譚惠心, 徐 可, 朱新月, 李 為, 馮 俊

(成都理工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 四川 成都 610059)

近年來,由于變分不等式和相關(guān)的最優(yōu)控制問題在經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程運籌學(xué)等多個學(xué)科中有廣泛的應(yīng)用,吸引了大量學(xué)者進(jìn)行了廣泛而深入地研究(參見文獻(xiàn)[1-4]).微分變分不等式是由一個具有代數(shù)變量的參數(shù)化微分方程構(gòu)成,其中代數(shù)變量為一個包含狀態(tài)變量的變分不等式系統(tǒng)的解.微分變分不等式是研究微分系統(tǒng)和不等式約束模型的強(qiáng)有力工具,是一類新穎的數(shù)學(xué)交叉問題.

2008年,Pang等[5]首次系統(tǒng)地研究了有限維空間中的微分變分不等式,考慮了它的Carathéodory弱解,并為微分變分不等式的初值問題建立了歐拉時間步長的迭代算法.Li等[6]研究了在有限維空間中微分混合變分不等式解的存在性,推廣了文獻(xiàn)[5]中相應(yīng)的結(jié)論.2013年,Chen等[7]給出了正則時步法求解微分變分不等式.此后,大量的學(xué)者研究了有限維空間上的微分變分不等式問題,在強(qiáng)制性或單調(diào)性假設(shè)條件下獲得了該類問題解的存在性和唯一性結(jié)果(參見文獻(xiàn)[8-10]).2016年,Liu等[11]首次在實自反Banach空間中研究了一類偏微分變分不等式解的存在性,并利用算子半群和微分包含知識證明了偏微分變分不等式mild解的存在性.另外,文獻(xiàn)[12]證明了實Banach空間上一類微分變分不等式解集的非空閉凸性、疊加可測性與上半連續(xù)性,更進(jìn)一步,證明該變分不等式驅(qū)動的演化方程解集的非空緊性.

另一方面,穩(wěn)定性分析也是微分優(yōu)化領(lǐng)域研究的熱點問題.Wang等[13]在有限維空間中研究了當(dāng)混合變分不等式的映射和約束集都受到擾動時,微分混合變分不等式的Carathéodory弱解集映射的上半連續(xù)性和連續(xù)性.Gwinner[14]考慮了在Hilbert空間上微分變分不等式和投影動態(tài)系統(tǒng)之間的關(guān)系,研究了slow解集的穩(wěn)定性.另外,眾多學(xué)者利用集值分析和算子半群等工具針對Banach空間研究了一類微分變分不等式問題解的穩(wěn)定性[15-17].

逆變分不等式在經(jīng)濟(jì)、交通、管理等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[18-19].但是,對于微分逆變分的研究工作還很少,關(guān)于Banach空間中微分逆變分不等式相關(guān)的研究還未完全展開.因此,本文在實自反Banach空間中研究一類微分逆變分不等式解集的存在性、唯一性及穩(wěn)定性.

記E是實自反Banach空間,E*是其伴隨空間,〈·,·〉與‖·‖E分別表示E上的內(nèi)積與范數(shù),E1是實Banach空間,‖·‖E1表示E1上的范數(shù).C([0,T];E1)是從區(qū)間[0,T]到E1的全體實值連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的Banach空間,L([0,T];E)是從區(qū)間[0,T]到E的全體Lebesgue可積函數(shù)構(gòu)成的Banach空間,P(Y)表示拓?fù)淇臻gY的所有非空子集.

本文研究一類Banach空間中的微分逆變分不等式(簡記為DIVI):尋找函數(shù)x:[0,T]→E1與u:[0,T]→E滿足

(1)

g(t,x(t),u(t))∈K,

〈v-g(t,x(t),u(t)),u(t)〉≥0,

?v∈K,

(2)

其中K是E*的一個子集.

然后,在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析當(dāng)映射受參數(shù)擾動時微分逆變分不等式(簡記為PDIVI)穩(wěn)定性問題,借助Gronwall不等式與Lebesgue控制收斂定理給出解(x,u)關(guān)于參數(shù)w的連續(xù)性,解決DIVI在映射g(t,x,u)受到擾動時的穩(wěn)定性.

1 預(yù)備知識

引理 1.1[20]設(shè)集合D是Banach空間E的一個非空子集,集值映射N:D→P(E)滿足條件:

1)N是一個KKM映射,即對于任何{u1,u2,…,uk}?D,均有

co{u1,u2,…,u

2) 對于每個v∈D,N(v)均為E的閉子集;

3) 存在一個v0∈D使得N(v0)是一個緊集.

那么∩v∈DN(v)≠?.

定義 1.1[5,21-22]單值映射Q:E→E*在其定義域D上滿足

〈Q(v)-Q(u),v-u〉≥0, ?v,u∈D,

則稱Q為單調(diào)映射.若還對任何v,u∈D,可以通過〈Q(v)-Q(u),v-u〉=0推出Q(v)=Q(u),那么則稱Q是單調(diào)plus映射.

引理 1.2[23]若映射F:[0,T]×E1→E1關(guān)于第一變元是連續(xù)的,且關(guān)于第二變元是Lipschitz連續(xù)的,即存在Lf使得對任意的t及x1與x2成立

‖F(xiàn)(t,x1)-F(t,x2)‖E1≤Lf‖x1-x2‖E1,

那么對于半線性初值問題

存在唯一的mild解,這里A是Banach空間E1中的一個C0半群的無窮小生成元.

為了證明IVI解的存在性,本文將Tanaka[24]的自然擬K-凸的定義推廣到Banach空間中.

定義 1.2設(shè)K是E*的一個非空閉凸子集,f為從E到E*的映射.如果對任意的λ∈[0,1]及x1,x2∈f-1(K)均存在μ∈[0,1]使得

μf(x1)+(1-μ)f(x2)-

f(λx1+(1-λ)x2)∈K,

(3)

則稱映射f在f-1(K)上自然擬K-凸,其中,f-1(K)={x∈E:f(x)∈K}.

仿照文獻(xiàn)[11,25]中偏微分變分不等式和偏微分半變分不等式mild解的定義,給出DIVI問題mild解的定義如下:

定義 1.3稱函數(shù)對

(x(t),u(t)):[0,T]×[0,T]→E1×E

為DIVI的mild解,當(dāng)且僅當(dāng)(x(t),u(t))∈C([0,T];E1)×L([0,T];E),并滿足

2 主要結(jié)果

本節(jié)將給出問題DIVI解的存在性及唯一性.為了敘述方便,現(xiàn)對于任意的(t,x)∈[0,T]×E1,規(guī)定K在映射g(t,x,·)下的原象為

g-1(t,x,K)={y∈E:g(t,x,y)∈K}.

下給出一些將會用到的條件:

H(g)g:[0,T]×E1×E→E*是一個單值映射滿足:

(i) 對于任意的(t,x)∈[0,T]×E1,g(t,x,E)的任意閉子集K,g在原象g-1(t,x,K)上連續(xù).

(ii) 對于任意的(t,x)∈[0,T]×E1,g(t,x,E)的任意閉子集K,g在原象g-1(t,x,K)上自然擬K-凸.

(iii) 對于任意的(t,x)∈[0,T]×E1,g(t,x,E)的任意閉子集K,成立

〈v,w〉≥0, ?v∈K,w∈g-1(t,x,K).

(iv) 對于任意的(t,x)∈[0,T]×E1,g(t,x,E)的任意閉子集K,g在原象g-1(t,x,K)上是單調(diào)plus映射.

(v) [0,T]×E1(t,x)→g(t,x,u)對所有的u∈E,均是Lipschitz連續(xù)的.即對任意的t1,t2∈[0,T]和x1,x2∈E1,存在Lg>0,使得下式成立:

‖g(t1,x1,u)-g(t2,x2,u)‖E*≤

Lg(|t1-t2|+‖x1-x2‖E1).

(vi) 存在常數(shù)mg>0使得對所有的t∈[0,T],x∈E1和?u1,u2∈E成立

〈g(t,x,u1)-g(t,x,u2),u1-u2〉≥

m

H(f) 連續(xù)映射f:[0,T]×E1×E→E1對于所有的t∈[0,T],f均是Lipschitz連續(xù)的,即存在常數(shù)ψf>0,對任意的(t,x1,u1)與(t,x2,u2)∈[0,T]×E1×E有

‖f(t,x1,u1)-f(t,x2,u2)‖E1≤

ψf(‖x1-x2‖E1+‖u1-u2‖E).

引理 2.1設(shè)E是自反Banach空間,E*是E的對偶空間,g:[0,T]×E1×E→E*是單值映射,對任意(t,x)∈[0,T]×E1,集合K?g(t,x,E)是閉集.若映射g滿足假設(shè)H(g)(i)～(iii),則對任意(t,x)∈[0,T]×E1,集合Sol(K,g(t,x,·))非空.

證明任取(t,x)∈[0,T]×E1.由于K是閉集且映射g(t,x,u)是連續(xù)的,則D=g-1(t,x,K)是閉集.(2)式意味著尋找u∈D滿足

〈g(t,x,v)-g(t,x,u),u〉≥0,v∈D.

(4)

現(xiàn)為每一個v∈D定義集值映射

N(v)={u∈D:g(t,x,u)∈K,

〈g(t,x,v)-g(t,x,u),u〉≥0}.

將u=v代入(4)式中左式有

〈g(t,x,v)-g(t,x,v),v〉=0,

即v滿足條件(4).另外,g(t,x,v)∈K,故v∈N(v).即對每一個v∈D,N(v)是非空的.

〈g(t,x,v)-g(t,x,un),un〉≥0.

(5)

〈g(t,x,v)-g(t,x,u0),u0〉≥0.

故u0∈N(v),從而N(v)為非空閉集合.

為了證明映射N:D→P(D)是一個KKM映射,采用反證法,假設(shè)存在{z1,z2,…,zk}?D和z∈co({z1,z2,…,zk})滿足z?N(zi)(i=1,2,…,k),即

〈g(t,x,zi)-g(t,x,z),z〉<0,

i=1,2,…,k.

(6)

(7)

根據(jù)定理條件有

(8)

再據(jù)(6)式得到

這與(8)式矛盾.由反證法,映射N為KKM映射.

注意到定理2.1雖然表明IVI的解集Sol(K,g(t,x,·))是非空的,但此時每一個解u∈Sol(K,g(t,x,·))不具備任何分析性質(zhì),僅為一種對應(yīng)關(guān)系.但是,研究其解本身的分析性質(zhì)是十分有必要的,于是給出了引理2.2.

引理 2.2若映射g滿足假設(shè)條件H(g)(i)～(iii),(v)～(vi),那么對于任意的(t,x)∈[0,T]×C([0,T];E1),任意的u(t)∈Sol(K,g(t,x(t),·))均是關(guān)于t的連續(xù)函數(shù).

證明根據(jù)引理2.1,變分不等式IVI的解集Sol(K,g(t,x(t),·))是非空集合.任取u(ti)∈Sol(K,g(ti,x(ti),·)),ti∈[0,T],i=1,2,則

g(t1,x(t1),u(t1))∈K,

〈v-g(t1,x(t1),u(t1)),u(t1)〉≥0,

?v∈K,

(9)

g(t2,x(t2),u(t2))∈K,

〈v-g(t2,x(t2),u(t2)),u(t2)〉≥0,

?v∈K.

(10)

在(9)式中令v=g(t2,x(t2),u(t2)),(10)式中令v=g(t1,x(t1),u(t1)),有

〈g(t2,x(t2),u(t1))-g(t2,x(t2),u(t2)),

u(t1)-u(t2)〉≤

〈g(t2,x(t2),u(t1))-g(t1,x(t1),u(t1)),

u(t1)-u(t2)〉.

(11)

根據(jù)假設(shè)條件H(g)(vi)成立

m

〈g(t2,x(t2),u(t1))-g(t2,x(t2),u(t2)),

u(t1)-u(t2)〉≤

〈g(t2,x(t2),u(t1))-g(t1,x(t1),u(t1)),

u(t1)-u(t2)〉≤

Lg(|t1-t2|+‖x(t1)-x(t2)‖E1)×

‖u(t1)-u(t2)‖E.

也就是說

‖u(t1)-u(t2)‖

‖x(t1)-x(t2)‖E1),

則u:[0,T]→E的連續(xù)性依賴于x(t)的連續(xù)性.完成定理的證明.

引理 2.3映射g滿足假設(shè)條件H(g)(i)～(iv),那么IVI的解是唯一的.

證明任取(t,x)∈[0,T]×E1,根據(jù)引理2.1可以得到解集Sol(K,g(t,x,·))是非空集合.假設(shè)u1,u2∈Sol(K,g(t,x,·)),即

g(t,x,u1)∈K,

〈v-g(t,x,u1),u1〉≥0, ?v∈K,

(12)

g(t,x,u2)∈K,

〈v-g(t,x,u2),u2〉≥0, ?v∈K.

(13)

分別在(12)式中令v=g(t,x,u2),在(13)式中令v=g(t,x,u1)得到

〈g(t,x,u2)-g(t,x,u1),u1〉≥0,

〈g(t,x,u1)-g(t,x,u2),u2〉≥0.

(14)

根據(jù)(14)式,可以得到

〈g(t,x,u1)-g(t,x,u2),u1-u2〉≤0.

又因為g(t,x,·)是單調(diào)plus映射,故u1=u2.因此逆變分不等式的解是唯一的.

引理 2.4若映射g滿足假設(shè)條件H(g)(i)～(vi),那么對于任意的(t,x)∈[0,T]×C([0,T];E1),集合Sol(K,g(t,x(t),·))中存在唯一的u∈C([0,T];E).

證明根據(jù)條件H(g)(i)～(iii),(v)～(vi),利用引理2.2可知集合Sol(K,g(t,x(t),·))中存在u∈C([0,T];E).由條件H(g)(v)蘊(yùn)含條件H(g)(i),根據(jù)引理2.3可知集合Sol(K,g(t,x(t),·))是單點集,故Sol(K,g(t,x(t),·))中存在唯一的u∈C([0,T];E).

定理 2.1對于任意的(t,x)∈[0,T]×E1,映射g滿足假設(shè)條件H(g)(i)～(vi),映射f:[0,T]×E1×E→E1滿足假設(shè)條件H(f),那么DIVI有且僅有一解(x,u)∈C([0,T];E1)×C([0,T];E).

證明對任意固定的t∈[0,T]和任意的x1,x2∈E1,令u1∈Sol(K,g(t,x1,·),u2∈Sol(K,g(t,x2,·),即成立

g(t,x1,u1)∈K, 〈v-g(t,x1,u1),u1〉≥0,

?v∈K,

(15)

g(t,x2,u2)∈K, 〈v-g(t,x2,u2),u2〉≥0,

?v∈K.

(16)

在(15)式中令v=g(t,x2,u2),(16)式中令v=g(t,x1,u1)可以得到

〈g(t,x1,u1)-g(t,x1,u2),u1-u2〉≤

〈g(t,x2,u2)-g(t,x1,u2),u1-u2〉.

根據(jù)假設(shè)條件H(g)(vi)有

m

〈g(t,x1,u1)-g(t,x1,u2),u1-u2〉≤

〈g(t,x2,u2)-g(t,x1,u2),u1-u2〉≤

‖g(t,x2,u2)-g(t,x1,u2)‖E*‖u1-u2‖E≤

Lg‖x1-x2‖E1‖u1-u2‖E.

從而

‖u1-u2‖

(17)

記映射F(t,x)=f(t,x,u(t,x)),根據(jù)假設(shè),對[0,T]×E1×E中任意的(t,x1)與(t,x2),令u1=u(t,x1),u2=u(t,x2),則滿足

‖F(xiàn)(t,x1)-F(t,x2)‖E1=

‖f(t,x1,u1)-f(t,x2,u2)‖E1≤

ψf(‖x1-x2‖E1+‖u1-u2‖E),

利用(17)式化簡

‖F(xiàn)(t,x1)-F(t,x2)‖E1≤

ψf(‖x1-x2‖E1+φf‖x1-x2‖E1)=

ψf(1+φf)‖x1-x2‖E1.

取Lf=ψf(1+φf)得到

‖F(xiàn)(t,x1)-F(t,x2)‖E1≤

Lf‖x1-x2‖E1,

(18)

即F(t,x)關(guān)于x是Lipschitz連續(xù)的.

另一方面因為u(t,x)關(guān)于變元t是連續(xù)性的,又根據(jù)f(t,x,u)關(guān)于變元t與u的連續(xù)性,所以映射F(t,x)也是關(guān)于第一變元t的連續(xù)函數(shù).此時,微分逆變分不等式問題可寫為初值問題

根據(jù)半線性初值問題解的唯一性引理2.2可知,該初值問題有唯一的mild解x(t)∈C([0,T];E1).由引理2.4知微分逆變分不等式DIVI有唯一連續(xù)解(x(t),u(t))∈C([0,T];E1)×C([0,T];E).

映射受參數(shù)擾動時微分逆變分不等式問題(PDIVI)表述為

(19)

其中,G:[0,T]×E1×E×W→E*為帶參數(shù)擾動w∈W的單值映射,Sol(K,G(t,x,·,w))等記號含義與DIVI一致.另外,這里給出將會用到的條件

H(G) 對任意(t,x,u)∈[0,T]×E1×E,G(t,x,u,·):W→E*是連續(xù)的.

定理 2.2在滿足假設(shè)條件H(f)下,W是一個度量空間,對每一個固定的w∈W,單值映射g(t,x,u)=G(t,x,u,w):[0,T]×E1×E→E*滿足條件H(g)(i)～(vi),且G還滿足條件H(G),那么PDIVI的解集(x,u)關(guān)于w是連續(xù)的.

證明根據(jù)定理2.1可知:對于任意的w∈W,PDIVI存在解(x,u)∈C([0,T];E1)×C([0,T];E).現(xiàn)記映射S(w)=Sol(K,G(t,x,u,w)).假設(shè)(xn,un)=S(wn),那么xn∈C([0,T];E1),un∈C([0,T];E)使得

xn(t)=e

?t∈[0,T].

(20)

在W中令wn→w0,記(xn,un)=S(wn).以下將證明(xn,un)是收斂的.不失一般性,考慮xk(t)和xm(t),這里k>m,則分別滿足

xk(t)=e

xm(t)=e

兩式相減,并利用條件H(f)和(17)式

‖xk(t)-xm(t)‖E1=

um(s)))ds‖≤

um(s))‖E1ds≤

‖xk(s)-xm(s)‖E1ds.

應(yīng)用Gronwall不等式得到

‖xk(t)-xm(t)‖E1≤

(21)

可見序列xn(t)是Banach空間中的Cauchy列,故為收斂列,記xn(t)→x0(t).另一方面,由(17)式也可得序列un(t)亦收斂.類似地,記un(t)→u0(t).

接下來將證明(x0,u0)=S(w0).由定理2.1可知f(t,xn(t),un(t))→f(t,x0(t),u0(t)).更進(jìn)一步,由定理2.1的證明過程可知在鄰域U(x0(t))中f(t,x(t),u(t))關(guān)于x是Lipschitz連續(xù)的,從而是有界的.根據(jù)Lebesgue控制收斂定理可知

xn(t)=e

x0(t)=e

另一方面,從(xn,un)=S(wn)可知

〈v-G(t,xn(t),un(t),wn),un(t)〉≥0,

令n→∞有

〈v-G(t,x0(t),u0(t),w0),u0(t)〉≥0,

從而(x0,u0)=S(w0).

綜上所述,PDIVI的解集(x,u)=S(w)關(guān)于w是連續(xù)的.

3 數(shù)值計算

本節(jié)主要舉出一個簡單的數(shù)值例子,用來輔助驗證前文得到連續(xù)性及穩(wěn)定性結(jié)論.

現(xiàn)考慮一維情形下的一個數(shù)值例子,取函數(shù)

Ax=x,

f(t,x,u)=tx2u2-1,

g(t,x,u)=t(cos(0.5x)-1)+u,

區(qū)間[0,T]=[0,4],R1的閉子集K=[0,5].以下驗證該例滿足定理2.5的條件.

由于t∈[0,4]和cos(0.5x)∈[-1,1],故對于任意的(t,x)∈[0,4]×R1,有g(shù)-1(t,x,K)=[0,13].對于任意的(t,x)∈[0,4]×R1和λ∈[0,1],考慮μ∈[0,1],使得

μg(t,x,u1)+(1-μ)g(t,x,u2)-

g(t,x,λu1+(1-λ)u2)=

μ(t(cos(0.5x)-1)+u1)+

(1-μ)(t(cos(0.5x)-1)+u2)-

(t(cos(0.5x)-1)+λu1+(1-λ)u2)=

t(cos(0.5x)-1)+μu1+(1-μ)u2-

t(cos(0.5x)-1)-(λu1+(1-λ)u2)=

(μ-λ)(u1-u2).

只需取μ=λ即可使得

μg(t,x,u1)+(1-μ)g(t,x,u2)-

g(t,x,λu1+(1-λ)u2)=

0∈[0,5]=K.

故條件H(g)(ii)滿足.另外

〈v,w〉≥0, ?v∈K,w∈g-1(t,x,K).

即條件H(g)(iii)成立.

任取u,v∈g-1(t,x,K)=[0,13],對任意的(t,x)∈[0,4]×R1,有

〈g(t,x,v)-g(t,x,u),v-u〉=

〈(t(cos(0.5x)-1)+v)-

(t(cos(0.5x)-1)+u),v-u〉=

(22)

第1步 離散區(qū)間[0,4],

th,0=0

0.002<…

〈v-(th,0(cos(0.5xh,0)-1)+uh,1),uh,1〉≥0,

th,0(cos(0.5xh,0)-1)+uh,1∈K.

第3步 對于循環(huán)因子i=0,1,…,4 999,先計算

xh,i+1=xh,i+h(xh,i,+th,i(xh,i)2(uh,i+1)2-1).

再計算uh,i+2滿足不等式和條件

〈v-(th,i+1(cos(0.5xh,i+1)-1)+uh,i+2),

uh,i+2〉≥0,

th,i+1(cos(0.5xh,i+1)-1)+uh,i+2∈K.

根據(jù)上述算法,利用Mathematica軟件編程實現(xiàn),得到數(shù)值結(jié)果如圖1與圖2所示.

圖 1 u(t)的圖像

圖 2 x(t)的圖像

下一步,考慮映射g(t,x,u)受參數(shù)w∈W=(0,1]的擾動

G(t,x,u,w)=g(t,x,u)e3w+2+ln(w).

可見當(dāng)參數(shù)w取定時,G(t,x,u,w)可以看作對g(t,x,u)再做一次仿射變換,且其中關(guān)于變元g(t,x,u)的一次項系數(shù)e3w+2>0,常數(shù)項ln(w)≤0,故只需驗證條件H(g)(ii)與條件H(g)(iii)即可.

同理于g-1(t,x,K),可以得到

G-1(t,x,K,w)=

[-e-(3w+2)ln(w),(5-ln(w))e-(3w+2)+8].

由于w∈(0,1],進(jìn)而G-1(t,x,K,W)=[0,+∞).對于任意的(t,x)∈[0,4]×R1和λ∈[0,1],欲選取μ∈[0,1]滿足

μG(t,x,u1,w)+(1-μ)G(t,x,u2,w)-

G(t,x,λu1+(1-λ)u2,w)=

μ(g(t,x,u1)e3w+2+ln(w))+

1-μ)(g(t,x,u2)e3w+2+ln(w))-

(g(t,x,λu1+(1-λ)u2)e3w+2+ln(w))=

(μ-λ)(u1-u2)e3w+2.

可選取μ=λ,即滿足條件H(g)(ii).同時

〈v,w〉≥0, ?v∈K,w∈g-1(t,x,K),

即條件H(g)(iii)成立.進(jìn)而滿足定理2.6的條件.

分別選取參數(shù)w=0.1,0.2,…,1.0,繪制的到其圖像如圖3與圖4所示.

4 結(jié)論

圖 3 不同參數(shù)下u(t)的圖像

圖 4 不同參數(shù)下x(t)的圖像