田 巖,石宇彤

(遼寧師范大學 數學學院,遼寧 大連 116029)

0 引言

符號模式矩陣是組合矩陣論中一個重要的研究對象,它在經濟學、動力學領域有重要應用.Samuelson[1]首次提出了符號模式矩陣的概念;Eschenbach[2]引入并定義了符號模式矩陣允許或要求某種性質.符號非奇異問題與符號模式對角化、要求不同特征值等問題密切相關;Pea[3]研究了非奇異的符號正則矩陣,非奇異與矩陣可逆性問題密切相關;Choi等[4]研究了可逆矩陣,給出對于任意可逆n階復矩陣A,存在可對角化的可逆矩陣D,使得矩陣AD具有不同特征值;Das[5]通過研究符號非奇異模式,刻畫了樹符號模式矩陣要求對角化;田巖和趙心茹[6]刻畫了3階Hankel符號模式矩陣允許代數正和要求代數正.

Hankel矩陣非常重要,在數字信號處理、數值計算、系統(tǒng)控制、電訊技術等領域均有廣泛的應用.本文基于Hankel矩陣的結構特點,引入并研究Hankel符號模式.利用組合矩陣論和圖論的理論知識,研究3階Hankel符號模式是否符號非奇異,給出其充分必要條件.

1 預備知識

下面給出本文將用到的概念和主要結論.

定義1[7]符號模式矩陣是指元素取值于集合{+,-,0}的矩陣,簡稱符號模式.對于一個n階符號模式A,所有與A具有相同符號的實矩陣構成的集合稱為A的等價類,記為Q(A).

定義2[7]設A是符號模式,若Q(A)中每個實矩陣都是非奇異矩陣,即可逆矩陣,則稱A符號非奇異.

定義3[7]設A=(aij)是一個n階符號模式矩陣或者實矩陣.形如γ=ai1i2ai2i3…aiki1的非零元素的一個形式乘積(即有順序地放在一起)稱為長度為k的簡單圈,其中這些下標i1,i2,…,ik互不相同.

本文研究的矩陣都是實方陣.aij表示符號模式A的第i行j列元素.

定理1[8]設A是符號模式,B∈Q(A),則A符號非奇異當且僅當B的行列式的標準展開式中至少有一項非零,并且所有非零項的符號都相同.

定理2[9]設符號模式A的對角元素都是“-”,則A符號非奇異當且僅當A的每個簡單圈都是負的.

定理3[10]n(n≥3)階符號非奇異模式矩陣至少含有(n-1)(n-2)/2個零元素.

由行列式的定義易知:

定理4設A是符號模式,若A符號非奇異,則符號模式-A,AT,PAPT(P為置換矩陣)都是符號非奇異.

2 主要結論

定義4[6]設A是符號模式,若A具有形式

其中ai∈{+,-,0},i=1,2,3,…,2n-1,則A稱為Hankel符號模式.

定理5設A是3階Hankel符號模式,則A是符號非奇異模式當且僅當A或-A置換相似于下列符號模式:

證明充分性易證,下面考慮必要性.

設A是Hankel符號模式,則a12,a21符號相同,a13,a22,a31符號相同,a23,a32符號相同.根據A的對角線元素分情況討論.設A是符號非奇異模式,則:

(1)當A或-A的對角線元素符號都相同時,根據定理4,不妨設A的對角線元素全為“-”,即

其中*∈{+,-,0}.由定理2可知,D(A)中a13a31<0,這與A是Hankel符號模式矛盾,所以A不是符號非奇異模式.

(2)當A或-A的對角線全為0時,設

則對于Q(A)中任意矩陣B,都有detB=0,故A不是符號非奇異模式.

(3)當A或-A的對角線元素含有兩個0時,則A或-A置換相似于下列符號模式:

①設

則Q(A)中任取實矩陣B=(bij),detB=-b11b23b32≠0.由b11>0可知b23b32≠0,

那么A或-A置換相似于以下符號模式:

②設

則Q(A)中任取實矩陣B=(bij),

detB=b13b21b32+b31b12b23-b31b22b13≠0.

由于-b13b22b31<0,由定理1可知,b13b21b32≤0,b31b12b23≤0.因為b13>0,b31>0,所以b21b32≤0,b12b23≤0,故A或-A置換相似于:

(4)當A或-A的對角線元素含有一個0時,則A或-A置換相似于下列符號模式:

①設

則Q(A)中任取實矩陣B=(bij),

detB=-b11b23b32-b33b21b12≠0,

由定理1可知,b11b23b32與b33b21b12符號相同或不同時為0,因為b11>0,b33>0,b23b32≥0,b21b12≥0,所以A或-A置換相似于:

②設

則Q(A)中任取實矩陣B=(bij),

detB=b21b32b13+b31b12b23-b31b22b13-b11b23b32≠0.

因為b13>0,b22>0,b31>0,所以-b13b22b31<0.由定理1可知,b21b32b13≤0,b31b12b23≤0,-b11b23b32≤0.因為b13>0,b31>0,b11>0,所以b21b32≤0,b12b23≤0,b23b32≥0,故A或-A置換相似于:

detB=b13b21b32+b31b12b23-b13b22b31-b11b23b32≠0.

因為b13<0,b22<0,b31<0,所以-b13b22b31>0.因為b11>0,b23b32≥0,所以-b11b23b32≤0.根據定理1,b13b21b32≥0,b31b12b23≥0.因為b13<0,b31<0,所以b21b32≤0,b12b23≤0,故A或-A置換相似于:

(5)當對角線元素不含0且對角線元素不完全相同時,則A或-A置換相似于下列符號模式:

由定理3可知,A中至少含有1個0,所以Q(A)中任取矩陣B=(bij),都有b12b23=0.

①設

若a12=a21=0,則b12=b21=0,

detB=b11b22b33-b13b22b31-b11b23b32≠0.

顯然b11b22b33>0,-b13b22b31≥0,根據定理1,-b11b23b32≥0.又b11>0,b23b32≥0,所以b23=b32=0,故A或-A置換相似于

若a23=a32=0,則b23=b32=0,detB=b11b22b33-b13b22b31-b21b12b33≠0.顯然b11b22b33>0,-b13b22b31>0,根據定理1,-b21b12b33≥0,所以b21b12≥0,故A或-A置換相似于:

②設

若a12=a21=0,則Q(A)中存在實矩陣

使得detB=0,故A不是符號非奇異模式.

3 結語

基于Hankel符號模式的結構特點,通過討論實矩陣是否非奇異,研究了3階Hankel符號模式非奇異問題,刻畫了符號非奇異的3階Hankel符號模式.本文利用了圖論和組合矩陣論的知識,這種研究問題的方法對于其他符號模式符號非奇異問題的研究提供了一點新思路,具有借鑒意義.