徐用之,劉金陽,許成波,羅 金,任興偉*

(1.中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)工程學(xué)院,湖北 武漢 430074;2.武漢城建集團(tuán),湖北 武漢 430022;3.云南省地質(zhì)工程勘察有限公司,云南 昆明 650051;4.湖北省地質(zhì)局冶金地質(zhì)勘探大隊(duì),湖北 黃石 435004)

眾多工程實(shí)例和室內(nèi)試驗(yàn)表明,飽和土體滲透系數(shù)的大小直接決定了土體變形和孔隙水壓力發(fā)展變化的快慢,同時(shí)土體滲透系數(shù)對(duì)動(dòng)孔隙水壓力的瞬時(shí)響應(yīng)也有著顯著的影響。飽和土體的滲透系數(shù)一般通過試驗(yàn)獲得,但無論是采用哪種試驗(yàn)方法,試驗(yàn)數(shù)據(jù)的離散性都非常大,試驗(yàn)誤差甚至可能達(dá)到100倍?？紤]到試驗(yàn)的復(fù)雜性和試驗(yàn)數(shù)據(jù)的離散性,如果有一種方法能夠利用簡(jiǎn)單的物理力學(xué)參數(shù)來合理預(yù)測(cè)土體的滲透系數(shù),那將是一項(xiàng)非常有意義的工作。但實(shí)際上,如何準(zhǔn)確預(yù)測(cè)土體的滲透系數(shù)是一個(gè)長(zhǎng)期存在的挑戰(zhàn)。無論是理論上還是實(shí)踐中都表明土體滲透系數(shù)與土顆粒的粒徑,黏粒含量,孔隙結(jié)構(gòu)如孔徑分布、孔隙通道的彎曲程度、孔喉、孔隙配位數(shù),飽和度和流體類型,孔隙比以及滲流介質(zhì)與土顆粒骨架間的物理化學(xué)作用等有關(guān)[1-6]。

土體滲透系數(shù)影響因素的繁雜性,給準(zhǔn)確預(yù)測(cè)土體滲透系數(shù)帶來了巨大的挑戰(zhàn)。盡管如此,還是有學(xué)者[1,7-15]在理想模型和試驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出了很多預(yù)測(cè)模型。Chapuis[16]概述了從1880年到2010年130 a內(nèi)眾多學(xué)者提出的45個(gè)土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)模型,根據(jù)土體的類型不同可將這些模型分為粗顆粒土(無塑性土,non-plastic soils)預(yù)測(cè)模型和細(xì)顆粒土(塑性土,plastic soils)預(yù)測(cè)模型。不論是針對(duì)粗顆粒土還是細(xì)顆粒土,其中大部分的預(yù)測(cè)模型(33個(gè))都圍繞著孔隙比(孔隙率)展開,如應(yīng)用廣泛的Konzeny-Carman方程;也有小部分的預(yù)測(cè)模型(12個(gè))僅針對(duì)粗顆粒土,沒有考慮孔隙比(孔隙率)的影響,而是僅考慮了有效粒徑(effective grain size)d5、d10、d17、d20、d50,其中最有代表性的便是Hazen方程[17]。

目前土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)模型中,應(yīng)用最廣泛的是Kozeny-Carman方程,其表達(dá)形式如下[1,7]:

(1)

式中:k為土體滲透系數(shù)(cm/s);CF為孔隙通道系數(shù),CF=0.2;Ss表示土顆粒的比表面積(m2/g);g為重力加速度(m/s2);μ為流體黏度(N·s/m2);ρfd和ρm分別表示流體和骨架材料的密度(kg/m3);e為孔隙比。

Kozeny-Carman方程能夠很好地計(jì)算粗顆粒土如砂土的滲透系數(shù)[1,7,17],但是卻不適合用于細(xì)顆粒土滲透系數(shù)的預(yù)測(cè)[1,8-9,18-21]。為此,眾多學(xué)者對(duì)此方程進(jìn)行了改進(jìn),主要是圍繞著孔隙比e的指數(shù)進(jìn)行,將方程(1)中孔隙比e的指數(shù)從3放寬到n,即:

(2)

式中:孔隙比e的指數(shù)n=3～14,其取值主要取決于土體類型。

方程(2)確實(shí)提高了土體滲透系數(shù)的預(yù)測(cè)精度,但是直接將孔隙比的指數(shù)用n取代方程(1)中的“3”缺乏足夠的理論依據(jù),并且指數(shù)n缺乏明確的物理意義,對(duì)于不同類型的土體,n的值變化較大且不易確定。

采用有效粒徑而不考慮孔隙比(孔隙率)的預(yù)測(cè)模型僅適用于粗顆粒土體(無塑性土體),最具代表性的是1892年Hazen提出的方程,即Hazen方程,其可表示為[17]

(3)

式中:d10表示土體有效粒徑(mm),為累計(jì)分布曲線上過篩重量占10%時(shí)所對(duì)應(yīng)的顆粒粒徑;T表示水溫(℃)。

對(duì)于室溫條件下(T=20 ℃),方程(3)等同于如下方程

(4)

此后,有眾多學(xué)者采用不同的有效粒徑d5、d17、d20、d50代替d10,或者改變前面的系數(shù),因此更為普遍的Hazen方程可表述為

k=Cd2

(5)

式中:d表示土體有效粒徑(mm),即d5、d10、d17、d20、d50等;C為經(jīng)驗(yàn)常數(shù),各類土體取不同有效粒徑的情況下C值不同。

然而,無論是Kozeny-Carman方程還是Hazen方程,都能較好地描述單一土體的滲透系數(shù)與孔隙比或者有效粒徑之間的相互關(guān)系,但是對(duì)于不同類型的土體,由于模型參數(shù)不同,很難具有廣泛的適用性。為此,本文收集分析了大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù),重新分析了控制土體滲透系數(shù)的因素,嘗試從孔徑這一角度分析多孔介質(zhì)的滲透特性。本文主要研究目標(biāo)是明晰土體滲透系數(shù)的關(guān)鍵控制因素,提出一個(gè)簡(jiǎn)單且更具有普適性的預(yù)測(cè)模型,以提高對(duì)多孔介質(zhì)滲透特性的認(rèn)識(shí)。

1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)整理與分析

為了重新審視土體滲透系數(shù)與孔隙比之間的關(guān)系,并探討土體滲透系數(shù)的控制因素,本文搜集了1948年以來大量飽和土體滲透系數(shù)k和相對(duì)應(yīng)的孔隙比e的試驗(yàn)數(shù)據(jù),涉及從粗糙砂礫石到蒙脫土等各種土體。所有的試驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系內(nèi),見圖1。

圖1 不同類型土體的滲透系數(shù)與孔隙比之間的關(guān)系(圖片修改自Ren等[28],數(shù)據(jù)來源于相關(guān)文獻(xiàn)[1-2,8-9,18-27]Fig.1 Relationship between permeability coefficient and pore ratio of different types of soils (modified from Ren et al.[28],data from literatures[1-2,8-9,18-27])

由圖1可以看出:對(duì)于每一種單獨(dú)的土質(zhì),其土體滲透系數(shù)都隨著孔隙比的增大而增大,但是對(duì)于不同的土質(zhì)而言,這一結(jié)論并不能夠成立,比如即使在細(xì)顆粒土的孔隙比比粗顆粒土大的情況下,細(xì)顆粒土的土體滲透系數(shù)依然比粗顆粒土的小很多。這就是為什么眾多學(xué)者提出的以孔隙比計(jì)算土體滲透系數(shù)的模型都不具有廣泛適用性的根本原因?？梢?控制土體滲透系數(shù)的最主要因素不是孔隙比,而是孔徑。實(shí)際上,由于Kozeny-Carman方程是在Hagen-Poiseuille方程對(duì)單一管道模型的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的,其本質(zhì)上強(qiáng)調(diào)的其實(shí)是孔徑而非孔隙比對(duì)于滲流的重要性。

在實(shí)際中土體的孔徑往往難以測(cè)量,但土體的平均孔徑dp可以寫成孔隙比e和比表面積Ss的函數(shù),如表1所示。本文以黏土中扁平狀顆粒最為常見的平行板狀結(jié)構(gòu)(面-面接觸關(guān)系)為例,推導(dǎo)平均孔徑dp的表達(dá)式。表1平行板狀結(jié)構(gòu)示意圖中,dm表示土體板狀顆粒的厚度(m),B、L分別是土體板狀顆粒的寬度(m)和長(zhǎng)度(m),據(jù)表1中幾何排列方式示意圖可以寫出土體的孔隙比和比表面積的表達(dá)式分別如下:

表1 幾種典型幾何結(jié)構(gòu)和排列方式的土體顆粒的幾何特性

(6)

(7)

上式中:Vp表示孔隙的體積;Vm表示土體顆粒的體積;S表示土體顆粒表面積;m表示土體顆粒體積。

聯(lián)合式(6)和(7),消去dm,則可以得到平均孔徑dp的表達(dá)式如下:

(8)

由表1中公式也可以看出,對(duì)于扁平狀的土體顆粒,無論其為何種幾何排列方式,孔徑都可以表達(dá)為孔隙比和比表面積的函數(shù)。但是,對(duì)于給定幾何排列方式的單一粒徑的球狀顆粒而言,其孔隙比為定值,這導(dǎo)致了其平均孔徑僅是比表面積的函數(shù),但是這并不表示孔隙比對(duì)平均孔徑?jīng)]有影響。實(shí)際上,對(duì)于給定的單一粒徑的球狀顆粒土體,孔隙比僅受顆粒的幾何排列方式控制[28-29]:當(dāng)顆粒呈立方體排列時(shí)其結(jié)構(gòu)最為松散,孔隙比emax=0.908;當(dāng)顆粒呈正四面體排列時(shí)其結(jié)構(gòu)最為緊密,孔隙比emin=0.351。同時(shí),顆粒的幾何排列方式也影響著孔徑的大小。因此,對(duì)于球狀顆粒土體,可以認(rèn)為孔隙比是通過土體顆粒幾何排列方式來間接影響孔徑的,也就是說對(duì)于不同粒徑和幾何排列方式的球狀顆粒土體而言,孔徑也可以表達(dá)為孔隙比與比表面積的函數(shù)。因此,任何的土體,其平均孔徑dp可以表示如下:

(9)

式中:e為孔隙比;Ss為比表面積(m2/g);ρm為土體顆粒密度(kg/m3);Csa為由土體顆粒形狀和排列方式?jīng)Q定的參數(shù),根據(jù)表1,可以取不同幾何排列方式下的平均值,對(duì)于細(xì)顆粒黏土,在不明確微觀土體顆粒排列方式的情況下,Csa可取4.0,對(duì)于粗顆粒土體,Csa可取2.69。

對(duì)于土體顆粒粒徑dm或者比表面積Ss已知而孔隙比e未知的粗顆粒土體,可直接采用表1中給出的平均孔徑公式進(jìn)行計(jì)算;當(dāng)幾何排列方式未知時(shí),可取表1中粗顆粒土體在立方體和正四面體結(jié)構(gòu)下的平均孔徑的平均值來作為土體顆粒平均孔徑,即采用下式進(jìn)行計(jì)算:

(10)

為了直接探討土體滲透系數(shù)與孔徑間的關(guān)系,需要按式(9)和(10)求出平均孔徑。平均孔徑是比表面積的函數(shù),然而圖1中所列出的土體滲透系數(shù)所對(duì)應(yīng)土體的比表面積大多在文獻(xiàn)并沒有給出,故需要根據(jù)參考文獻(xiàn)中所給出的土體的其他參數(shù)來估算比表面積Ss。對(duì)于球狀粗顆粒土體(砂土)的比表面積Ss,可以根據(jù)顆粒粒徑的累計(jì)分布曲線來進(jìn)行估算[30-31]:

(11)

式中:Cu為土體顆粒不均勻系數(shù),Cu=D60/D10,D10、D50、D60分別是土體粒徑累計(jì)分布曲線上過篩重量占10%、50%和60%時(shí)所對(duì)應(yīng)的粒徑(mm);ρw為水的密度(g/m3);Gs為土體顆粒相對(duì)密度。

對(duì)于細(xì)顆粒土體的比表面積Ss,可以用液限來進(jìn)行估測(cè)[30-31]:

Ss=1.8LL-34

(12)

式中:LL為土體液限(%)。

根據(jù)式(6)～(12),結(jié)合圖1中所列出的孔隙比和土體滲透系數(shù),便可以估算出各組土體滲透系數(shù)所對(duì)應(yīng)的平均孔徑,如圖2所示。其中,空心圓所示土體對(duì)應(yīng)的平均孔徑按式(9)計(jì)算;實(shí)心方形為未知孔隙比(大部分為0.4

圖2 實(shí)測(cè)土體滲透系數(shù)與估算平均孔徑的關(guān)系Fig.2 Relationship between measured permeability coefficient and estimated average pore size

圖2中非常清楚地展現(xiàn)了土體滲透系數(shù)與平均孔徑的關(guān)系。對(duì)于每一組單獨(dú)的土體而言,其土體滲透系數(shù)隨著平均孔徑的增大而增大;對(duì)于不同土體而言,無論是粗顆粒的砂土,還是細(xì)顆粒的黏土或是粉土,其滲透系數(shù)也都隨著平均孔徑的增大而增大,而不會(huì)出現(xiàn)圖1中大孔隙比土體(細(xì)顆粒土)的滲透系數(shù)反而比小孔隙土體(粗顆粒土)的滲透系數(shù)小的現(xiàn)象。這也證實(shí)了本文前述的觀點(diǎn):孔徑才是影響土體滲透系數(shù)最主要的因素,而非孔隙比。采用土體的平均孔徑作為參數(shù)預(yù)估其滲透系數(shù)是建立合理的土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)模型的前提。

此外,在k-dp曲線中,存在兩個(gè)特征孔徑:門檻孔徑(threshold pore size)dtp和臨界孔徑(critical pore size)dcp。當(dāng)平均孔徑低于門檻孔徑時(shí),土體滲透系數(shù)趨近于0,土體中的水近乎靜止;當(dāng)平均孔徑高于門檻孔徑時(shí),土體滲透系數(shù)隨孔徑的增大而明顯增大。當(dāng)土體的平均孔徑達(dá)到某一值后,土體滲透系數(shù)與平均孔徑之間接近直線關(guān)系,臨界孔徑即指在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系內(nèi)k-dp直線段起始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的孔徑。由圖2中的大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出,土體的門檻孔徑dtp約為納米級(jí)別(1×10-9m),臨界孔徑dcp約為9×10-7m,這兩個(gè)特征孔徑的存在也可根據(jù)Darcy定律解釋:當(dāng)土體的孔徑大于臨界孔徑dcp時(shí)(dp>dcp),土體中水的滲流特征符合Darcy定律;當(dāng)土體的孔徑位于門檻孔徑與臨界孔徑之間(dtp

2 基于孔徑的土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)模型建立

任意飽和多孔介質(zhì)都包含眾多不同形狀和尺寸的滲流通道[32],其斷面如圖3(a)所示。為了探究飽和多孔介質(zhì)滲透系數(shù)k與其控制變量孔徑間的函數(shù)關(guān)系,本文將所有不同形狀和尺寸的滲流通道簡(jiǎn)化為孔徑為R的單一圓形通道,如圖3(b)所示。

圖3 飽和多孔介質(zhì)橫截面示意圖Fig.3 Schematic cross-section of saturated porous media

當(dāng)壓力水頭為h(m)的液體在半徑為R(m)、長(zhǎng)度為L(zhǎng)(m)的單一圓形通道中流動(dòng)時(shí),根據(jù)力的平衡原理,總的水頭壓力應(yīng)該等于水體流動(dòng)時(shí)所需要克服的剪力與摩擦力,但考慮到因克服摩擦力的能量損失計(jì)算過于復(fù)雜,此處只考慮理想狀態(tài)下不考慮水體流動(dòng)時(shí)克服摩擦力做的功,即:

(13)

式中:γw為水的重度(N/m3);μ為流體黏度(N·s/m2);v為流速(cm/s)。

因此,通過求解式(13)可以得到流速的表達(dá)式為

(14)

眾所周知,對(duì)于層流而言,流體在與管道內(nèi)表面接觸的地方(r=R處)流速為0(v=0),因此根據(jù)這個(gè)邊界條件可求得常數(shù)C的計(jì)算公式為

(15)

將式(15)代入(14)中,便可以得到流速的完整表達(dá)式如下:

(16)

式中:μ為動(dòng)力黏滯系數(shù)(Pa·s);i為水力梯度,i=h/L。

r處流量為流速v乘以該處的環(huán)形截面積2πrdr,因此整個(gè)圓形管道截面的流量Q可表示為

(17)

式中:n為飽和多孔介質(zhì)的孔隙率,n=e/(1+e);A為斷面橫截面積(m2),nA=πR2。

根據(jù)Darcy定律,層流的流量可以表示為

Q=kiA

(18)

綜合式(17)和(18),可以得到飽和多孔介質(zhì)中將滲流通道簡(jiǎn)化為單一圓形管道后的土體滲透系數(shù)的表達(dá)式為

(19)

將孔隙比e與孔徑dp的關(guān)系式(9),以及dp=2R代入到式(19)中,則可得到飽和多孔介質(zhì)滲透系數(shù)k與孔徑dp的關(guān)系式為

(20)

同圓管狀滲流通道的推導(dǎo)類似,對(duì)于由兩無限平行板形成的滲流通道,其土體滲透系數(shù)k與孔徑dp的關(guān)系式為

(21)

在室溫T=20 ℃下,水的重度γw=9.8×103N/m3,動(dòng)力黏滯系數(shù)μ=1.0×10-3Pa·s。

由圖4可以看出,試驗(yàn)數(shù)據(jù)的最佳擬合曲線的斜率為0.95,非常接近1,可見理論預(yù)測(cè)模型在形式上是正確的。

圖5(a)和5(b)分別對(duì)采用傳統(tǒng)土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)模型Kozeny-Carman方程[公式(1)]和本文提出的土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)模型[公式(20)]預(yù)測(cè)得到的土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值進(jìn)行了對(duì)比,數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[1-2,8-9,11,15-19]。

圖5 本文土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)模型與傳統(tǒng)Kozeny-Carman模型的土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果的對(duì)比Fig.5 Comparison of predicted soil permeability coefficients between the proposed prediction model and the classical Kozeny-Carman model

由圖5可以看出:采用傳統(tǒng)Kozeny-Carman方程預(yù)測(cè)得到的砂土和粉土的土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)值具有較好的精確度,但細(xì)顆粒黏土的土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)值則不太理想,預(yù)測(cè)值總體比實(shí)測(cè)值偏大,有的偏差甚至達(dá)到3個(gè)數(shù)量級(jí);而本文提出的預(yù)測(cè)模型[式(20)]在全范圍土體,即從砂土、粉土到黏土的土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果均有較好的精確度,所有的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的差異都在1個(gè)數(shù)量級(jí)之內(nèi),即1/10k實(shí)測(cè)

3 結(jié) 論

本文在研究分析大量文獻(xiàn)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,從孔徑的角度在Hagen-Poiseuille方程的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出一個(gè)新的土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)公式,并與大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,得出以下結(jié)論:

1) 相比土體顆粒粒徑和孔隙比,孔徑是控制土體滲透系數(shù)更為關(guān)鍵的因素,采用孔徑特征值(如平均孔徑)建立的土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)模型更為合理。這也是以粒徑和孔隙比為控制參數(shù)的傳統(tǒng)土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)模型(如Hazen方程和Kozeny-Carman方程)不具備普適性的根本原因,而孔隙比和粒徑是通過影響孔徑大小來間接影響土體滲透系數(shù)的。

2) 不論是細(xì)顆粒土還是粗顆粒土,其孔徑都可以表示為孔隙比和比表面積的函數(shù),土體孔徑的大小與孔隙比成正比,但與比表面積成反比。

3) 就孔徑對(duì)土體滲透特性的影響而言,土體中可能存在兩個(gè)重要的特征孔徑,即門檻孔徑和臨界孔徑。大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示土體的門檻孔徑約為10-9m,臨界孔徑dcp約為9×10-7m。

4) 在Kozeny-Carman方程的假定基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了土體滲透系數(shù)與孔徑的關(guān)系,建立了土體滲透系數(shù)的理論預(yù)測(cè)模型。該模型各個(gè)參數(shù)的物理意義明確,且取值相對(duì)容易確定,模型對(duì)土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)精度在1個(gè)數(shù)量級(jí)內(nèi),即1/10k實(shí)測(cè)

值得注意的是,本文提出了以孔徑為控制參數(shù)的土體滲透系數(shù)預(yù)測(cè)模型,該模型雖然抓住了影響土體滲透特性的關(guān)鍵因素,克服了傳統(tǒng)預(yù)測(cè)模型不具備普適性的缺陷,但是該預(yù)測(cè)模型的形式相對(duì)于傳統(tǒng)模型更為復(fù)雜;同時(shí),雖然該模型參數(shù)(孔徑和比表面積)的物理意義較為明確,但并不像傳統(tǒng)模型中的粒徑和孔隙比一樣容易確定。因此,該模型的形式和參數(shù)的簡(jiǎn)化將是未來研究的重點(diǎn)。