江蘇省泰興師范附屬小學教育集團東陽分校 趙小進

當我們把課堂教學目標的實現(xiàn)更多地聚集于學的行為時，顯然，對教的行為提出了更為嚴苛的要求，學的自覺更多地要求教的主體性的自覺與自省，深度地學對深度地教提出了更高的要求。如何把更多的時間讓給學生自覺地思維與表達，是對教師綜合能力的挑戰(zhàn)。課堂教學中，師生協(xié)同、生生協(xié)同生長成為當下社會高度關注與研究的問題。協(xié)同學習的基本前提是教師與教材的協(xié)同，教師對教材的認知深度影響著教學目標的確定，影響著課堂中問題情境的創(chuàng)設。在實踐中，我們認為，鮮明的教學主題與清晰的數(shù)學言語，更能喚起學生學的激情和探究的欲望。

一、問題提出

教材是課堂中教師教學信息傳遞的重要來源，是“他者知識”和眾多學者專家智慧的結(jié)晶。研讀教材的深度是課堂教學質(zhì)量高低的基本保證，讀細、讀活、讀透教材也是教師的基本功之一。

“雙周一研”是筆者所在學校教師專業(yè)成長的重要平臺之一，研討課之后的“教研沙龍”也是教研組思維碰撞的高光時刻。在一次研討活動中，六年級教研組對一位青年教師執(zhí)教“圖形的放大與縮小”一課的現(xiàn)場進行了討論。一位教師對例題中的描述產(chǎn)生了疑問：“教材例題描述‘把左邊的三角形按比例縮小后得到右邊的三角形’，題中‘按比例縮小’是不是應為‘按比縮小’？類似地，是‘按比例分配’還是‘按比分配’？”

這一問題的提出，激起所有教師的熱烈討論。大家議論紛紛，各執(zhí)一詞。一直以來，大家對“比”和“比例”這兩個概念的理解，都會聚焦于“比表示兩個數(shù)相除，是描述兩個量之間的關系”和“比例是等式”的概念描述，于是自然地會產(chǎn)生這樣的疑問：“難道‘比’和‘比例’在另一個語境中會有同樣的意義嗎？”在討論之后，筆者把教師們的想法歸納為兩類：一類認為教材中既然有了“按比例分配”這樣的表達，就說明“比”和“比例”這兩個概念在特定的認知階段（小學階段）或特定的語境中是可以理解為相通的；另一類認為數(shù)學概念雖然有數(shù)學表達和生活表達兩種不同的形式，“比”和“比例”這兩個概念有聯(lián)系但是具有不同的內(nèi)涵，不可混為一談。為此，筆者進行了相關資料的查閱學習。

二、資料查閱

為了對“比”和“比例”這兩個數(shù)學概念有更清晰的認識，筆者對不同版本教材的相關內(nèi)容進行了整理、比較。（見表1）

從表1中所羅列的關于“比”和“比例”這兩個概念的描述中，我們可以看出，不同版本教材中關于“比”和“比例”這兩個概念的定義是一致的，都表述為“兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除”和“表示兩個比相等的式子叫作比例”。但在仔細解讀不同版本教材的內(nèi)容時，我們發(fā)現(xiàn)蘇教版教材六年級上、下冊都出現(xiàn)了“按比例分配”的表述，而另外兩種版本的教材均未出現(xiàn)“按比例分配”的相關表述。

與蘇教版小學數(shù)學教材配套的六年級上冊《教師教學用書》中指出“按比例分配的實際問題”教學要求，在教材說明板塊指出“這部分內(nèi)容主要教學應用比的意義和基本性質(zhì)解答有關按比例分配的實際問題”。筆者認為，教師們對“比”還是“比例”的問題討論，根源可能就在這里了。而問題產(chǎn)生的情境就是在蘇教版數(shù)學六年級下冊教材中，“圖形的放大和縮小”一節(jié)中出現(xiàn)了兩段表述：“放大后的長方形與原來長方形對應邊長的比是2 ：1，就是把原來的長方形按2 ：1的比放大”“把左邊的三角形按比例縮小后得到右邊的三角形”。同一知識點有兩種不同的表述，我們可能會理解為，這兩句表述似乎表明“比”和“比例”是同一個概念，是不是這樣的呢？

筆者在閱讀其余兩個版本教材的相關內(nèi)容時，均未發(fā)現(xiàn)有類似于“按比例分配”的表述。

關于“比”，史寧中教授在《小學數(shù)學教科書中的比及其教學》一文中進行了深度研究和具體描述，他指出，教學“比”這一概念時，要結(jié)合具體情境、舉例說明，舉出的例子要明確針對的是表達的比，還是度量的比，論證了比的本質(zhì)是兩個數(shù)量倍數(shù)關系的表達與度量。史寧中教授還指出了“比”與“比例”的關系：用兩個比相等的式子來表示比例，蘊含了兩個變量倍數(shù)關系的不變性。小學階段學習“比”和“比例”，一是為了日常生活的需要，二是為學生今后學習函數(shù)做鋪墊。因此，這些內(nèi)容的教學應該讓學生感悟變量，以及變量之間的關系。

潘小福老師認為，學生在學習中，容易出現(xiàn)比的數(shù)學化表達與生活化理解的辨別問題，即數(shù)學中的比與生活中的比的認識盲區(qū)。此時，教師需要借助具體實例來豐富其概念。

這樣看來，“比”和“比例”作為數(shù)學概念有本質(zhì)區(qū)別，且與生活有著緊密的聯(lián)系。數(shù)學語言是有生活表達和數(shù)學表達兩個層面的含義的，那么，“比”和“比例”在生活中是否有相似的意義呢？“按比分配”與“按比例分配”是否有其數(shù)學表達意義的一致性？

新課標對“比”和“比例”有這樣的表述：在實際情境中理解比及按比例分配的含義，并能解決簡單的問題。由此，筆者以為教材中關于“按比例分配”的說法是有依據(jù)的。

數(shù)學語言作為數(shù)學思維的最佳載體，其特點是準確、嚴密、簡明。因此，數(shù)學概念的教與學就成了數(shù)學課堂教學的難點之一。教材借助于數(shù)學語言以文字、符號和圖形等多元形式呈現(xiàn)給師生，數(shù)學語言高度的抽象性、嚴密的邏輯性又會與小學生的認知現(xiàn)實產(chǎn)生不可避免的“碰撞”。那么，一線教師如何解釋這些“碰撞現(xiàn)象”，或如何科學地利用這些“碰撞”，就顯得尤為重要了。

三、解讀感悟

教師與教材的協(xié)同，是課堂教學質(zhì)量的重要保證。

教材內(nèi)容是課堂教學設計的重要依據(jù)之一，教材內(nèi)容的表達對教師的課堂問題的提出及問題的解決都具有指導性意義。教材也是一線教師組織教學活動的重要依據(jù)，數(shù)學概念的表述應保持穩(wěn)定性和一致性，以盡量排除師生理解概念時的干擾。特別在小學階段，學生的思維特點是從具象思維走向形象思維，在這一發(fā)展過程中，理解概念離不開具體的情境，也離不開對具有科學性的數(shù)學語言的理解依賴。事實上，學生對概念抽象的理解一定是建立在更多的具體情境之上的。基于前文的分析與考量，筆者認為，如果把“按比例分配”這一說法修改為“按比分配”可能更為貼切。原因有二，其一，學生學習“比”這一概念時，要避免具有相同意義的“比例”一詞對學習產(chǎn)生干擾，在學習“比例”之前，可以統(tǒng)一用“比”這個概念來進行表述。作為常識的補充，因為生活中“比”和“比例”有時是同義的，教師可以列舉生活中的例子作一個說明，如引導學生認識足球比賽中的“比”一樣，比的含義不僅有表示兩個數(shù)的相除關系，還有兩個數(shù)量多少關系的表達。其二，嚴格意義上的數(shù)學概念的表述在不同學段應保持一致性。作為相通意義的“比”和“比例”，并不是嚴格的數(shù)學語言，而是實際生活中的約定俗成。筆者以為，作為數(shù)學表達的“比”和“比例”在教材中應有嚴格的區(qū)分，在例題或習題的文字描述中應是清晰的。教師在組織教學過程中，也應對“比”和“比例”在部分語境中的相通意義有具體的說明。

課堂實踐證明，精準的數(shù)學語言表達會直接影響思維的質(zhì)量。因此，作為教材，文本的描述應具有一致性和準確性；作為教師，研討教材應更為深刻，應具有刨根問底的精神；作為教學過程，具體有效的學習情境要能讓學生充分領悟生活與數(shù)學的關系。教師只有充分認識到教師與教材協(xié)同的意義，才能詮釋課堂教學中教與學的協(xié)同價值。