向齒端偏移,受曲率的影響,使得參與嚙合的輪齒范圍減小,即接觸長(zhǎng)軸逐漸減小,進(jìn)而導(dǎo)致輪齒幾何剛度、非線性赫茲接觸剛度以及綜合嚙合剛度減小。

從曲線的變化規(guī)律上看,剛度的變化與錯(cuò)位量間并無(wú)明顯的線性關(guān)系。在實(shí)際裝配或者工程應(yīng)用中,難以避免地會(huì)造成錯(cuò)位量。

因此,對(duì)錯(cuò)位狀態(tài)下的齒輪副嚙合剛度或者動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析時(shí),錯(cuò)位量的影響不可忽略。

4.2.2 鼓形量對(duì)嚙合剛度的影響

基于表1參數(shù),在鼓形量分別為10 μm、15 μm、20 μm、25 μm時(shí),可以得到嚙合剛度的計(jì)算結(jié)果,如圖17所示。

圖17 不同鼓形量的嚙合剛度Fig.17 Mesh stiffness with different lead crown reliefs

從圖17中可以看出:時(shí)變嚙合剛度隨著鼓形量的增大而減小,呈負(fù)相關(guān);這是由于鼓形量的增大會(huì)導(dǎo)致曲率增大、曲率半徑減小,進(jìn)而使承載狀態(tài)下的橢圓接觸區(qū)范圍減小,參與嚙合的輪齒部分減少,導(dǎo)致幾何剛度、非線性赫茲接觸剛度以及綜合嚙合剛度減小。

從曲線的變化趨勢(shì)上看,嚙合剛度的變化與鼓形量并無(wú)明顯的線性關(guān)系,該結(jié)果說(shuō)明,對(duì)齒向修鼓的齒輪副時(shí)變嚙合剛度以及動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析時(shí),不能忽略該參數(shù)的影響。

綜上所述,考慮軸向錯(cuò)位以及鼓形量導(dǎo)致的齒輪副局部共軛接觸,受載狀態(tài)下會(huì)產(chǎn)生橢圓形的變形區(qū)域;不同的錯(cuò)位量、鼓形量會(huì)造成不同的接觸特征,從而影響輪齒幾何剛度、片齒耦合剛度以及赫茲接觸剛度。

然而從圖16～圖17中可看出,這種影響規(guī)律目前無(wú)法用一個(gè)公式或者影響系數(shù)的泛值來(lái)表示,因?yàn)檫@種影響并無(wú)明顯的線性可言。

5 結(jié)束語(yǔ)

筆者在直齒輪齒向修鼓和軸向錯(cuò)位模型的基礎(chǔ)上,結(jié)合彈性力學(xué)理論計(jì)算了加載狀態(tài)下的嚙合特征;然后,結(jié)合勢(shì)能法以及切片理論,推導(dǎo)了齒向修鼓和軸向錯(cuò)位直齒輪副改進(jìn)時(shí)變嚙合剛度的解析式;最后,將其與有限元結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析,驗(yàn)證了解析模型的有效性;并分析了不同鼓形量和錯(cuò)位量對(duì)直齒輪副嚙合特性的影響。

研究結(jié)果表明:

1)理想齒廓下的齒輪副,由于接觸線上的載荷分配均勻,片齒間沒(méi)有力的傳遞,考慮耦合效應(yīng)與不考慮耦合效應(yīng),運(yùn)用累積積分勢(shì)能法均能獲得準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果;

2)基于提出的TCA與LTCA技術(shù)能夠準(zhǔn)確計(jì)算齒向修鼓和軸向錯(cuò)位直齒輪副瞬時(shí)接觸點(diǎn)、接觸跡線以及加載接觸范圍等嚙合特征,是準(zhǔn)確構(gòu)建嚙合剛度模型的前提;

3)運(yùn)用微元法對(duì)軸向錯(cuò)位及齒向修鼓齒輪副時(shí)變嚙合剛度進(jìn)行計(jì)算時(shí),考慮片齒耦合效應(yīng)的計(jì)算結(jié)果略大于有限元結(jié)果,不考慮耦合效應(yīng)采取累積積分勢(shì)能法的計(jì)算結(jié)果小于有限元結(jié)果;前者計(jì)算精度更高,誤差為3%。因此,提出的齒向修鼓和軸向錯(cuò)位直齒輪副剛度計(jì)算方法能夠有效、精確地對(duì)齒向修鼓和軸向錯(cuò)位直齒輪副剛度激勵(lì)進(jìn)行求解;

4)軸向錯(cuò)位與鼓形齒都會(huì)對(duì)嚙合剛度有顯著影響,增大軸向錯(cuò)位與鼓形量均會(huì)造成輪齒幾何剛度、赫茲接觸剛度以及綜合嚙合剛度減小;但是,這種影響并無(wú)明顯的線性規(guī)律。因此,在對(duì)齒輪副嚙合剛度的分析以及動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究時(shí),不可忽略軸向偏差以及鼓形量的影響;

5)對(duì)于考慮修形、軸向錯(cuò)位等的局部接觸斜齒輪以及錐齒輪副等,嚙合剛度計(jì)算中若采用切片法,需考慮片齒間的耦合效應(yīng);此外,提出的齒向修鼓和軸向錯(cuò)位直齒輪副剛度計(jì)算方法也可進(jìn)一步推廣到局部接觸齒輪副的嚙合剛度計(jì)算中,為齒輪副動(dòng)力學(xué)模型的構(gòu)建和分析提供理論基礎(chǔ)。

由于實(shí)際嚙合過(guò)程中,受載導(dǎo)致支撐構(gòu)件變形,嚙合副會(huì)發(fā)生軸向錯(cuò)位。因此,在后續(xù)的研究中,筆者將以嚙合激勵(lì)為切入點(diǎn),構(gòu)建多部件柔性耦合動(dòng)力學(xué)模型,以激勵(lì)波動(dòng)趨勢(shì)為參量標(biāo)準(zhǔn),有效進(jìn)行齒向修鼓等齒面修形優(yōu)化。