江西省撫州市第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校 (344000) 洪海燕

定理設(shè)ΔABC的垂心為H,外接圓半徑為R,則AH=2R|cosA|,BH=2R|cosB|,CH=2R|cosC|.

圖1

CH=2RcosC.

當(dāng)ΔABC為鈍角三角形時,不妨設(shè)角A為鈍角,如圖2所示,易知AH=2Rcos(π-A)=-2RcosA,BH=2RcosB,CH=2RcosC.

圖2

當(dāng)ΔABC為直角三角形時,不妨設(shè)角A=90°,如圖3,可驗(yàn)證定理的結(jié)論仍然成立.所以定理對任意ΔABC都成立.

圖3

形式上與正弦定理類似.

以下略舉數(shù)例說明定理的應(yīng)用.

例2 (三角形垂心與外心之間的關(guān)系定理)三角形任意一個頂點(diǎn)到垂心的距離,等于外心到該頂點(diǎn)對邊的距離的2倍.

證明：如圖4,已知H,O分別是ΔABC的垂心和外心,OM⊥BC于M,ON⊥AC于N,OK⊥AB于K.即要證:AH=2OM,BH=2ON,CH=2OK.

圖4

同理有BH=2ON,CH=2OK.

例3 設(shè)銳角ΔABC的外心與垂心分別為O,H,外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑分別為R,r,求證AH+BH+CH=2(R+r).

證明：如圖5,過外心O分別作OM⊥BC于M,ON⊥AC于N,OK⊥AB于K.由例2知AH+BH+CH=2(OM+ON+OK),故以下只要證明OM+ON+OK=R+r即可.

圖5