VU Van Toi，高洪元，孫溶辰，陳暄

哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

目標(biāo)跟蹤是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的關(guān)鍵技術(shù)，在雷達(dá)和通信感知系統(tǒng)中有廣泛的應(yīng)用。早期的跟蹤算法主要應(yīng)用于武器控制和導(dǎo)彈靶場(chǎng)測(cè)量，通過(guò)測(cè)量目標(biāo)信息，預(yù)測(cè)炮彈或?qū)椀奈磥?lái)位置，進(jìn)而引導(dǎo)火炮瞄準(zhǔn)并設(shè)定引信時(shí)間，或?yàn)閷?dǎo)彈提供制導(dǎo)信息并計(jì)算著彈點(diǎn)[1]。傳統(tǒng)的跟蹤方法通過(guò)發(fā)射筆形單脈沖波束以接收單個(gè)目標(biāo)的回波，對(duì)目標(biāo)的方位、距離和多普勒等信息進(jìn)行跟蹤，但存在精度不高且只能跟蹤一個(gè)目標(biāo)的問(wèn)題[2]。隨著相控陣?yán)走_(dá)和高分辨估計(jì)技術(shù)的發(fā)展，以PARAFAC 算法和卡爾曼濾波（Kalman filtering，KF）等技術(shù)為代表的精密跟蹤方法得到了廣泛關(guān)注[3?4]。同時(shí)，隨著通信技術(shù)的發(fā)展和大規(guī)模陣列的普及，在通信場(chǎng)景下對(duì)多個(gè)終端目標(biāo)同時(shí)進(jìn)行跟蹤的需求也越來(lái)越大，精密跟蹤算法在移動(dòng)通信和自動(dòng)駕駛等領(lǐng)域得到了應(yīng)用[5]，研究其在雷達(dá)和通信感知系統(tǒng)中具有普適性的多目標(biāo)跟蹤算法具有重要的研究意義和價(jià)值。然而，現(xiàn)有的精密多目標(biāo)跟蹤算法和方位估計(jì)算法大多將噪聲建模為高斯白噪聲，這理想化的假設(shè)雖然使同等功率下估計(jì)的理論下界達(dá)到最低，但并不能保證算法在沖擊噪聲下仍具有魯棒性[6]。實(shí)際環(huán)境中，自然界中的雷電和海雜波引起的噪聲和許多人工噪聲都具有沖擊性[7]，這給信號(hào)的檢測(cè)、估計(jì)和跟蹤帶來(lái)了巨大的挑戰(zhàn)。學(xué)者們使用多種厚拖尾的概率密度函數(shù)對(duì)沖擊噪聲進(jìn)行建模，其中 α穩(wěn)定分布具有很好的普適性，由此也相應(yīng)地發(fā)展出許多去沖擊方法，具有代表性的有分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量方法、零記憶非線(xiàn)性處理方法和濾波器方法[8?11]。

實(shí)時(shí)性是評(píng)估目標(biāo)跟蹤算法的重要指標(biāo)。為了對(duì)跟蹤方程進(jìn)行快速求解，使用群智能算法是一種可行的方法。貓群算法是一種針對(duì)多維尋優(yōu)問(wèn)題設(shè)計(jì)的群智能優(yōu)化算法，受貓群內(nèi)部的信息交流機(jī)制的啟發(fā)，在復(fù)雜的多維多峰優(yōu)化問(wèn)題中表現(xiàn)出較好的性能，但是收斂速度較慢。如何平衡開(kāi)發(fā)與探索，即保證收斂到全局最優(yōu)的條件下，在有限的迭代次數(shù)內(nèi)得到盡可能高的收斂精度是智能優(yōu)化算法所面臨的共性難題。而量子群智能是一類(lèi)優(yōu)化算法的統(tǒng)稱(chēng)[12]，量子群智能受量子物理中概念的啟發(fā)，可以將量子原理與傳統(tǒng)的連續(xù)或離散優(yōu)化算法結(jié)合，用模擬的量子旋轉(zhuǎn)門(mén)對(duì)算法中的個(gè)體進(jìn)行演化，獲得優(yōu)于原始算法的性能。

為了解決沖擊噪聲環(huán)境的動(dòng)態(tài)跟蹤難題，本文提出了一種在沖擊噪聲下的魯棒多目標(biāo)跟蹤方法，在動(dòng)態(tài)更新搜索區(qū)間的同時(shí)，設(shè)計(jì)了量子貓群算法對(duì)極大似然跟蹤方程進(jìn)行求解，保證了算法的實(shí)時(shí)性、魯棒性和高精度。

1 沖擊噪聲下多目標(biāo)跟蹤數(shù)學(xué)模型

1.1 目標(biāo)信號(hào)模型

跟蹤問(wèn)題可以等效為對(duì)角度等信息的參數(shù)估計(jì)。假設(shè)經(jīng)N個(gè)目標(biāo)反射后的回波信號(hào)入射到M個(gè)陣元的陣列上，在t時(shí)刻，經(jīng)第n個(gè)跟蹤目標(biāo)反射后的回波信號(hào)表示為sn(t)，其角度為 θn，則第m個(gè)陣元接收到的數(shù)據(jù)為

式中：amn為陣列對(duì)回波信號(hào)的響應(yīng)，n(t)為噪聲。則陣列接收數(shù)據(jù)也可以表示成矢量形式具體為

式中：θ=[θ1,θ2,···,θN]；A(θ)為陣列流型矩陣，其每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)目標(biāo)的導(dǎo)向矢量。陣列接收到的數(shù)據(jù)將被采樣，采樣后的離散數(shù)據(jù)表示為x(k) ，k=1,2,···,K。則對(duì)于靜止目標(biāo)，其協(xié)方差矩陣的估計(jì)公式為

而對(duì)于運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，由于導(dǎo)向矢量a(θ)將隨時(shí)間變化，故需要按時(shí)間順序進(jìn)行下一脈沖時(shí)刻協(xié)方差矩陣的更新，協(xié)方差矩陣的更新公式為

即需先逐個(gè)計(jì)算單個(gè)脈沖數(shù)據(jù)的協(xié)方差R(k)=x(k)xH(k)后，帶入式(1)得到更新后的協(xié)方差(k)， 0 ＜μ＜1稱(chēng)為遺忘系數(shù)，當(dāng)遺忘系數(shù) μ取值較大時(shí)，當(dāng)前時(shí)刻的數(shù)據(jù)所占比重較大，而過(guò)去時(shí)刻數(shù)據(jù)的占比相應(yīng)減小，使算法的跟蹤能力較強(qiáng)，但是穩(wěn)定性較差；而 μ取值較小時(shí)，算法的穩(wěn)態(tài)性能更好，但難以對(duì)快速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)進(jìn)行準(zhǔn)確跟蹤。

由于陣列流型矩陣A(θ)中的每一列將隨時(shí)間變化，因此信號(hào)子空間支撐的范圍也將隨時(shí)間發(fā)生變化。

式中：Q(k)=[Qs(k)Qn(k)]為協(xié)方差矩陣R(k)的特征矢量，由信號(hào)子空間和噪聲子空間的正交基組成；Ds(k)是由信號(hào)特征值組成的對(duì)角陣；σ2(k)為噪聲的特征值。為了同時(shí)跟蹤多個(gè)目標(biāo)，將子空間跟蹤法與來(lái)波方向（direction of arriva，DOA）估計(jì)器結(jié)合是一種常用的方法，即在每個(gè)時(shí)刻，將更新后的子空間輸入到DOA 估計(jì)器中得到角度隨時(shí)間變化的結(jié)果，實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)跟蹤。但這種方法存在無(wú)法解相干的問(wèn)題。除此之外，傳統(tǒng)的方法對(duì)噪聲進(jìn)行了理想化的假設(shè)，使其難以在工程實(shí)際中表現(xiàn)出預(yù)期的性能。本文將在1.2 和1.3 小節(jié)中針對(duì)這些問(wèn)題設(shè)計(jì)新的多目標(biāo)跟蹤方法。

1.2 沖擊噪聲的建模

多數(shù)的研究將噪聲建模為高斯白噪聲，即假設(shè)噪聲子空間中的特征值σ2(k)為常數(shù)，此時(shí)噪聲子空間是球形的。但實(shí)際應(yīng)用中，陣列接收到噪聲常具有沖擊性，這將會(huì)對(duì)跟蹤算法的精度產(chǎn)生很大影響，甚至使其失效。本文中將沖擊噪聲建模為服從 α穩(wěn)定分布的隨機(jī)變量。

對(duì)稱(chēng) α穩(wěn)定分布被廣泛應(yīng)用于對(duì)雷達(dá)雜波進(jìn)行建模，其特征函數(shù)具有如下形式：

式中： α為特征指數(shù)，滿(mǎn)足0 ＜α ≤2，特征指數(shù)反映了噪聲在時(shí)域的沖擊性， α越大沖擊性越強(qiáng)，概率密度拖尾也越厚； γ為分散系數(shù)，γ=1時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)α穩(wěn)定分布噪聲； μ為位置參數(shù)，滿(mǎn)足?∞＜μ≤∞，代表了隨機(jī)變量的中值或均值。

已有的研究表明，通過(guò)使用高斯核函數(shù)，可以有效地濾除沖擊噪聲[13]。本文設(shè)計(jì)了一種零記憶非線(xiàn)性預(yù)處理方法，通過(guò)從空域維度對(duì)每個(gè)采樣時(shí)刻的數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，將沖擊噪聲轉(zhuǎn)化為方差為有限值的噪聲，并使輸出數(shù)據(jù)近似地服從高斯分布，具體步驟如下：首先在第k個(gè)采樣時(shí)刻，取M個(gè)陣元的采樣值的絕對(duì)值中最大值和最小值分別為

由此定義基于高斯核函數(shù)的加權(quán)函數(shù)為

式中 ω為高斯核的超參數(shù)。高斯核加權(quán)也可以理解為由陣列輸出指數(shù)加權(quán)的無(wú)窮范數(shù)歸一化處理[14]，由于加權(quán)函數(shù)的值只與當(dāng)前時(shí)刻的陣列輸出相關(guān)，即具有零記憶特性，相比于時(shí)域?yàn)V波等傳統(tǒng)抗沖擊方法更適合對(duì)動(dòng)態(tài)目標(biāo)進(jìn)行處理；而高斯核函數(shù)的非線(xiàn)性特性也使這種方法相對(duì)于低階矩等方法在強(qiáng)沖擊環(huán)境下魯棒性更強(qiáng)。經(jīng)加權(quán)后的第m個(gè)陣元的輸出為

將第m個(gè)陣元加權(quán)后的全部數(shù)據(jù)寫(xiě)成向量形式為

按照式(2)完成更新后，最近時(shí)刻的快拍數(shù)據(jù)將獲得最大的權(quán)重，而之前時(shí)刻數(shù)據(jù)的權(quán)重隨時(shí)間衰減，達(dá)到目標(biāo)點(diǎn)跡平滑的目的。

1.3 極大似然多目標(biāo)跟蹤方程

當(dāng)信號(hào)為相干信源時(shí)，無(wú)法通過(guò)特征分解得到準(zhǔn)確的信號(hào)或噪聲子空間，子空間類(lèi)的跟蹤算法將無(wú)法跟蹤多個(gè)目標(biāo)。針對(duì)這一問(wèn)題，本文將根據(jù)極大似然原理，推導(dǎo)多目標(biāo)跟蹤的似然函數(shù)。

首先，為了使模型與觀測(cè)數(shù)據(jù)的距離最小化，定義誤差函數(shù)為

將A(θ)視為常量，針對(duì)信號(hào)波形進(jìn)行求解得到(k)=(A(θ)HA(θ))?1A(θ)Hy(k)并帶回式(3)，得

利用正交投影得性質(zhì)，可以將最小化f(θ,k)轉(zhuǎn)化為最大化的優(yōu)化問(wèn)題，由此定義似然函數(shù)L(θ,k)為

式中PA(θ)=A(θ)(A(θ)HA(θ))?1A(θ)H為陣列流型矩陣的投影矩陣，使似然函數(shù)最大即可得到對(duì)來(lái)波方向的最大似然估計(jì)結(jié)果，將這一過(guò)程表示為估計(jì)方程如下

2 基于量子貓群算法的多目標(biāo)跟蹤

由于多目標(biāo)跟蹤方程沒(méi)有閉式解，傳統(tǒng)的網(wǎng)格搜索耗時(shí)巨大且有量化誤差，本文設(shè)計(jì)了一種新的量子群智能算法，稱(chēng)為量子貓群算法（quantum cat swarm optimization, QCSO）對(duì)其進(jìn)行快速求解。

2.1 量子貓群算法

量子貓群算法借鑒了貓群算法的原理，對(duì)狩獵過(guò)程中貓種群內(nèi)的交流聯(lián)系機(jī)制進(jìn)行研究，在貓捕食獵物的過(guò)程中，每個(gè)量子貓綜合考慮與當(dāng)前種群中的多個(gè)的量子貓的距離，模仿貓之間信息交流包圍獵物，并將量子貓的搜索空間轉(zhuǎn)換為量子態(tài)的量子貓個(gè)體，具體的數(shù)學(xué)模型和尋優(yōu)機(jī)制如下。

在P維的搜索空間中，量子貓的個(gè)數(shù)為L(zhǎng)，最大迭代次數(shù)為G，當(dāng)前迭代數(shù)為g，g∈[1,G]，第g次迭代中第l個(gè)量子貓記為量子貓的優(yōu)劣由適應(yīng)度值的大小決定，標(biāo)記為。規(guī)定適應(yīng)度最大和最小的量子貓為最優(yōu)量子貓和最差量子貓，適應(yīng)度分別為和。

在量子貓算法中，使用模擬量子旋轉(zhuǎn)門(mén)實(shí)現(xiàn)量子貓捕食獵物的尋優(yōu)搜索過(guò)程，在第g次迭代中，首先計(jì)算參數(shù)

由此計(jì)算全部量子貓中的適應(yīng)度大于 ξg的個(gè)數(shù)為

每個(gè)量子貓根據(jù)自身與適應(yīng)度排名前Qg的量子貓的距離確定運(yùn)動(dòng)方向與距離。由此得到第l個(gè)量子貓的第p維向第q個(gè)量子貓的第p維運(yùn)動(dòng)量子旋轉(zhuǎn)角計(jì)算公式為

式中(q)為[0,1]的均勻隨機(jī)數(shù)。另外規(guī)定，若(q)=0，則令

式中sign為符號(hào)判決函數(shù)。

使用模擬量子旋轉(zhuǎn)門(mén)計(jì)算第l個(gè)量子貓的第p維向第q個(gè)量子貓的第p維運(yùn)動(dòng)的位移分量(q)，位移分量的計(jì)算公式為

則運(yùn)動(dòng)后的第l個(gè) 量子貓的第p維取值為

得到新一代的量子貓種群后，判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，當(dāng)?shù)瓿珊髮⒆顑?yōu)量子貓的位置映射到解空間輸出。量子貓群算法適當(dāng)?shù)仄胶饬怂惴ǖ娜趾途植克阉髂芰Γ瑢?shí)現(xiàn)高效的尋優(yōu)搜索且不易陷入局部最優(yōu)。

2.2 量子貓群算法在多目標(biāo)跟蹤中的應(yīng)用

使用量子貓群算法對(duì)多目標(biāo)跟蹤方程進(jìn)行求解時(shí)，設(shè)定搜索空間為角度空間，即P=N，建立量子態(tài)的量子貓個(gè)體與其在搜索范圍中的映射態(tài)的線(xiàn)性映射關(guān)系具體為

根據(jù)多目標(biāo)跟蹤方程定義量子貓個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)為

在收到第一個(gè)回波信號(hào)并得到估計(jì)結(jié)果后，根據(jù)這一結(jié)果縮小搜索范圍，以節(jié)省計(jì)算量，搜索范圍的下界與上界的更新公式分別為

量子貓群算法的最大迭代次數(shù)由當(dāng)前搜索范圍的最大值向下取整得到

基于量子貓群算法的多目標(biāo)跟蹤算法步驟總結(jié)如下：

1）陣列接收回波信號(hào)后進(jìn)行采樣，并進(jìn)行加權(quán)處理；

2）按照式(1)對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行更新；

3）根據(jù)前一時(shí)刻的信息，按照式(4)和式(5)確定搜索邊界；

4）根據(jù)式(6)確定算法的迭代次數(shù)，用量子貓群算法對(duì)多目標(biāo)跟蹤方程進(jìn)行求解，在達(dá)到最大迭代次數(shù)后，輸出當(dāng)前時(shí)刻點(diǎn)的估計(jì)值；

5）獲取下一個(gè)脈沖回波數(shù)據(jù)后返回步驟1）否則輸出跟蹤結(jié)果。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過(guò)設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)所提出的沖擊噪聲下基于量子貓群的多目標(biāo)跟蹤方法進(jìn)行性能對(duì)比。

實(shí)驗(yàn)1 首先對(duì)比了QCSO 在不同維度的測(cè)試函數(shù)上與幾種傳統(tǒng)算法的收斂性能。對(duì)比算法包括改進(jìn)的并行貓群算法[15]（enhanced cat swarm optimization, CSO）、原始的貓群算法[16]（cat swarm optimization, CSO）、遺傳算法（genetic algorithm,GA）和粒子群算法（particle swarm optimizer, PSO），對(duì)比算法參數(shù)設(shè)置見(jiàn)相應(yīng)參考文獻(xiàn)。選取的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)的表達(dá)式為

式中D為 搜索空間的維度。D取2、10 和100 的條件下得到的收斂精度隨迭代數(shù)變化曲線(xiàn)分別如圖1 所示。

圖1 收斂精度隨迭代數(shù)變化曲線(xiàn)

從仿真結(jié)果可以看出，所設(shè)計(jì)的量子貓群算法在不同維度的優(yōu)化問(wèn)題中都表現(xiàn)出更快的收斂速度，達(dá)到最大迭代數(shù)后的收斂精度也更高。

在測(cè)試函數(shù)上的表現(xiàn)證明了所設(shè)計(jì)的算法具有較強(qiáng)的尋優(yōu)搜索能力。接下來(lái)將在不同的噪聲背景下，對(duì)比所設(shè)計(jì)方法與現(xiàn)有方法對(duì)多目標(biāo)跟蹤的性能。

實(shí)驗(yàn)2假設(shè)空間中同時(shí)存在2 個(gè)相干目標(biāo)，回波信號(hào)從不同方向入射到均勻線(xiàn)陣上，仿真實(shí)驗(yàn)中采用2 個(gè)同頻同相的等功率正弦波，頻率均為1 GHz，角度隨時(shí)間變化規(guī)律為：θ1(k)=20+k/50，θ2(k)=80?3k/100，k=1,2,···,500，陣列采樣頻率為1 kHz，持續(xù)時(shí)間為0.5 s，陣元數(shù)為8。規(guī)定每個(gè)脈沖下，對(duì)于每個(gè)目標(biāo)，跟蹤角度結(jié)果與實(shí)際角度的差值低于1°為跟蹤成功。對(duì)比方法包括基于分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差（fractional low-order covariance,FLOC）的跟蹤方法[17?18]、基于無(wú)窮范數(shù)歸一化的跟蹤方法[19]和基于共變矩（robust covariation,ROC）的跟蹤方法[20]。當(dāng)沖擊噪聲的特征指數(shù)固定為1.2 和1.6 時(shí)，得到的跟蹤成功概率隨信噪比變化曲線(xiàn)分別如圖2 所示。固定信噪比為15 dB，仿真跟蹤成功概率隨特征指數(shù)變化曲線(xiàn)如圖3 所示，特征指數(shù)為1.6 時(shí)的跟蹤結(jié)果的示意如圖4所示。

圖2 跟蹤成功概率變化曲線(xiàn)

圖3 跟蹤成功概率隨特征指數(shù)變化曲線(xiàn)

圖4 2 個(gè)目標(biāo)情況下的跟蹤示意

從仿真結(jié)果可以看出，本文所提出的沖擊噪聲下的多目標(biāo)跟蹤方法在不同信噪比和不同特征指數(shù)的都較傳統(tǒng)方法有性能優(yōu)勢(shì)。尤其是在特征指數(shù)較小（強(qiáng)沖擊）和信噪比較低的環(huán)境下，本文所提方法的性能優(yōu)勢(shì)更明顯，具有很好的魯棒性。

實(shí)驗(yàn)3假設(shè)空間中存在4 個(gè)部分相關(guān)的目標(biāo)，信號(hào)形式同上但信號(hào)幅值服從高斯分布，即這4 個(gè)目標(biāo)兩兩之間的相關(guān)系數(shù)介于0 與1 之間。角度隨時(shí)間變化規(guī)律分別為

其他參數(shù)設(shè)置不變。角度隨時(shí)間變化的規(guī)律用實(shí)線(xiàn)標(biāo)注，跟蹤結(jié)果用不同的圖形標(biāo)注如圖5。

圖5 4 個(gè)目標(biāo)情況下的跟蹤示意

由圖5 可以看出，信號(hào)在角度空間雖然發(fā)生了交疊，但所設(shè)計(jì)的方法可以分辨多個(gè)目標(biāo)并進(jìn)行有效跟蹤。需要注意的是，目標(biāo)相對(duì)于陣列的角度變化規(guī)律體現(xiàn)為運(yùn)動(dòng)軌跡，與信號(hào)之間的相關(guān)性在物理意義上無(wú)關(guān)。

從以上仿真結(jié)果可以看出，本文所提方法可以對(duì)獨(dú)立、部分相關(guān)和全相干的多目標(biāo)進(jìn)行高效準(zhǔn)確跟蹤，適合應(yīng)用于偵察和火控雷達(dá)系統(tǒng)中。

4 結(jié)論

本文針對(duì)沖擊噪聲環(huán)境下的多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題，設(shè)計(jì)了新的抗沖擊方法，推導(dǎo)了極大似然多目標(biāo)動(dòng)態(tài)跟蹤方程，并設(shè)計(jì)了一種新的量子智能優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行高效求解，具體的結(jié)論如下：

1）構(gòu)造了一種新的基于零記憶非線(xiàn)性處理的抗沖擊預(yù)處理方法，在沖擊噪聲背景具有魯棒性且在不同信噪比條件下都表現(xiàn)出優(yōu)于現(xiàn)有抗沖擊方法的性能，尤其在強(qiáng)沖擊環(huán)境下性能優(yōu)勢(shì)更明顯。

2）推導(dǎo)了的極大似然多目標(biāo)跟蹤方程，解決了現(xiàn)有的基于子空間更新的動(dòng)態(tài)跟蹤方法無(wú)法對(duì)相干信源進(jìn)行跟蹤的問(wèn)題，突破了應(yīng)用局限。

3）設(shè)計(jì)了一種新的量子貓群算法，為對(duì)多目標(biāo)跟蹤方程進(jìn)行快速、準(zhǔn)確的求解。所設(shè)計(jì)的算法通過(guò)應(yīng)用量子機(jī)制，在收斂速度和收斂精度上較傳統(tǒng)的優(yōu)化算法具有優(yōu)勢(shì)，可以實(shí)現(xiàn)無(wú)量化誤差的求解。

仿真實(shí)驗(yàn)證明，本文提出的基于量子貓群算法的動(dòng)態(tài)跟蹤方法在不僅在沖擊噪聲下具有很好的魯棒性，在高斯噪聲背景下也同樣適用。且具有實(shí)時(shí)性好的優(yōu)點(diǎn)，在先進(jìn)的精密跟蹤雷達(dá)和通信感知系統(tǒng)中有廣泛應(yīng)用前景。本文所設(shè)計(jì)的量子貓群算法是一種高效的尋優(yōu)搜索算法，也可以被應(yīng)用于解決其他工程問(wèn)題。下一階段將繼續(xù)研究抗沖擊性能更優(yōu)的處理方法，進(jìn)一步提高精密跟蹤系統(tǒng)的性能，促進(jìn)智能信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展。