郭 慶,翟紅波,劉永壽

(1.西安近代化學研究所, 西安 710065;2.西北工業(yè)大學 力學與土木建筑學院, 西安 710129)

0 引言

輸流管道廣泛應用于航空、航天、航海、石油等裝備之中[1-2],常受到寬頻激勵加載,內(nèi)部液體與管道的流固耦合作用會使得管道的固有頻率發(fā)生變化,流體介質(zhì)的種類、流速和壓力都會影響流固耦合作用的強弱,進而影響管道振動模態(tài)[3]。而服役于海洋、土壤深埋或嚴重酸霧環(huán)境的管道,易受到環(huán)境腐蝕,管道結(jié)構(gòu)受到破壞,引起管道固有頻率發(fā)生變化[4]。此外,在輸流管道的設(shè)計、加工、裝配和服役過程中,管道結(jié)構(gòu)、內(nèi)部流體和外部激勵會不可避免的引入不確定性因素,而不確定性因素經(jīng)由管道和流固耦合作用傳遞至管道固有頻率響應,進而導致輸流管道固有頻率具有不確定性[5]。當管道固有頻率與外部激勵頻率接近至一定程度時,會誘發(fā)管道共振現(xiàn)象,可能造成管道系統(tǒng)發(fā)生嚴重失效。

近年來,針對輸流管道振動和可靠性問題,研究人員展開了大量研究。韓濤等[6]采用直曲組集方法對航空復雜液壓管道的模態(tài)進行了分析,獲得了管道布局對“Z”形管道固有頻率的影響規(guī)律。翟紅波等[7]針對均勻流和非均勻流輸流管道,采用七點估計法分別求解了其共振可靠度。劉慶等[8]采用主動學習Kriging算法求解了變截面輸流管道的一階和二階共振失效概率。Zhao等[9]將截斷重要抽樣法引入輸流管道共振失效概率的求解,有效提高了計算效率。Zhang等[10]使用一階可靠性方法分析了液壓管道的時變失效概率。Rastogi 等[11]采用失效評估圖法分析了帶裂紋管道的可靠性水平。Liu等[12]提出了一種壓力脈動和隨機振動條件下液壓管道可靠性定量分析方法。Carera-Miranda等[13]建立上拉細長管的控制方程和極限狀態(tài)方程,分析了參數(shù)激勵不確定性影響下的動態(tài)屈曲可靠性問題。Fan等[14]針對變直徑功能梯度材料輸流管道,采用基于自適應Kriging模型的算法求解輸流管道多階共振失效概率和靈敏度。目前,尚未有學者考慮管道遭受動態(tài)腐蝕對于共振失效的影響,亟需針對輸流管道的時變共振可靠性問題開展研究。

由于時變可靠性問題通常為小失效概率問題,對于可靠性算法的計算效率要求較高。參考輸流管道非時變共振可靠性研究經(jīng)驗,自適應代理模型算法求解非時變共振失效概率十分高效。因此,引入單層主動學習Kriging模型算法(SL-ALK)[15]與基于元模型的重要抽樣法(Meta-IS)[16]結(jié)合的SL-ALK-Meta-IS算法[17]求解時變共振失效概率,并與MCS法、SL-ALK法對比驗證其準確性和高效性。同時,為分析各輸入隨機變量對于管道時變共振可靠性的影響,建立變量全局靈敏度指標[18],求解得到的變量重要性排序可以為輸流管道防共振優(yōu)化設(shè)計提供參考。

本文中,采用Galerkin加權(quán)余量法求解輸流管道固有頻率,建立考慮動態(tài)腐蝕的輸流管道時變防共振功能函數(shù)以及變量靈敏度指標,采用SL-ALK-Meta-IS法求解時變失效概率和變量重要性排序,分析管道結(jié)構(gòu)密度、流體介質(zhì)種類、流體流速對于時變失效概率的影響規(guī)律。

1 輸流管道固有頻率

考慮一長為Lp的兩端簡支等直輸流管道,假定管內(nèi)流體無粘且不可壓縮,即管內(nèi)流體均勻流速。根據(jù)小變形假設(shè)下的Euler-Bernoulli梁模型,輸流管道的橫向振動控制方程為

(1)

式(1)中:m0為單位長度管道內(nèi)流體質(zhì)量;m為單位長度管道質(zhì)量;Uf為管道內(nèi)的流體流速;EI為抗彎剛度;y為管道橫向位移;x為管道軸向位移;t為時間。

引入變分法中的Galerkin加權(quán)余量法求解其近似解,假設(shè),

y(x,t)=u(x)exp(iωt)

(2)

將y的函數(shù)代入方程(1),此時可以消去exp(iωt),即可得到

(3)

兩端簡支輸流管道的邊界條件為

(4)

方程(4)的試函數(shù)取為φλ(x)=sinβλx, (λ=1,2,…,N),此時的近似解函數(shù)為

(5)

式(5)中:aλ為Galerkin系數(shù);N為Galerkin截斷階數(shù);βλ=λπ/Lp, (λ=1,2,…,N)。

將近似解(5)代入方程(3),可得余量

(6)

根據(jù)Galerkin法規(guī)定,權(quán)函數(shù)與試函數(shù)相等,即

Wλ(x)=φλ(x)=sinβλx,(λ=1,2,…,N)

(7)

為了消除余量R,作余量與權(quán)函數(shù)的內(nèi)積,并令其正交,即

(8)

將方程(6)和(7)代入方程(8),可得

(9)

式(9)中:g1(λ,τ)和g2(λ,τ)分別為:

當λ=τ時,

(10)

(11)

當λ≠τ時,

(12)

(13)

方程(9)即為Galerkin方程組,其矩陣形式為

(14)

(λ=1,2,…,N;τ=1,2,…,N)

式(14)中:C是Galerkin系數(shù)矩陣,是ω的函數(shù)。此外

2m0Uf·iωβλg2(λ,τ)-(m+m0)ω2g1(λ,τ)

(15)

方程(14)有非零解的充要條件為

det|C(ω)|=0

(16)

由方程(16)可以求出2N個ω,又因為方程(15)中含有虛數(shù)項,且復特征值共軛出現(xiàn),再略去實部為負的特征值,可以得到N個ω,其實部即為固有頻率。

2 時變防共振可靠性及靈敏度分析

2.1 時變防共振功能函數(shù)建立

g1(X,t)=(ω1(t)-S1)·(ω1(t)-S2)

(16)

式(16)中:X=(x1,x2,…,xndv)T;ndv表示輸入變量的個數(shù);ω1(t)表示與時間相關(guān)的一階固有頻率。

2.2 變量靈敏度指標

令(X,t)表示輸入隨機變量和時間參數(shù)的集合,tj(j=1,2,…,NT)為觀察區(qū)間[t0,te]中的某個時刻,時變失效概率PF(t0,te)可表示為

PF(t0,te)=P{g(X,t)<0, ?tj∈[t0,te]}

(17)

式(17)中:下標F表示失效域。

(18)

式(18)中:E[·]表示期望運算;IF(x,t)表示時變失效指示函數(shù),具體表示為

(19)

參考矩獨立全局靈敏度指標的定義方法,將變量xi固定在其實現(xiàn)值時的條件時變失效概率PF|xi(t0,te)可以表示為

(20)

式(20)中:x～i表示除xi之外的輸入變量;fx～i(x～i)表示x～i的概率密度函數(shù)。PF(t0,te)和PF|xi(t0,te)之間的差異反映了輸入變量xi對時變失效概率的影響,將該差異A(xi)表示為平方形式即為

A(xi)=[PF(t0,te)-PF|xi(t0,te)]2

(21)

(22)

將式(18)和式(20)代入到式(22),可以得到

(23)

進一步參考廣義靈敏度分析思想[18],將條件時變失效概率用貝葉斯公式表示為

(24)

(25)

步驟1：根據(jù)每個輸入變量的概率密度函數(shù)隨機生成N個樣本,并組成輸入樣本矩陣S。將時間區(qū)間[t0,te]均勻離散成NT個時刻組成時間向量T。

2.3 SL-ALK-Meta-IS算法

SL-ALK-Meta-IS法的計算流程總結(jié)如下:

步驟1：根據(jù)輸入變量的概率密度函數(shù)fx(x)隨機生成NX組樣本,并組成樣本集S={xi,i=1,2,…,Nx}。將時間區(qū)間均勻離散為NT個時刻組成時間向量T={tj,j=1,2,…,NT}。

步驟2：從S和T中隨機選擇NINI個樣本組成初始訓練樣本集SINI={(xk,tk),k=1,2,…,NINI}。將初始訓練樣本代入時變功能函數(shù)g(xk,tk)計算對應的輸出響應,并組成訓練集ST={(xk,tk),g(xk,tk),k=1,2,…,NR}。此時功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)為NR=NINI。

步驟3：根據(jù)訓練集ST建立Kriging模型gK(x,t)。

步驟4：基于建立的gK(x,t),根據(jù)式(26)估計概率分類函數(shù)π(x,t),進而根據(jù)式(27)建立重要抽樣密度函數(shù)hx(x)。根據(jù)hx(x)生成NIS個重要抽樣樣本SIS={xi,i=1,2,…,NIS}。SIS即為此時的候選樣本池SC。

(26)

(27)

(28)

(29)

步驟8：基于S估計增廣失效概率PFε,對應的方差和變異系數(shù)

(30)

(31)

步驟10：根據(jù)訓練集ST更新Kriging模型。

(32)

步驟12：估計修正因子,對應的方差和變異系數(shù)

(33)

步驟13：估計時變失效概率和對應的變異系數(shù)

(34)

關(guān)于SL-ALK-Meta-IS算法的技術(shù)細節(jié)參見文獻[17]。

3 算例分析

本節(jié)參考文獻[19]中的兩端簡支輸流管道模型作為算例。管道結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示,管道長度為Lp=2 m,初始外直徑d0=0.1 m,初始壁厚h0=0.002 m,管道材料彈性模量E=68.6 GPa,密度ρ=2 800 kg/m3,泊松比0.3,管內(nèi)流體密度ρf和流速Uf分別考慮4種工況。考慮的隨機變量信息如表1所示。時間觀察區(qū)間為t∈[0,15]年,管壁腐蝕速率為κ=0.05 (mm/年)。采用MCS法、SL-ALK法和SL-ALK-Meta-IS法來計算時變共振失效概率,ALK法的初始訓練點數(shù)量為12,SL-ALK法候選樣本點數(shù)量為105,SL-ALK-Meta-IS法的候選樣本點數(shù)量為3 000。

表1 輸入變量的隨機分布類型及參數(shù)

圖1 兩端簡支輸流管道示意圖

3.1 方法驗證

首先驗證SL-ALK-Meta-IS法計算輸流管道時變共振失效概率的準確性?？紤]流體密度工況為ρf=1 000 kg/m3,流速工況為Uf=40 m/s。MCS法、SL-ALK法和SL-ALK-Meta-IS法計算得到的輸流管道時變共振可靠性和靈敏度分析結(jié)果如表2所示。與MCS法和SL-ALK法的結(jié)果相比,SL-ALK-Meta-IS法計算得到的時變共振失效概率誤差很小,魯棒性較高。計算效率方面,SL-ALK-Meta-IS法利用Meta-IS法生成候選樣本池時調(diào)用了34次功能函數(shù),自適應加點時僅調(diào)用了107.2次功能函數(shù),少于MCS法和SL-ALK法功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)。此外,Kriging模型迭代速度方面,相同計算條件(Intel(R) Core(TM) i7-6700 CPU @ 3.40 GHz)下,SL-ALK-Meta-IS法每新增一個訓練樣本點僅需要6.19 s,明顯少于SL-ALK法的47.80 s,這得益于SL-ALK-Meta-IS法的候選樣本池規(guī)模較小。功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)和Kriging模型迭代速度均證明了采用SL-ALK-Meta-IS法處理輸流管道時變共振失效概率問題時具有極高的計算效率。

表2 輸流管道時變共振可靠性及靈敏度分析結(jié)果

靈敏度分析結(jié)果如圖2所示,3種方法估計得到的輸入變量靈敏度指標值基本一致,各變量重要性排序相同,均為ρf>E≈S1>ρ≈S2≈Uf,說明輸入變量ρf的不確定性對于時變共振失效概率的影響最大,接下來是E和S1,其余3個變量的不確定性貢獻度明顯較低。時變共振失效概率隨變量變異系數(shù)增長的變化如圖3所示,其中某一變量的變異系數(shù)由0.03增長到0.065時,其他變量分布保持不變?？梢园l(fā)現(xiàn),輸入變量增長等量的不確定性,輸入變量ρf會導致時變共振失效概率增長幅度最大,隨后依次是E和S1。其余變量變異系數(shù)的增長幾乎不會改變時變共振失效概率。圖3中的結(jié)果充分證明了靈敏度分析結(jié)果的有效性。

圖2 輸入變量靈敏度結(jié)果柱狀圖

圖3 時變共振失效概率隨變量變異系數(shù) 增大的變化曲線

此外,基于廣義靈敏度分析思想的時變可靠性全局靈敏度指標求解效率極高,僅需要一組樣本即可同時完成時變共振失效概率和靈敏度的求解,無需額外調(diào)用功能函數(shù)計算,證明了本文中建立的輸流管道時變共振可靠性和靈敏度求解策略的準確性和高效性。

3.2 流體密度對時變共振失效概率的影響

考慮4種流體密度均值工況:①ρf=700 kg/m3;②ρf=760 kg/m3;③ρf=900 kg/m3;④ρf=1 000 kg/m3。以上均為輸流管道典型輸送介質(zhì),工況1為汽油密度,工況2為石油密度,工況3為煤油密度,工況4為水密度。設(shè)此時流速工況為Uf=40 m/s。各方法計算得到的各工況的失效概率結(jié)果如表3所示?？梢钥吹?SL-ALK-Meta-IS法估計的時變共振失效概率結(jié)果與MCS法和SL-ALK法基本一致,而隨著流體介質(zhì)密度的增大,時變共振失效概率急劇下降,說明管道輸送介質(zhì)的改變對于輸流管道的可靠性與安全性影響明顯,利用管道輸送不同介質(zhì)時開展對應的時變共振可靠性分析是十分必要的。

表3 不同流體密度工況下輸流管道時 變共振失效概率結(jié)果

3.3 流體流速對時變共振失效概率的影響

考慮4種流速均值工況:①Uf=10 m/s;②Uf=20 m/s;③Uf=30 m/s;④Uf=40 m/s。設(shè)此時流體密度工況為ρf=1 000 kg/m3。各方法計算得到的不同工況下的時變共振失效概率如表4所示。結(jié)果表明,隨著流速的增大,輸流管道時變共振失效概率逐漸降低,這與文獻[19]中所考慮的時不變共振失效概率隨流速增大的變化規(guī)律相同,這主要由于管道固有頻率隨流速增大而逐漸減小,從而逐漸遠離外激勵頻率所致。

表4 不同流體流速工況下輸流管道時 變共振失效概率結(jié)果

4 結(jié)論

建立了考慮動態(tài)腐蝕的時變共振功能函數(shù),通過算例分析驗證了所提輸流管道時變共振可靠性及靈敏度分析策略的有效性和高效性,并且討論了管道流體介質(zhì)和流速等因素對于時變共振失效概率的影響規(guī)律。結(jié)果證明:

1) SL-ALK-Meta-IS法可以準確、高效地求解輸流管道時變共振失效概率和輸入變量靈敏度值。

2) 隨著流體密度的增大,管道時變共振失效概率會急劇下降,而隨著流速的增大,管道時變共振失效概率會逐漸減小。

3) 基于SL-ALK-Meta-IS法的輸流管道時變共振可靠性及靈敏度分析方法對于輸流管道可靠性和安全性評估以及防共振優(yōu)化設(shè)計具有重要參考價值和指導意義。