梅自艷,王漢權(quán)

(1.云南財經(jīng)大學 統(tǒng)計與數(shù)學學院,云南 昆明 650221;2.云南大學滇池學院,云南 昆明 650504)

量子力學中的薛定諤方程描述了量子系統(tǒng)的運動.隨著量子信息技術(shù)和量子計算的不斷發(fā)展,為滿足對復雜量子系統(tǒng)進行操縱和控制的要求,這就需要從控制論的角度對微觀量子系統(tǒng)的行為進行建模、分析和主動控制,于是量子控制論應運而生.量子控制的研究始于20世紀70年代末,是量子力學和控制理論交叉的結(jié)果,目標是建立對量子系統(tǒng)進行控制的普遍理論和方法.隨著量子力學的發(fā)展,量子控制模型也相應發(fā)生改變[1].

Bennett 等先提出一種新的通信和計算量子理論,其中傳輸或處理的不是經(jīng)典信息,而是量子態(tài)的任意疊加[2].隨后,Doherty等指出魯棒控制理論中的分析和綜合技術(shù)的應用將發(fā)揮重要作用,且在量子計算等新興量子技術(shù)的發(fā)展中發(fā)揮著重要作用[3].針對量子通信和量子計算等量子信息學的發(fā)展趨勢,陳宗海等對量子控制系統(tǒng)全面地介紹了量子控制實驗研究現(xiàn)狀并進行了相關(guān)研究展望,并闡述了一些新的研究思路[4-5].對于在開環(huán)量子控制領(lǐng)域,Dong等綜述了量子系統(tǒng)可控性的概念,提出了幾種控制設計策略,包括最優(yōu)控制、基于 Lyapunov方法、變結(jié)構(gòu)控制和量子非相干控制;在閉環(huán)量子控制領(lǐng)域,該文回顧了閉環(huán)學習控制以及與量子反饋控制相關(guān)的幾個重要問題,包括量子濾波、反饋穩(wěn)定、線性二次高斯控制和魯棒量子控制[6].本文主要考慮量子控制問題中的一種特殊但又相對重要的情況：如何最優(yōu)地把激發(fā)態(tài)解操控至基態(tài)解.針對此問題,文中提出一種直接方法：通過離散方法,把量子控制泛函極小值約束問題轉(zhuǎn)化為普通的優(yōu)化問題進行求解.

前期,對量子最優(yōu)控制的問題已經(jīng)開展了較多的研究.Rabitz 等對量子系統(tǒng)最優(yōu)控制問題解的存在性、數(shù)學近似處理方法和最優(yōu)控制的應用等進行了詳細的論述[7].近年來,D’Alessandro等在量子最優(yōu)控制方面做了大量工作,并通過李群分解的分析方法給出了一些控制場能量最優(yōu)的量子控制結(jié)果[8].Wu等總結(jié)了時間最優(yōu)時量子控制的一般特征,并給出了一些特殊情況下的最優(yōu)極值的結(jié)構(gòu)[9].Petersson等研究了在封閉量子系統(tǒng)中實現(xiàn)邏輯門的最優(yōu)控制問題[10].Boscain等綜述了各種量子控制問題,并描述了適合于最優(yōu)控制的數(shù)學公式,詳細介紹了不同低維量子系統(tǒng)的最優(yōu)解,說明了數(shù)學工具是在實際中如何應用的[11].薛拾貝等對量子系統(tǒng)時間最優(yōu)控制問題進行了描述,并提出一類同倫算法[12].Dong 概述了量子系統(tǒng)最優(yōu)控制的基于梯度的學習、量子系統(tǒng)學習控制的進化計算、基于學習的量子魯棒控制和量子控制的強化學習等方面[13].近年來提出許多求解約束條件為Gross-Pitaevskii 方程(GPE)的數(shù)值方法,如有限元法[14]、有限差分法[15]、無網(wǎng)格法[16]和時間分裂偽譜法[17]等.對于GPE方程的離散方法,相關(guān)學者也介紹了一些相應的方法,比如Chebyshev譜方法[18],有限差分法[19].通過這些方法把方程進行離散,能更好的進行數(shù)值求解.對于求解控制問題所需的優(yōu)化方法,常見的有最速下降法、牛頓法、擬牛頓法、共軛梯度法等等[20].

針對如何最優(yōu)地把激發(fā)態(tài)解操控至基態(tài)解這一特殊量子控制問題,本文提出一種直接離散方法：先把連續(xù)性泛函及約束條件離散,使原控制問題變?yōu)槠胀ǖ膬?yōu)化問題,然后采用普通的優(yōu)化方法求解.重點討論如何對量子控制問題進行直接離散,如何把量子最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為普通的優(yōu)化問題,探討該數(shù)值方法的特點.本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第2節(jié)中將對量子控制方程的模型及解滿足的Euler-Lagrange(EL) 方程進行介紹及求解.第3節(jié)主要對連續(xù)性泛函及約束條件的直接離散方法進行詳細的推導.第4節(jié)將根據(jù)推導的結(jié)果進行數(shù)值試驗,并對結(jié)果進行分析,驗證這一直接方法在求解量子控制問題上的高效性.第5節(jié)將對本文內(nèi)容進行小結(jié)及展望.

1 一種量子控制問題模型及EL方程

本節(jié)主要介紹把激發(fā)態(tài)解操控至基態(tài)解的一種量子控制問題模型,并運用相關(guān)變分法理論找出對該模型解滿足的EL方程.

1.1 一種量子控制問題模型

近年來,不少學者對量子控制問題進行了研究,其中Ulrich Hohenester等在量子控制理論中尋找控制參數(shù)λ(t)的時間變化,討論了如何最優(yōu)地把激發(fā)態(tài)解操控至基態(tài)解這一特殊量子控制問題,并提出如下量子控制問題的模型[21]：

(1)

1.2 量子控制問題(1)滿足的EL方程

(2)

因ψ和p是復數(shù),所以將之改寫

(3)

這里,

(4)

為求出泛函(3)的變分導數(shù)(或微分),先引入一般線性空間中的泛函導數(shù)的定義[24]：

設X是線性空間,Y是賦范空間,給定T：X→Y,?x∈X,T(x)∈Y,定義在定義域D?X,值域R?Y.

定義：設x∈D?X,且在X中取一個h,若極限

(5)

存在,則其被稱為T在X處增量為h的Gateaux微分.如果?h∈X極限(5)都存在,那么變換T在x處是Gateaux可微的.

推論：若泛函T(x)∈,x∈X,T的Gateaux微分存在,則

(6)

對泛函(3),利用變分原理[19]及上面的泛函導數(shù)的定義(6),有

其中,

(7)

故

(8)

(9)

其中,

(10)

故

(11)

同理,

(12)

對方程(12),假設p是一個連續(xù)的函數(shù),考慮在很短的時間Δτ對其兩邊關(guān)于T進行積分

(13)

取Δτ趨近于0的極限,通過p的連續(xù)性,方程(13)的左邊會趨近于0,右邊的前3項也會趨近于0.但是,t中的δ函數(shù)在這個極限下產(chǎn)生了最終的時間條件：

(14)

(15)

故

(16)

對任意的h(t),有

(17)

(18)

(19)

(20)

前人在設計數(shù)值方法時,通?；贓L方程(18)-(20)來找量子控制原問題(1)的解.本文不采用此方法,下一節(jié)介紹了一種直接離散方法.

2 量子控制問題的直接離散

2.1 離散方法

(21)

(22)

在點(xj,tn)上進行直接離散,時間t方向采用最簡顯格式(或向前Euler法),空間x方向采用二階中心差分,即

(23)

(24)

(25)

2.2 求解過程

基于上節(jié)內(nèi)容,得到求一維量子控制問題(1)的具體過程為：

(3)計算xj=a+jh(j=0,1,2,…,M),以及tn=nΔt(n=0,1,2,…,N).

(4) 初始條件和邊界條件的離散形式為(25).

(5) 方程(22)的離散形式為(24),泛函J(ψ,λ)的離散形式為(21).

(7)利用fminunc得到函數(shù)ψ(x,t)在節(jié)點(xj,tn)處的近似值及λ(t)在點和tn處的近似值,輸出結(jié)果.

3 數(shù)值結(jié)果分析

首先考慮κ=10,x0=1時,對γ取不同的值,對不同的v(x,λ(t))進行結(jié)果分析：

從圖1-3可知,無論勢函數(shù)v(x,λ(t))為哪一種形式,隨著γ的減小T時刻得到的ψ(x,T)的值均與期望的ψd越來越接近,說明此方法在求解量子控制問題上具有一定的高效性.

再考慮γ=0.01,x0=1時,考察κ取不同的值的影響,并針對不同的v(x,λ(t))進行結(jié)果分析：

(a)λ(t)的結(jié)果 (b)ψ(x,T)的結(jié)果圖1 當時,取不同γ時得到的數(shù)值結(jié)果

(a)λ(t)的結(jié)果 (b)ψ(x,T)的結(jié)果圖2 當時,取不同γ時得到的數(shù)值結(jié)果

(a)λ(t)的結(jié)果 (b)ψ(x,T)的結(jié)果圖3 當時,取不同γ時得到的數(shù)值結(jié)果

(a)λ(t)的結(jié)果 (b)ψ(x,T)的結(jié)果圖4 當時,取不同κ時得到的數(shù)值結(jié)果

(a)λ(t)的結(jié)果 (b)ψ(x,T)的結(jié)果圖5 當時,取不同κ時得到的數(shù)值結(jié)果

(a)λ(t)的結(jié)果 (b)ψ(x,T)的結(jié)果圖6 當時,取不同κ時得到的數(shù)值結(jié)果

4 小結(jié)與展望

在本文中,理論上我們用相關(guān)變分法理論推出量子控制問題滿足的Euler-Lagrange方程.數(shù)值上主要考慮了一維量子控制問題中一種特殊而又相對重要的情況：如何最優(yōu)地把激發(fā)態(tài)解操控至基態(tài)解.針對此問題,提出一種直接離散方法：先把連續(xù)性泛函及約束條件離散,使量子控制泛函極小值約束問題轉(zhuǎn)化為普通的優(yōu)化問題,然后采用普通的優(yōu)化方法求解.重點討論對一維量子控制問題進行直接離散,把量子最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為普通的優(yōu)化問題,在求解過程中,大大簡化了計算量.基于γ和κ的值的變化,運用MATLAB 編寫程序?qū)⑵渌玫臄?shù)值結(jié)果與期望結(jié)果進行比較,驗證了這一直接離散方法在求解此類問題模型具有一定的高效性.

針對本文所考慮的問題模型,仍有很多方面值得我們做進一步研究：還可以考慮高維問題的直接離散,泛函及約束條件的直接離散還可以考慮高階高效的數(shù)值方法時間分裂譜方法等.相信未來,這一直接離散方法可以在更一般的控制模型問題中得到更加廣泛的應用.