黃秀旺

二次函數(shù)是繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后的又一個函數(shù)，是描述現(xiàn)實世界數(shù)量關系的重要的數(shù)學模型。我們學習二次函數(shù)應關注三個方面：

一、體現(xiàn)基本的數(shù)學思想

1.類比思想

首先，類比之前函數(shù)的研究思路（圖1）：在解決生活實際問題的過程中引入了二次函數(shù)概念，再探索二次函數(shù)的性質(zhì)，落腳于用二次函數(shù)知識解決實際問題。

其次，我們在學習具體內(nèi)容時，依然能感受到類比思想。比如，類比一次函數(shù)圖像和反比例函數(shù)圖像，探索二次函數(shù)圖像的畫法；類比一次函數(shù)與一次方程的關系，探索二次函數(shù)與二次方程的關系；類比研究一次函數(shù)時，分k＞0和k＜0兩種情況（反比例函數(shù)亦是如此），對于二次函數(shù)y=ax2，也分a＞0和a＜0兩種情況；等等。

再次，在研究不同二次函數(shù)時也體現(xiàn)了類比思想。比如，已討論了二次函數(shù)y=ax2（a＞0）的圖像與性質(zhì)，那么，我們就可以類比此情況討論二次函數(shù)y=ax2（a＜0）的圖像與性質(zhì)；再如，先討論了函數(shù)y=（x+3）2的圖像與函數(shù)y=x2的圖像之間的關系，就可以通過類比討論函數(shù)y=-（x+3）2的圖像與函數(shù)y=-x2的圖像之間的關系；等等。

2.歸納思想

從例子S=πr2、y=-x2+8x、y=240x2+180x+45中，我們歸納并抽象概括為二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）；觀察函數(shù)y=x2、y=-x2、y=[12]x2、y=2x2、y=[-12]x2、y=-2x2的圖像與性質(zhì)，歸納出函數(shù)y=ax2（a＞0）和y=ax2（a＜0）的圖像與性質(zhì)；在研究函數(shù)y=（x+1）2+2、y=-（x+1）2+2的性質(zhì)后，歸納出函數(shù)y=a（x+h）2+k的性質(zhì)；等等。

3.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想貫穿二次函數(shù)學習的始終。對于最簡單的二次函數(shù)y=x2、y=-x2的研究，我們就是從畫函數(shù)的圖像開始的，然后通過圖像了解它們的性質(zhì)。在研究二次函數(shù)的最大值或最小值時，也是借助函數(shù)圖像的最高點或最低點得到的；探索二次函數(shù)與二次方程的關系時，也是利用函數(shù)圖像與x軸交點的個數(shù)來發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)與二次方程的解（個數(shù)）之間的關系。

二、重視知識之間的聯(lián)系

本章主要研究二次函數(shù)的概念、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程、用二次函數(shù)解決問題等內(nèi)容?！坝么ㄏ禂?shù)法確定二次函數(shù)表達式”與方程是密切相關的，而二次函數(shù)的圖像與橫軸的交點問題，可以轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)的值為0，對應的一元二次方程的根的情況”。因此，函數(shù)與方程是密不可分的，我們到高中學習函數(shù)也是如此。當我們認識到這一點時，便可以主動地將函數(shù)與方程聯(lián)系起來，這樣既強化知識之間的聯(lián)系，也優(yōu)化研究函數(shù)的方法。

三、加強應用，體現(xiàn)模型思想

之前我們在學習一次函數(shù)時，體會到有些實際問題中變量之間的關系可以用一次函數(shù)模型來刻畫，就可以利用一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)來研究，從而解決了實際問題。同樣，如果有些實際問題中變量之間的關系可以用二次函數(shù)模型來刻畫，就可以利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)來研究，這一過程體現(xiàn)了模型思想。比如，教材中出現(xiàn)的“稻田收益最大”“魚塘總產(chǎn)量最大”“小兔活動范圍最大”等有關問題，可以歸結(jié)為求二次函數(shù)的最值問題；又如，“拱橋的水面寬”“拋物線形護欄的不銹鋼管的長度”等有關問題，也可以建立直角坐標系，利用二次函數(shù)解決。總之，我們在學習數(shù)學知識時，應加強與實際生活的聯(lián)系，學以致用，體會模型思想的應用。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學研究室）