廣東省東莞高級中學 (523128) 劉心華

一、問題提出

問題是發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的平臺,看過問題三百個,不會解題也會問.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年修訂版)》要求在數(shù)學學習中發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等學科核心素養(yǎng),教師應結合教學任務及其蘊含的數(shù)學學科核心素養(yǎng)創(chuàng)設合適的情境和問題,引導學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題,使用恰當?shù)臄?shù)學語言描述問題,用數(shù)學的思想、方法解決問題.在問題解決的過程中,理解數(shù)學內容的本質,促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

本文以2023年高考新課標Ⅰ卷第16題為例,探求問題解法并對問題進行變式設計,讓學生掌握一類橢圓(雙曲線)焦點三角形問題的解答、幾何性質及一般解題方法,提升能力,感悟思想,積累經(jīng)驗,發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

二、試題解答

圖1

評注：解法1是從條件出發(fā),數(shù)形結合,把向量關系轉化為幾何等式,考察焦點△AF1F2與Rt△ABF1的邊角聯(lián)系,借助三角形的正(余)弦定理找到基本量a,b,c的齊次式,從而求解問題;解法2將問題坐標化,把向量關系轉化為坐標等式,借助雙曲線定義,通過坐標運算,找到基本量a,b,c的齊次關系求解問題.

三、變式設計

(一)變中求真,把握本質

變式1 (2019年全國Ⅰ卷理10)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為( ).

圖2

(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.

圖3

評注：以上變式問題從雙曲線到橢圓,由向量關系到長度關系,問題情境類似,問題解答都是從幾何(解三角形)或代數(shù)(坐標運算)的角度出發(fā),尋求基本量a,b,c的齊次關系或求解基本量a,b,c.

(二)變中求活,舉一反三

圖4

圖5

評注：變式3考察橢圓焦點三角形的中線問題,變式4考察橢圓焦點三角形的周長問題,解答時不變的是合理地設而不求、整體代換,變化的是靈活運用正余弦定理、三角變換、面積公式、坐標運算等尋找變量間關系.

(三)變中求新,觸類旁通

圖6

圖7

(法二)由題意,設點P(x,y),則

評注：變式5求解離心率問題,審題分析要明確過點F1的直線與圓相切時,此切線與雙曲線左右兩只的交點情況,問題解決需分類討論;變式6問題求解要考察等邊△POF2與Rt△F1PF2之間的邊角關系,轉化化歸垂直關系求解問題.

(四)變中求異,融會貫通

評注：在求異中突破,在超越中貫通.變式7和變式8雖然不是焦點三角形問題,但問題解決的方法與思路完全可以遷移應用焦點三角形問題;變式9焦點三角形角平分線的長度問題,統(tǒng)一整合轉化為角度問題,借助三角變換求解.

核心素養(yǎng)導向下的問題變式設計,需要教師深入理解數(shù)學學科核心素養(yǎng),把學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的養(yǎng)成滲透到日常教學中,遵循學生認知規(guī)律,優(yōu)化設計出合適的問題,展示數(shù)學概念、結論、應用的形成發(fā)展過程.在教學實踐中,需要教師不斷探索和創(chuàng)新教學方式,不僅重視如何教,更要重視如何學,引導學生會學數(shù)學,積極探索開發(fā)出符合學生認知規(guī)律、有助于提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的優(yōu)秀案例.