趙 巖, 張亞輝, 林家浩

(1.大連理工大學(xué) 力學(xué)與航空航天學(xué)院 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE軟件全國重點實驗室,大連 116023;2.大連理工大學(xué)寧波研究院,寧波 315016)

1 引 言

隨機振動問題廣泛存在于地震、風(fēng)、波浪和空間不平順等復(fù)雜環(huán)境載荷作用下結(jié)構(gòu)和裝備的設(shè)計和安全性評價中。自創(chuàng)建以來,虛擬激勵法作為線性隨機振動分析的高效精確方法,在橋梁抗震/抗風(fēng)、車輛工程和航空航天工程等各個領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用[1,2],成為分析隨機振動問題的一種有力手段。虛擬激勵法在創(chuàng)建和發(fā)展過程中,得到鐘萬勰院士的極大關(guān)懷和大力支持,特別是結(jié)合鐘萬勰院士提出的精細(xì)積分法和對偶辛體系,虛擬激勵法對于非平穩(wěn)問題和隨機波傳播問題等都給出了有效的解決途徑[3-5]。基于以往隨機振動虛擬激勵法處理非平穩(wěn)隨機振動問題的分析思路,本文給出一種非平穩(wěn)隨機振動分析閉合解的求解方式。

在很多實際工程結(jié)構(gòu)的抗震分析中,地震輸入通常采用一致地面激勵,即假定各支承點的地面運動是相同的。這種假定對于跨度不是很大的高層建筑或高聳結(jié)構(gòu)來說,是比較合理的。但對于大跨度橋梁、水壩和管線等空間結(jié)構(gòu),由于地震發(fā)生時,結(jié)構(gòu)的各支承點受地震傳播的行波效應(yīng)、局部場地效應(yīng)和部分相關(guān)效應(yīng)的影響,各支承處輸入的地面運動顯著不同,需要采用多點輸入地震作用模型[6]。早期關(guān)于大跨度多點輸入地震響應(yīng)分析的研究,很多工作都建立在地面運動做為平穩(wěn)隨機過程假設(shè)的基礎(chǔ)之上。實際地震觀測發(fā)現(xiàn),地震發(fā)生過程中振動強度通常經(jīng)歷上升、平穩(wěn)和下降三個階段,呈現(xiàn)出一種典型的非平穩(wěn)特性。Priestley[7]建議采用演變激勵模型描述地震的非平穩(wěn)特性,由于具有比較明確的物理意義,該模型在地震工程得到廣泛的應(yīng)用。對于非一致非平穩(wěn)地震載荷作用下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析,Perotti[8]模擬地面運動為具有演變譜的非平穩(wěn)隨機過程,采用隨機振動方法研究了多支座大跨度結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)行為。Alderucci等[9]針對地面運動空間變異性對于大跨度多支承結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)振動問題推導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)響應(yīng)演變功率譜密度函數(shù)的閉合解,研究了演變過程模型和西格瑪振蕩過程模型。文獻[10]結(jié)合虛擬激勵法與精細(xì)積分方法研究了大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)(包括非均勻調(diào)制)隨機地震響應(yīng)的有效分析。

大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機振動問題通常需要進行時頻分析。在時頻分析過程中,需要對每一頻點執(zhí)行一次時域逐步積分,如果分析的頻域區(qū)間包含過多的頻點,這種方法會消耗過多計算資源。本文基于虛擬激勵法從頻域建立了大跨度結(jié)構(gòu)多點輸入非平穩(wěn)振動分析的有效方法,推導(dǎo)了考慮地震地面運動部分相干效應(yīng)時結(jié)構(gòu)響應(yīng)演變功率譜的閉合解。由于實現(xiàn)了確定性調(diào)制過程與隨機過程的分離,應(yīng)用本文的方法只需要對確定性調(diào)制過程實施傅里葉分析計算,在具有較高精度的前提下,計算效率獲得有效的提升。

2 非一致激勵下大跨度結(jié)構(gòu)運動方程

對于一個有n1個地面支座和n2個自由度的離散線性大跨度結(jié)構(gòu),其多點地震激勵運動方程可寫成如下的分塊矩陣形式[1]

(1)

式中xb(t)為支座的地面強迫位移,xs(t)為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)所有非支座節(jié)點位移,pb(t)為地面作用于支座的力,M,C和K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣、阻尼陣和剛度陣,下標(biāo)s和b分別對應(yīng)于結(jié)構(gòu)的非支座自由度和支座自由度。對于集中質(zhì)量離散化模型,質(zhì)量矩陣中的交互項Msb和Mbs為零。

在求解運動方程(1)時,可將絕對位移xs(t)分解為擬靜位移ys(t)和動態(tài)相對位移yr(t)兩部分,即

(2)

式中 擬靜位移ys(t)滿足靜力學(xué)平衡方程

(3)

由式(3)可得擬靜位移ys(t)和地面支座節(jié)點位移xb(t)滿足

(4)

(5)

(6)

(7)

的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為

(8)

式中E為一個m1×n1的轉(zhuǎn)換矩陣。顯然,當(dāng)只考慮三個平動分量而不考慮轉(zhuǎn)動分量時,m1=3n1。

由式(4,5,8)可分別改寫為

ys(t)=-Pub(t)

(9)

(10)

式中 系數(shù)矩陣P為

(11)

3 大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機振動分析的頻域方法

3.1 結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機輸入及響應(yīng)

(12)

式中h(τ)為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)矩陣,其與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣H(ω)存在傅里葉變換關(guān)系為

(13)

大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機振動的位移響應(yīng)xs(t)為

xs(t)=yr(t)+ys(t)=

(14)

3.2 結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機振動的相關(guān)分析

進行大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機響應(yīng)的相關(guān)分析,由式(14)可知,結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)xs(t)的自相關(guān)函數(shù)為

(15)

式(15)右端項具有四個部分,分別為動態(tài)相對位移yr(t)和擬靜位移ys(t)的自相關(guān)函數(shù),以及兩者的互相關(guān)函數(shù)。為推導(dǎo)方便,首先考察式(15)右端第一項結(jié)構(gòu)動態(tài)相對位移yr(t)的自相關(guān)分析,有

(16)

(17)

式中 推導(dǎo)過程利用了輸入激勵功率譜矩陣Süü的譜分解。將式(17)代入式(16),并交換積分運算符號有

(18)

(19)

(20)

由此,可得系統(tǒng)非平穩(wěn)隨機振動響應(yīng)yr(t)的互相關(guān)矩陣為

(21)

對于式(15)右端的其余三部分的期望運算,其推導(dǎo)過程與上述結(jié)構(gòu)動態(tài)相對位移yr(t)的自相關(guān)分析類似,為避免繁瑣,本文直接給出最后的結(jié)果如下。

結(jié)構(gòu)擬靜位移響應(yīng)ys(t)的自相關(guān)函數(shù)為

βj(t,ω)=PG(t)u～(t,ω)

(22)

結(jié)構(gòu)動態(tài)相對位移響應(yīng)yr(t)和結(jié)構(gòu)擬靜位移響應(yīng)ys(t)的互相關(guān)函數(shù)為

(23)

結(jié)構(gòu)擬靜位移響應(yīng)ys(t)和結(jié)構(gòu)動態(tài)相對位移響應(yīng)yr(t)的互相關(guān)函數(shù)為

(24)

利用式(20～23),并令tk=tl=t,由式(15)可以獲得考慮部分相干效應(yīng)大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機振動位移響應(yīng)xs(t)的方差函數(shù)

(25)

由維納-辛欣關(guān)系可知,式(25)積函數(shù)正是結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)xs(t)的演變功率譜密度矩陣,為

(αj(t,ω)+βj(t,ω))T

(26)

進一步可以按式(27)計算結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)xs(t)的時變方差

(27)

3.3 演變功率譜分析的頻域方法

考慮虛擬激勵載荷向量式(20)關(guān)于時間t的傅里葉積分變換,此時ω為常值,有

(28)

(29)

為調(diào)制函數(shù)矩陣G(t)的傅里葉變換矩陣。

與式(28)相應(yīng)的逆傅里葉變換為

(30)

利用式(19,28,30),由式(19)可進一步推導(dǎo)出計算虛擬響應(yīng)αj(t,ω)的頻域表達形式,即

(31)

式中

(32)

式(21)中令tk=tl=t,利用式(19,32)可得系統(tǒng)隨機振動響應(yīng)y(t)隨時間演變的自相關(guān)矩陣為

(33)

式(33)的被積函數(shù)正是結(jié)構(gòu)動態(tài)相對位移響應(yīng)yr(t)的演變功率譜密度矩陣,為

(34)

與式(34)推導(dǎo)類似,可以得到結(jié)構(gòu)動態(tài)相對位移響應(yīng)ys(t)的演變功率譜密度矩陣

ηs(t)=-PG(t)

(35)

由式(34～36)可以得到大跨度結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)隨機振動位移響應(yīng)演變功率譜密度矩陣表達式為

Sysys(t,ω)=β(t,ω)Süü(iω)βT(t,ω)

(36)

4 數(shù)值算例

如圖1某大跨度斜拉橋,全長為866 m,結(jié)構(gòu)采用全漂浮雙索面斜拉體系。橋梁有限元模型具有429個節(jié)點,其中包含6個地面節(jié)點,劃分301個單元,1156個自由度。主甲板和橋塔采用三維梁單元模擬,斜拉索采用一維索單元模擬。在分析中,采用前200階模態(tài)進行模態(tài)分解,模態(tài)振型阻尼比取為0.05。采用本文提出的頻域方法與文獻[3]的時頻分析方法進行非平穩(wěn)非一致地震作用下結(jié)構(gòu)隨機振動分析。有效頻率區(qū)間取為ω∈[0.0,100] rad/s,頻域步長為Δω=0.2 rad/s。

圖1 斜拉橋有限元模型

4.1 方法驗證

采用均勻調(diào)制演變非平穩(wěn)隨機過程模型描述地面運動,考慮如下三段調(diào)制函數(shù),即

(37)

式中 各參數(shù)取值分別為I0=1,t1=1.5,t2=15,c0=0.2。

基于中國規(guī)范選取地面加速度反應(yīng)譜,特性參數(shù)為7°區(qū)域設(shè)防,2類場地類別,1類地震分類。本文采用Kaul[11]提出的方法進行該場地反應(yīng)譜與等效功率譜轉(zhuǎn)換,并作為下述分析采用的地面加速度功率譜。

采用Loh-Yeh[12]建議的相干函數(shù)模型進行各地面支座節(jié)點相干關(guān)系模擬

(38)

式中kx為地震波傳播的波數(shù),根據(jù)SMART-1地震臺網(wǎng)的第40次的加速度記錄,取kx=0.125。

假定橋梁受沿著橋主軸方向傳播的SV波作用,地震視波速vapp=700 m/s。計算分析中,時頻分析方法采用時間步長為0.02 s;采用本文的頻域分析方法時,采樣頻率為10 Hz。為方便進行兩種方法的對比驗證,選擇斜拉橋主甲板的2個觀測點A和點B(位置分別為x1=262.2 m,x2=412.2 m),分別采用時頻方法和本文建立的頻域方法計算兩個觀測點豎向剪力的隨機振動響應(yīng)。

為進行兩種方法的對比驗證,圖2～圖4給出了主甲板不同觀測位置豎向剪力時變標(biāo)準(zhǔn)差計算結(jié)果。圖2和圖3為主甲板點A和點B的豎向剪力標(biāo)準(zhǔn)差。圖4為地震作用時刻為t=30 s時,主甲板豎向剪力標(biāo)準(zhǔn)差。可以看出,兩種方法計算非常一致,最大誤差不超過0.2%。從圖2和圖3可以看出,對于時變方差響應(yīng),大致經(jīng)過上升、平穩(wěn)和下降3個階段,表明了響應(yīng)的非平穩(wěn)隨機振動特性。對于圖4,剪力沿著主甲板的分布具有一定的對稱性,這是由于懸索橋的結(jié)構(gòu)大致對稱,并承受對稱載荷作用的結(jié)果。在上述計算中,時頻分析方法計算時間為2347.98 s,本文建立的頻域分析方法計算時間為1030.32 s。

圖2 主甲板點A豎向剪力時變標(biāo)準(zhǔn)差

圖3 主甲板點B豎向剪力時變標(biāo)準(zhǔn)差

圖4 t=30 s時主甲板不同位置豎向剪力標(biāo)準(zhǔn)差

4.2 不同相干模型

對于考慮地震傳播的時空結(jié)構(gòu),根據(jù)強震觀測及統(tǒng)計分析已經(jīng)發(fā)展了多種相干函數(shù)模型,除了本文采用的Loh模型,下面給出另外兩種模型。

馮啟民-胡聿賢相干函數(shù)模型[13]

(39)

Harichandran-Vanmarcke相干函數(shù)模型[14]

(40)

式中

θ(ω)=K[1+(ω/ω0)b]-1/2

(41)

根據(jù)SMART-1地震臺網(wǎng)的加速度記錄,模型的參數(shù)為A=0.736,α=0.147,K=5210,ω0=6.85 rad/s,b=2.78。

假定SV波作用,視波速vapp=750 m/s,分別考慮Loh,Harichandran和Haicheng相干模型,其余分析參數(shù)同4.1節(jié)。選擇的主甲板的觀測點B,計算的豎向剪力F和橫向彎矩M時變方差分別如圖5和圖6所示。同樣給出了地震作用時間為t=30 s時刻,主甲板剪力和彎矩圖標(biāo)準(zhǔn)差的計算結(jié)果,如圖7和圖8所示。從上述結(jié)果可以看出,不同的相干模型對于內(nèi)力響應(yīng)具有顯著的影響。對于本文討論的參數(shù)情況,采用Haicheng相干模型時計算的內(nèi)力響應(yīng)最大,Loh相干模型獲得的結(jié)果最小。從圖7和圖8可以看出,計算的結(jié)果仍然具有一定的對稱性,三種相干模型計算內(nèi)力響應(yīng)沿著橋梁主軸方向的變換趨勢大致相同,對于主甲板對稱軸位置的內(nèi)力響應(yīng)存在一定差別,對于主甲板中間位置,Haicheng和Harichandran相干模型的計算結(jié)果存在一個波谷,但Loh相干模型的計算結(jié)果則存在一個波峰。

圖5 不同相干模型豎向剪力標(biāo)準(zhǔn)差

圖6 不同相干模型觀橫向彎矩標(biāo)準(zhǔn)差

圖7 不同相干模型下主甲板剪力標(biāo)準(zhǔn)差

圖8 不同相干模型下主甲板彎矩標(biāo)準(zhǔn)差

5 結(jié) 論

由于地震波傳播過程中的行波效應(yīng)、場地相干效應(yīng)以及局部場地效應(yīng),對于大跨度結(jié)構(gòu)的抗震分析需要考慮地面運動的非一致性。本文基于虛擬激勵法建立了多點輸入非平穩(wěn)隨機振動分析的閉合解,與傳統(tǒng)的時頻分析方法不同,建立的方法完全基于頻域執(zhí)行。該方法比較顯著的特點是實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)非平穩(wěn)響應(yīng)確定性調(diào)制過程與非平穩(wěn)過程的有效分離。在具體計算分析中僅需要考慮確定性調(diào)制部分的分析,由于輸入調(diào)制函數(shù)具有慢變函數(shù)的特性,在應(yīng)用離散傅里葉分析技術(shù)時不需要較高的采樣頻率,即可獲得良好精度的計算結(jié)果。