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構(gòu)造二次函數(shù),助力問(wèn)題解決

2024-01-30 14:29:30繆娟
初中生世界·九年級(jí) 2023年12期
關(guān)鍵詞:同學(xué)會(huì)過(guò)點(diǎn)一元二次方程

繆娟

在中考試題中,有的題目的已知條件沒(méi)有出現(xiàn)“函數(shù)”或“二次函數(shù)”字眼,但依然可以通過(guò)構(gòu)造二次函數(shù)來(lái)解決。這類(lèi)問(wèn)題,表面上與一般的二次函數(shù)問(wèn)題不同,但實(shí)質(zhì)仍是考查二次函數(shù)的應(yīng)用。

問(wèn)題1 關(guān)于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p為常數(shù))的根的情況,下列結(jié)論中正確的是()。

A.兩個(gè)正根

B.兩個(gè)負(fù)根

C.一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根

D.無(wú)實(shí)數(shù)根

這是2020年南京市的一道中考題。有的同學(xué)會(huì)將方程化為一元二次方程的一般式:x2+x-(2+p2)=0,再聯(lián)想與一元二次方程的根有關(guān)的知識(shí)(根與系數(shù)的關(guān)系),得x1·x2=-(2+p2)<0,據(jù)此判斷方程的兩個(gè)根為一正一負(fù)。除此之外,我們還能從其他角度思考嗎?

我們還可以從二次方程聯(lián)想到二次函數(shù),并借助二次函數(shù)的圖像解決問(wèn)題。由方程(x-1)(x+2)=p2,建立二次函數(shù)y=(x-1)(x+2),其方程是函數(shù)值y=p2的情形。而p2≥0,當(dāng)p2=0時(shí),二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)(1,0)和點(diǎn)(-2,0),即方程(x-1)(x+2)=0的兩個(gè)根是1、-2;當(dāng)p2>0時(shí),二次函數(shù)的圖像與過(guò)點(diǎn)(0,p2)且與x軸平行的直線相交,觀察圖1,可知兩個(gè)交點(diǎn)分別在第一、第二象限,所以?xún)蓚€(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一正一負(fù),即方程(x-1)(x+2)=p2的兩個(gè)根為一正一負(fù)。

問(wèn)題2 解下列關(guān)于x的不等式:

(1)x2-9≥0;(2)在(1)的基礎(chǔ)上思考如何解x3-x≤0。

我們學(xué)過(guò)解一元一次不等式,那如何解問(wèn)題中的不等式呢?對(duì)于第(1)問(wèn),有的同學(xué)會(huì)想到利用因式分解得(x-3)·(x+3)≥0,再分情況討論,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組,從而得到x≥3或x≤-3。你還有其他想法嗎?

我們還可以借助二次函數(shù)的圖像來(lái)解決。先構(gòu)建二次函數(shù)y=x2-9,畫(huà)出它的圖像(圖2),求得二次函數(shù)圖像與x軸交于點(diǎn)(3,0)、(-3,0),再觀察在x軸上方的部分圖像,對(duì)應(yīng)x的范圍為x≥3或x≤-3。

我們還可以通過(guò)移項(xiàng)想到不等式x2≥9。如圖3,先畫(huà)出y=x2的圖像和過(guò)點(diǎn)(0,9)且與x軸平行的直線,再觀察直線上方部分圖像對(duì)應(yīng)x的范圍即可。還有嗎?基于對(duì)不等式x2-9≥0的變形,同學(xué)們還可以構(gòu)造出其他不同的函數(shù),但都是通過(guò)圖像來(lái)求得不等式的解集。它們運(yùn)用的知識(shí)背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法、思想是一致的。

同樣的方法可以解決第(2)問(wèn)嗎?由因式分解得到x(x-1)(x+1)≤0,再分情況討論,求解過(guò)程較復(fù)雜。能構(gòu)建二次函數(shù)求解嗎?題中沒(méi)有二次怎么辦?需要同學(xué)們先對(duì)不等式進(jìn)行變形(兩邊同時(shí)除以x),構(gòu)造出x的二次式。當(dāng)x>0時(shí),不等式轉(zhuǎn)化為x2-1≤0;當(dāng)x<0時(shí),不等式轉(zhuǎn)化為x2-1≥0。類(lèi)比第(1)問(wèn)的解法,問(wèn)題(2)迎刃而解。

如果有同學(xué)想到構(gòu)造y=x3和y=x兩個(gè)函數(shù),再利用它們的圖像來(lái)解決問(wèn)題,簡(jiǎn)直更勝一籌。

問(wèn)題1表面看是一個(gè)方程問(wèn)題,但解答的思路不同,問(wèn)題解決所用的模型就不一樣,思維層次較高的同學(xué)能想到運(yùn)用函數(shù)。再看問(wèn)題2,表面是兩個(gè)不等式問(wèn)題,仍然可以由多個(gè)模型解答,用函數(shù)的眼光來(lái)看:解一元二次不等式,可先建立一個(gè)(或兩個(gè))函數(shù)并畫(huà)出圖像,再觀察圖像確定對(duì)應(yīng)的自變量范圍。

通過(guò)這兩個(gè)問(wèn)題,同學(xué)們應(yīng)當(dāng)能更深刻地體會(huì)到,代數(shù)研究對(duì)象中的“函數(shù)”是所有代數(shù)元素的統(tǒng)一體,運(yùn)用函數(shù)的思想、方法是解決不等式、方程的統(tǒng)領(lǐng)。因此,代數(shù)的學(xué)習(xí)可以用一句話概括:一切皆“函數(shù)”。

(作者單位:江蘇省南京市竹山中學(xué))

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