黃曉勇

(福建省龍巖初級中學,福建 龍巖 364000)

應用題是通過語言或者文字對有關事實進行敘述,反映出某種數(shù)學關系,如數(shù)量關系、位置關系等,且求解未知數(shù)量的一類題目,每道應用題中都包含有已知條件與所求結論.在初中數(shù)學解題教學中,應用題的題型較多,不同類型的應用題需要用到不同的解題思路與技巧,教師應通過多元化的訓練,使學生能根據(jù)實際情況采用相應的解題技巧[1].

1 二元一次方程類應用題的解題技巧

二元一次方程類應用題在初中數(shù)學應用題解題訓練中較為常見.解決這類問題的關鍵是認真審題,充分理解題意,找到題目中相關條件之間的邏輯關系與數(shù)量之間的等量關系,據(jù)此設出未知數(shù),建立二元一次方程組,最終使用二元一次方程組的相關知識把未知數(shù)求出來.需要注意的是,解決此類應用題時,應保證最終結果同實際情況相契合,讓學生學會全面考慮問題,使其掌握解答此類應用題的一些技巧[2],提高其解題能力.

例1王軍同學為本班購買課外書,回校后向班主任匯報:我購買兩種課外書,一共是30本,單價分別是20元與24元,買書前的700元還余下38元.班主任說他肯定搞錯了.

(1)班主任說王軍搞錯的原因是什么?結合所學知識解釋;

(2)后來王軍發(fā)現(xiàn)的確錯了,還購買了另外一本課外書,但是單價不清楚,只能辨認出是不滿10元的整數(shù),假如單價是20元的課外書比單價是24元的課外書多,求外一本課外書的單價.

解析本題理解起來難度不大,第一問比較簡單,建立二元一次組后不難解答,第二問難度稍大,學生應大膽設出參數(shù),且依據(jù)題意找準參數(shù)之間的大小關系,再通過分析、計算確定最終答案.

2 分式方程類數(shù)學應用題的解題技巧

分式方程是一類比較特殊的方程,當遇到此類應用題時,教師首先要求學生仔細閱讀題目內容,了解題干所描述的情境,使其結合個人所學與生活經(jīng)驗找到題目中參數(shù)之間的潛在關系,明確圍繞哪個參數(shù)來列方程.解完方程后,學生還要檢查結果的準確性.在初中數(shù)學解題教學中,不少應用題都能夠利用分式方程解決.

例2 張華家距離動物園1 900 米,一天他步行去看動物表演,走到路程的一半時發(fā)現(xiàn)沒有攜帶門票,這時距離表演開始還有23 分鐘,于是他馬上步行回家取票,然后騎自行車去動物園,假如張華騎自行車到動物園比步行少用20 分鐘,且速度是步行的5倍,進家取票花費4 分鐘,那么他是否可以在表演開始之前到達動物園?通過計算說明理由.

解析通過審題發(fā)現(xiàn),本題應構建一個有關路程、速度與時間的分式方程,先求出張華騎自行車與步行的速度,再根據(jù)路程、速度與時間之間的關系,計算所需時間,最后結合計算結果進行準確判斷.

3 一元一次不等式應用題的解題技巧

在初中數(shù)學教學過程,所學習的不等式知識以一元一次不等式為主,相應地會圍繞一元一次不等式安排應用題.這類應用題的題干描述往往與眾不同,會出現(xiàn)“不超過”“不少于”“不多于”“最少”“最多”等特殊詞,把握好這些詞是解決一元一次不等式應用題的關鍵.

例3 某商店計劃購進甲、乙兩種商品,其中甲的進價單價比乙多5 元,且用800 元購進的甲商品和用400 元購進的乙商品數(shù)量相同,現(xiàn)在要一共購進甲、乙兩種商品100 件,進貨資金不少于800 元,不多于850 元,那么有多少種進貨方案?如果甲商品的利潤是m元,乙商品的利潤是(6-m)元,如何進貨才可以確保獲得的利潤最大?

解析本題需先求出甲、乙兩種商品的進價單價,再根據(jù)總進價資金的范圍找到不等關系,確定參數(shù)取值范圍,并寫出關于總利潤的表達式,分析式子中各個參數(shù)的取值范圍,然后結合一次函數(shù)的性質求出最大利潤.

4 三角函數(shù)類數(shù)學應用題的解題技巧

三角函數(shù)是初中生接觸到的一類特殊數(shù)學知識,初中階段以學習銳角三角函數(shù)為主,包括正弦、余弦、正切.解決此類應用題的步驟如下:(1)認真審題與讀圖,確定題設所求的問題;(2)根據(jù)題意,利用所學的幾何知識嘗試構造直角三角形,必要時添加輔助線;(3)求解未知量的值時,需要注意不同三角函數(shù)中線段之間的關系是不一樣的,以免因為關系弄錯而計算出錯誤的結果.

圖1 例4題圖

解析解決本題時,應以所求結論為前提展開逆向推理,尋找要求解的未知量,再結合解題經(jīng)驗添加輔助線就能進行分析,尋找角度和線段之間的關系,認真計算后即可得出準確結果.

5 二次函數(shù)類數(shù)學應用題的解題技巧

二次函數(shù)應用題是初中數(shù)學解題訓練中的一類難點題型.因為二次函數(shù)是初中階段難度最大、知識點最多和關系最復雜的一部分內容,處理此類應用題時對學生的解題能力要求更高,要以仔細審題為基礎,結合題干描述與解題經(jīng)驗準確找到二次函數(shù)關系,使其根據(jù)二次函數(shù)相關知識進行解題.

例5 一種土特產的生產成本是每個60元,為了解市場行情,準備先試銷一段時間,在試銷期間銷售單價不能比成本價低,利潤不能高于40%,銷售量y(萬個)和銷售單價x(元)之間的函數(shù)圖象如圖2所示,那么當銷售價定為多少時有最大利潤?最大利潤是多少?

圖2 例5題圖

解析解答本題時,學生需以充分理解題意為基礎,先根據(jù)圖象聯(lián)系一次函數(shù)知識,明確銷售量和售價之間的關系,再根據(jù)成本、利潤與銷售量建立二次函數(shù),最后利用二次函數(shù)的性質求出最大利潤.

具體解題過程如下:根據(jù)一次函數(shù)圖象,可以運用待定系數(shù)法求出銷售單價和銷售量之間的函數(shù)關系,再結合題目信息找到自變量的取值范圍.從圖象中找到兩個點的坐標分別是(70,50)、(63,57),代入到一次函數(shù)解析式=kx+b中得到一個方程組,求出k=-1,b=120,即為y=-x+120,根據(jù)題意確定x的取值范圍是60≤x≤60(1+40%),即為60≤x≤84,則利潤Q=(x-60)(-x+120)=-x2+180x-7 200=-(x-90)2+900(60≤x≤84),該二次函數(shù)的對稱軸是x=90,開口方向向下,取值范圍在其左側,利潤Q隨著x的增大而增大,所以當x=84時有最大利潤,最大利潤是Q=-(84-90)2+900=-36+900=864(萬元).

6 結束語

在初中數(shù)學解題教學中,應用題解題訓練是極為重要的一部分,在考試中做好應用題,不讓大題失分過于嚴重,往往就能夠取得優(yōu)異成績.因此,教師應適當加強應用題解題練習,通過解題示范傳授技巧,幫助學生掌握一些不同應用題的不同解題技巧,全力提高學生解答不同類型應用題的能力.