盧鴻榮

(廣東省核工業(yè)地質(zhì)局測繪院,廣東 廣州 510800)

0 引言

隨著中國城市化進(jìn)程的不斷推進(jìn),超高層建筑物、大型商場、地鐵、地下街道等基礎(chǔ)設(shè)施的數(shù)目快速增長,使得基坑開挖的規(guī)模、深度和難度不斷增加。在基坑施工過程中,對基坑的變形進(jìn)行監(jiān)測以及預(yù)測,對確保施工安全尤為重要[1]。

從20世紀(jì)60年代末開始,國外便開始進(jìn)行基坑變形監(jiān)測,以預(yù)防塌方事故發(fā)生。我國的基坑變形監(jiān)測雖起步較晚,但經(jīng)過多年的發(fā)展,高精度電子水準(zhǔn)儀、智能自動化全站儀、測量機(jī)器人、三維激光掃描儀、全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)等得到了應(yīng)用[2-4]。

在基坑等建筑物變形預(yù)測方面,專家學(xué)者們開展了大量的研究工作。郭松等提出了基于ARMA等模型的基坑沉降時間序列預(yù)測分析方法[5],張巧英等提出了基于灰色模型的位移變形預(yù)測方法[6]。鑒于單一模型各有優(yōu)缺點(diǎn),張善廷等利用時間序列模型和灰色模型進(jìn)行組合,并通過工程實(shí)例驗(yàn)證了組合模型的可行性[7]。劉杰、王璐、滕浩等將傳統(tǒng)預(yù)測模型與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行組合,取得了比單一模型更好的效果[8-10]。此外,還有馬爾科夫鏈、支持向量機(jī)、卡爾曼濾波等方法被用于基坑變形的預(yù)測研究[11-13]。

考慮到在基坑監(jiān)測中獲取的數(shù)據(jù)中既包含有基坑變形的趨勢信號又包含有噪聲信號,本文將奇異譜分析和灰色預(yù)測模型進(jìn)行結(jié)合,通過奇異譜分析重構(gòu)趨勢信號,提升灰色模型的擬合優(yōu)度和基坑變形預(yù)測的準(zhǔn)確度。

1 奇異譜分析

奇異譜分析(Singular Spectrum Analysis,SSA)是一種強(qiáng)大的非線性時間序列分析工具,能根據(jù)觀測數(shù)據(jù)構(gòu)造軌跡矩陣,然后進(jìn)行分解和重構(gòu),以提取出代表原始時間序列不同成分的分量,包括趨勢、周期、噪聲等分量,從而能更準(zhǔn)確地對時間序列進(jìn)行分析和預(yù)測。奇異譜分析主要包括以下4個步驟[14]：

1)嵌入：通過選擇合適的窗口將原始的一維時間序列,{X(t)：t=1,2,…,N},轉(zhuǎn)換到相空間,得到軌跡矩陣：

(1)

式中：K=N-L+1。

(2)

3)分組：將下標(biāo)分組為不相交的子集I1,I2,…,Im,并在組內(nèi)進(jìn)行相加,例如,對子集I1={1,2,…,p},相應(yīng)地YI1=Y1+Y2+…+Yp,進(jìn)而有Y=YI1+YI2+…+YIm。

(3)

2 灰色系統(tǒng)模型

在深基坑施工過程中,由于造成基坑各項(xiàng)變形的力學(xué)構(gòu)成因素以及地質(zhì)因素等復(fù)雜多變,很難明確地分析這些因素及其影響力,因此通過精密的力學(xué)模型來實(shí)現(xiàn)對深基坑變形的有效分析是很難的?；疑到y(tǒng)理論可通過如累加、累減、映射等信息處理方式,弱化原始數(shù)據(jù)序列的隨機(jī)性,將其轉(zhuǎn)化為有規(guī)律的數(shù)據(jù)序列,并通過一階線性微分方程進(jìn)行近似的離散,建立起帶參數(shù)的灰色模型,利用最小二乘方法對該灰色模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì),將得到的預(yù)測數(shù)據(jù)序列進(jìn)行逆變換獲得原始的預(yù)測序列,并與原始系列進(jìn)行對比,檢驗(yàn)灰色模型的預(yù)測精度[15]。

文獻(xiàn)[15]對灰色模型進(jìn)行了詳細(xì)的闡述,其中GM(1,1)模型采用一次累加(1-AGO)生成灰色序列,假設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為X(0)={(x(0)(i),i=1,2,…,n},且原始數(shù)據(jù)序列為非負(fù)單調(diào)的,其一次累加生成的灰色序列為X(1)={x(1)(k),k=1,2,…,n},其中：

(4)

令生成的新的數(shù)據(jù)序列X(1)的緊鄰均值生成序列為Z(1)={z(1)(k),k=2,3,…,n},其中：

z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)

(5)

則定義基本灰微分方程為：

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(6)

式中：x(0)(k)代表灰系數(shù);a代表發(fā)展系數(shù);z(1)(k)代表白化背景值;b代表灰作用量。

將k=2,3,…,n代入式(6)中的基本灰微分方程可以得到：

(7)

將式(7)整理成矩陣形式有：

yn=BP

(8)

式中：yn=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T;

求解式(8)中的矩陣方程,得到P的解：

(9)

3 奇異譜分析-灰色串聯(lián)預(yù)測模型

當(dāng)原始數(shù)據(jù)中包含較多噪聲時,灰色模型無法區(qū)分有效信息與噪聲信息,從而可能導(dǎo)致預(yù)測模型精度不高。為了提高基坑變形分析的準(zhǔn)確性,本文在利用監(jiān)測信號進(jìn)行預(yù)測分析之前先對信號進(jìn)行降噪處理。

首先,對獲取的基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行延時嵌入相空間,通過奇異值分解獲得特征值與特征向量。然后,篩選貢獻(xiàn)率最大的幾個特征值為一組,并根據(jù)該組的合成矩陣重構(gòu)出基坑變形的趨勢信號。最后,從當(dāng)前時點(diǎn)往前選取一段時間的監(jiān)測數(shù)據(jù)用于構(gòu)建灰色系統(tǒng),并對未來多個時間步的變形進(jìn)行預(yù)測。奇異譜分析-灰色模型流程圖見圖1。

圖1 奇異譜分析-灰色模型流程圖Fig.1 Flowchart of singular spectrum analysis-grey prediction model

4 工程案例

4.1 工程概況

廣州某人行地道采用“工”字形布置,主通道長度為85 m。地道凈寬為4 m,凈高為3 m,地道內(nèi)設(shè)置了泵房、設(shè)備房及電梯井。鋼板樁以內(nèi)的基坑最寬處寬為9.610 m,最深處深為8.937 m,人行通道主體部分的基坑深度為5.80 m;每個基坑周長均為410.79 m。

4.2 測點(diǎn)布置

該工程共布設(shè)了28個水平位移和沉降監(jiān)測點(diǎn),沿基坑坡頂采用淺埋式布設(shè)水平和沉降一體化布置,編號為S29～S56,平均布點(diǎn)間距為14.7 m,監(jiān)測點(diǎn)布設(shè)如圖2所示。 監(jiān)測時間覆蓋從基坑開挖至土方回填結(jié)束的全過程。從2017年5月23日至2017年7月3日,歷時42 d,最小監(jiān)測間隔1次/d,最大監(jiān)測間隔1次/5 d,總監(jiān)測期數(shù)為22次。因篇幅所限,本文以S52號監(jiān)測點(diǎn)沉降數(shù)據(jù)、S53號監(jiān)測點(diǎn)水平位移數(shù)據(jù)為例,實(shí)測數(shù)據(jù)詳見表1,展開變形預(yù)測分析。

表1 監(jiān)測點(diǎn)S52和S53的實(shí)測數(shù)據(jù)

圖2 監(jiān)測點(diǎn)布設(shè)圖Fig.2 Layout of monitoring points

4.3 數(shù)據(jù)重構(gòu)

首先,選取嵌入延時為1和嵌入維度為7,將基坑變形的原始監(jiān)測數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為軌跡矩陣。通過奇異值分析,獲得一系列的特征根和特征向量。選取貢獻(xiàn)率大于0.001的特征值進(jìn)行組合與重構(gòu),獲得基坑變形的趨勢分量。

圖3(a)為采用奇異譜分析對S52監(jiān)測點(diǎn)沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)前后的對比圖。其中,圓形曲線為實(shí)測數(shù)據(jù),正方形曲線為重構(gòu)后的數(shù)據(jù)。圖3(b)為重構(gòu)前后曲線的殘差,經(jīng)ADF檢驗(yàn)和KPSS檢驗(yàn),結(jié)果表明殘差為平穩(wěn)序列,也就是說殘差中已不包含趨勢分量,說明重構(gòu)序列已充分反映基坑變形的趨勢。對比重構(gòu)前后的曲線,可見原始監(jiān)測數(shù)據(jù)存在一定的波動,部分觀測值偏離主趨勢,如第3、12、13數(shù)據(jù)點(diǎn)。通過奇異譜分析和重構(gòu),變成一條能夠更好反映變化趨勢的平滑曲線,有利于后續(xù)預(yù)測模型的構(gòu)建。

圖3 基坑變形S52監(jiān)測點(diǎn)沉降數(shù)據(jù)重構(gòu)Fig.3 Reconstruction of settlement data for monitoring point S52 for foundation pit deformation

圖4(a)為采用奇異譜分析對S53監(jiān)測點(diǎn)水平位移數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)前后的對比圖。其中,圓形曲線為實(shí)測數(shù)據(jù),正方形曲線為重構(gòu)后的數(shù)據(jù)。圖4(b)為重構(gòu)前后曲線的殘差。從圖4中可見,原始監(jiān)測數(shù)據(jù)存在較大波動,在第10、19個數(shù)據(jù)點(diǎn)之后的幾個點(diǎn)出現(xiàn)了與主趨勢相反的變化。通過奇異譜分析和重構(gòu),水平位移數(shù)據(jù)變得更為平滑,且變化趨勢更為規(guī)律,有利于后續(xù)預(yù)測模型的構(gòu)建。

圖4 基坑變形S53監(jiān)測點(diǎn)水平位移數(shù)據(jù)重構(gòu)Fig.4 Reconstruction of horizontal displacement data for monitoring point S53 for foundation pit deformation

4.4 趨勢預(yù)測

對經(jīng)過重構(gòu)后的S52和S53監(jiān)測點(diǎn)的數(shù)據(jù),建立灰色模型。在建模過程中取n=8期(13-20期)觀測數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),并預(yù)測后兩期數(shù)據(jù)(21、22期)。模型預(yù)測值和重構(gòu)值對比如圖5所示。通過計(jì)算模型的后驗(yàn)方差比C和小誤差概率p對兩個監(jiān)測點(diǎn)的灰色模型進(jìn)行檢驗(yàn)。S52點(diǎn)的后驗(yàn)方差比C=0.012 5,小誤差概率p=100%,S53點(diǎn)的后驗(yàn)方差比C=0.018,小誤差概率p=100%,說明兩個監(jiān)測點(diǎn)的預(yù)測模型效果好。

圖5 基坑變形的預(yù)測結(jié)果Fig.5 Prediction results of foundation pit deformation

為了對比本文采用的奇異譜分析-灰色串聯(lián)模型和直接采用灰色模型的預(yù)測精度,對S52點(diǎn)和S53點(diǎn)的觀測數(shù)據(jù)分別建立兩種模型?？紤]到參與模型預(yù)測的原始數(shù)據(jù)序列長度不同,獲得的模型精度不同,分別選取不同維度的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行模型預(yù)測,并計(jì)算預(yù)測值和實(shí)測值的平均誤差對比模型精度。對于監(jiān)測點(diǎn)S52和S53,以第20期數(shù)據(jù)為原點(diǎn),分別向前取長度為4到20的觀測數(shù)據(jù)作為建模輸入數(shù)據(jù),例如n=6的數(shù)據(jù)為第15到第20期觀測數(shù)據(jù),預(yù)測第21、22期數(shù)據(jù)。對于S52和S53,兩種預(yù)測模型的誤差對比分別如表2和表3所示。

表2 采用不同模型對S52監(jiān)測數(shù)據(jù)的預(yù)測誤差對比

表3 采用不同模型對S53監(jiān)測數(shù)據(jù)的預(yù)測誤差對比

通過對比,可以看出：

1)模型精度：奇異譜分析-灰色模型的后驗(yàn)方差普遍小于灰色模型的后驗(yàn)方差。因?yàn)橥ㄟ^奇異譜分析,去除了數(shù)據(jù)中的噪聲干擾,使數(shù)據(jù)變化趨勢的規(guī)律性得以增強(qiáng),有助于GM(1,1)建模,因此奇異譜分析-灰色混合模型較單純灰色系統(tǒng)模型精度更高。

2)預(yù)測精度：在任意維度下,奇異譜分析-灰色模型的預(yù)測精度均優(yōu)于單純使用灰色模型。對于監(jiān)測點(diǎn)S52,直接采用灰色系統(tǒng)模型的各維平均相對誤差的均值為11.73%,而奇異譜分析-灰色系統(tǒng)模型的平均相對誤差為9.5%;對于監(jiān)測點(diǎn)S53,直接采用灰色系統(tǒng)模型的各維平均相對誤差的均值為14.5%,奇異譜分析-灰色系統(tǒng)模型為9.4%。

5 結(jié)束語

本文采用奇異譜分析-灰色混合模型對基坑變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。首先,采用奇異譜分析對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu),然后采用灰色系統(tǒng)進(jìn)行建模和預(yù)測。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：經(jīng)過奇異譜分析重構(gòu)的監(jiān)測數(shù)據(jù)更具有規(guī)律,利于預(yù)測模型構(gòu)建;在不同數(shù)據(jù)維度下,奇異譜分析-灰色混合模型的預(yù)測精度均優(yōu)于直接采用灰色系統(tǒng)模型的預(yù)測精度。本文方法可幫助基坑工作人員掌握基坑變形情況和預(yù)測變化趨勢,更好地指導(dǎo)基坑施工。