何宗友

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1875年Lucas[1]問丟番圖方程

6y2=x(x+1)(2x+1)

(1)

的正整數(shù)解是否僅有(x,y)=(1,1),(24,70).1919年Watson[2]利用橢圓函數(shù)對該問題作出了肯定的回答,1952年Ljunggren[3]利用四次代數(shù)擴域中的Pell方程給出了一個新的證明,然而他們的證明都不是初等的.1969年Mordell[4]問能否給出一個初等證明.該問題在1981年被Richard[5]收入UnsolvedProblemsinNumberTheory一書中.1985年馬德剛[6]給出一個初等證明,但其篇幅長達一萬余字;同年徐肇玉和曹珍富[7]也宣布給出了一個初等證明.1990年洪伯陽[8]問能否給出簡短的初等證明.1994年筆者[9]簡化了文獻[6]的部分初等證明;2023年筆者[10]給出了一個十分簡短且直接的初等證明.注意到丟番圖方程

6y2=x(x+1)(x+2)

(2)

在2|x時就是方程(1),因而此時方程(2)僅有兩組正整數(shù)解(x,y)=(2,2),(48,140).1996年曹珍富[11]證明了當p是奇素數(shù)時,丟番圖方程

2py2=x(x+1)(x+2)

(3)

管訓貴[12]提出了如下猜想:設(shè)素數(shù)p≡1(mod 8),則方程(3)的正整數(shù)解只有

(p,x,y)=(17,16,12),(577,576,408),(665857,665856,470862).

1 相關(guān)引理

引理1[13]設(shè)p是奇素數(shù),則丟番圖方程4x4-py2=1的正整數(shù)解只有

(p,x,y)=(3,1,1),(7,2,3).

引理2[14,15]設(shè)p是奇素數(shù),則丟番圖方程x4-2py2=1的正整數(shù)解只有(p,x,y)=(3,7,20).

引理5[18,19]設(shè)L,M是整數(shù),L>0,gcd(L,M)=1,定義Lehmer數(shù)Pn為

這里t是整數(shù).

2 主要結(jié)果的證明

我們主要證明定理1.

設(shè)方程(3)在p≡1(mod 8)時有正整數(shù)解(x,y).注意到x+1與x(x+2)互素,故有以下四種情況.

情況12p|x+1.此時可設(shè)

(4)

情況22|x+1,p|x(x+2).此時可設(shè)

(5)

情況32p|x(x+2).此時可設(shè)

(6)

情況4p|x+1,2|x(x+2).此時可設(shè)

(7)

最后考慮情況4.由(7)得

(8)

(9)

(10)

(i)h=1.此時由(10)得

(11)

或

(12)

(ii)h=q.此時由(10)得

(13)

或

(14)

(15)

(16)

由(16)得

(17)

(18)

定理1證畢.

只需在定理1的證明過程中將(8)中的系數(shù)2改為d,重復(8)之后的步驟,就可證明定理2.

致謝泰州學院的管訓貴教授對本文提出了寶貴的修改意見,筆者在此表示衷心的感謝!