黃兢誠

（香港中文大學(xué)，香港 999077）

一、簡述

多車輛協(xié)同控制的研究始于20世紀(jì)70年代。主要研究內(nèi)容是如何組織多車輛系統(tǒng)完成給定的任務(wù)。近年來，世界上許多研究機構(gòu)都在這一方向上取得了一定的成果。研究重點主要在以下四個問題：共識、群集、群集控制和編隊控制。

本文主要研究基于勢函數(shù)的多車輛編隊控制方法。目標(biāo)是使多車輛系統(tǒng)達到：一是到達指定位置；二是避免車與車、車與障之間的碰撞?；谲囕v的物理模型，構(gòu)建合適的系統(tǒng)勢函數(shù)，以使得系統(tǒng)最后能夠收斂。使用Lyapunov理論驗證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最后使用matlab進行了軟件仿真。

二、勢函數(shù)

（一）勢函數(shù)介紹

勢函數(shù)是在20世紀(jì)90年代提出的一種虛擬力場的方法，旨在構(gòu)造一個人工勢場，對場內(nèi)的車輛或智能體進行控制。在場內(nèi)，目標(biāo)位置對車輛產(chǎn)生虛擬引力，引力方向從車輛指向目標(biāo)位置，引力大小與車輛和目標(biāo)之間的距離成正相關(guān)；障礙物或其他車輛對控制車輛產(chǎn)生虛擬斥力，斥力方向從障礙物指向控制車輛，斥力大小與障礙物和控制車輛之間的距離成反相關(guān)[1]。

圖1 虛擬勢場

（二）建模

對系統(tǒng)中每一個個體進行物理建模。本文使用一階模型，輸入為線速度和角速度，其狀態(tài)空間方程為：

（三）連通性

部分多車輛系統(tǒng)包含一個主機，多個從機。各從機通過傳感器感知到環(huán)境信息后，傳遞給主機，在主機內(nèi)進行決策判斷，最終下達控制指令給到各從機。也有一些系統(tǒng)是多主機系統(tǒng)，各自個體接收到周圍個體信息后，自我決策。

實際系統(tǒng)中，常需要每一個個體之間都存在信息傳遞。受限于通信方式，存在約束是所有個體需要在一定的區(qū)域內(nèi)行動，保持連接。這就是群集，確保系統(tǒng)的連通性。

如圖2，考慮一個以r0為中心，以R0為半徑的圓形。系統(tǒng)中所有車輛在移動中，必須時刻保持在這樣的虛擬圓形區(qū)域內(nèi)，以保證發(fā)送和接受信息的穩(wěn)定性。

圖2 連通區(qū)域

轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型即：

其中，di0是個體i和限制區(qū)域中心圓點r0的距離；rα是個體車輛的物理半徑。由于限制區(qū)域的半徑R0和個體車輛的物理半徑rα是常量，使用R=R0-rα代替。

使用Ci0表示個體距離限制區(qū)域邊緣的距離，簡化后的模型即：

基于此，我們可以構(gòu)造連通性邊緣的斥力勢函數(shù)為：

為了使得系統(tǒng)收斂，使用梯度構(gòu)造目標(biāo)坐標(biāo)的引力勢函數(shù)，結(jié)合上述斥力勢函數(shù)，可得：

使用梯度函數(shù)的原因在于：1.當(dāng)Ci0接近于0時，即控制個體i即將超出限制區(qū)域時，斥力bi0(ri)將會趨近于無窮，阻止其沖出；2，當(dāng)個體i坐標(biāo)接近目標(biāo)坐標(biāo)rid時，即到達指定區(qū)域，那么綜合勢函數(shù)ri0(ri)將會趨近于0，不再有任何方向的勢力，使其可以收斂。

此外，式中的bi0(ri)的梯度表達式在此處給出：

為了確保得到一個可以使用Lyapunov理論的正定函數(shù)，對其采取平方：

（四）避撞

當(dāng)系統(tǒng)中多個車輛在移動時，有必要對整個系統(tǒng)進行協(xié)調(diào)控制，避免車與車之間的碰撞[2]。

圖3是個體i與個體j之間的物理距離示意圖。為確保兩者之間不發(fā)生碰撞，需要確保其質(zhì)心之間的距離大于兩者半徑之和。此處以圓形代替真實的車輛尺寸，在實際中，可以以車輛表面任意兩點連線中最長的距離，作為本文圓形模型的直徑，即可達到一樣的避撞效果。使用dij表示二者質(zhì)心的距離，約束可以用數(shù)學(xué)模型表達為：

圖3 避撞示意圖

使用坐標(biāo)表示，則有約束：

可以構(gòu)造同樣的斥力模型：

為使得系統(tǒng)能夠收斂，定義勢函數(shù)為：

最后將其平方，得到正定函數(shù)，同時乘以系數(shù)ρ：

該系數(shù)ρ是取決于二個個體間距離的權(quán)數(shù)參數(shù)，當(dāng)超出一定距離，可以忽略該斥力；當(dāng)距離太近時，權(quán)數(shù)增加到1，斥力充分發(fā)揮作用，避免碰撞；當(dāng)距離由遠(yuǎn)及近或由近及遠(yuǎn)，斥力呈現(xiàn)出平穩(wěn)的變化趨勢。

（五）控制率

結(jié)合上述保持連通性和避撞的約束條件，整合出每個個體i完整的勢函數(shù)方程：

為計算方便，將其歸一化：

基于勢函數(shù)，可以計算得到控制方向和大小。針對每個個體i給出控制率：

其中，ki和λi是控制參數(shù)的比例系數(shù)，而控制合力的方向，由勢函數(shù)求偏導(dǎo)后給出。

該系統(tǒng)的穩(wěn)定性在2.6小節(jié)中由Lyapunov理論證明。

（六）Lyapunov 證明

存在類Lyapunov函數(shù)Vi，基于此求導(dǎo)有：

引入梯度向量，可得：

將其帶入Vi：

當(dāng)個體i到達目標(biāo)坐標(biāo)時，即ζi=0，顯然Vi值也為0。為避免存在某一點非目標(biāo)坐標(biāo)的其他坐標(biāo)rγ使得廣義梯度朝各向都是0，引入系數(shù)α∈[0,1]：

那么動態(tài)方程可以轉(zhuǎn)化成：

其中β∈[0,1]，ui≥0。簡化后得：

因此，當(dāng)且僅當(dāng)個體i到達目標(biāo)坐標(biāo)時，才會收斂到0，ui也同步收斂。

將目標(biāo)坐標(biāo)帶入表達式，即ri→r0時，可表達為：

三、仿真

本文使用matlab進行了2次仿真。搭建的系統(tǒng)中一共設(shè)置了13個個體，分別有各自的初始坐標(biāo)和目標(biāo)坐標(biāo)。在仿真開始后，它們將在勢函數(shù)的作用下，朝著指定位置前進，同時保持連通性和避障。此外，在第15秒時，目標(biāo)位置發(fā)生變化，系統(tǒng)需要即時調(diào)整，朝新坐標(biāo)收斂。

（一）第一次仿真

記錄過程的圖組中清楚地顯示，在前15秒中，各個體均可以成功到達設(shè)置的目標(biāo)位置；但當(dāng)15秒調(diào)整了目標(biāo)位置后，存在2個個體無法正確收斂，而是停在了某一平衡點。

原因是出現(xiàn)了局部最小值[4]。在該點，個體在虛擬勢場中受到的引力和斥力是平衡的，合力為0，所以控制率也為0，個體不再移動，達到平衡。而出現(xiàn)局部最小值的原因是避障勢函數(shù)不合適，導(dǎo)致系統(tǒng)會存在多個平衡點。為解決這個問題，需要調(diào)整避障勢函數(shù)。

（二）第二次仿真

在此次仿真中，所有個體均能收斂到目標(biāo)位置，達到所有預(yù)期。

四、總結(jié)

本文主要闡述了基于勢函數(shù)的多車輛編隊控制方法。通過系統(tǒng)的物理模型，構(gòu)建出合適的勢函數(shù)，使得系統(tǒng)收斂到給定目標(biāo)，且過程中保持連通性和沒有碰撞發(fā)生。仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)搭建成功。

事實上，勢函數(shù)法存在很多問題，例如局部最小值和局部振蕩，但其也有獨特的優(yōu)勢，如安全可靠、響應(yīng)快速、控制平滑[5]……關(guān)鍵點在于找到合適的勢函數(shù)模型，才能夠有一個穩(wěn)定可靠的系統(tǒng)。