梁 迪, 辛 江, 李羽婷, 盧列兆

(沈陽大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110044)

近些年,世界多地受到突發(fā)性公共衛(wèi)生事件侵?jǐn)_,例如,2009年的甲型H1N1流感,2014年的西非埃博拉疫情,2019年底開始蔓延全球的新冠肺炎疫情等,不僅對農(nóng)業(yè)、工業(yè)產(chǎn)生了嚴(yán)重影響,而且造成了嚴(yán)重的生命損失,導(dǎo)致持續(xù)的經(jīng)濟(jì)低迷[1]。突發(fā)公共衛(wèi)生事件對人們健康的危害以及社會經(jīng)濟(jì)等影響十分嚴(yán)重。因此,在疫情防控過程中,了解需求地所需的物資量以及如何使物資既滿足受災(zāi)地區(qū)需求又經(jīng)濟(jì)快速地分配,成為世界各國政府部門以及專家學(xué)者重點(diǎn)關(guān)注的問題。

學(xué)者們大多采用各種預(yù)測模型來判斷疫情走勢,然后構(gòu)建相關(guān)物資分配模型并采用智能算法對模型進(jìn)行求解,本文學(xué)習(xí)以往學(xué)者的研究方法,并認(rèn)真選擇相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行深入研究。

1) 研究了預(yù)測模型。在現(xiàn)有的突發(fā)疫情傳播規(guī)律研究成果當(dāng)中,學(xué)者們大多使用時間序列模型以及各類傳染病模型(SI、SIS、SIR、SEIR[2-3]等)。Pathan等[4]通過實例證明時間序列模型可以準(zhǔn)確預(yù)測COVID-19病毒每日基因突變率。李馮等[5]將無癥狀感染者引入傳統(tǒng)的SEIR模型當(dāng)中,有效增強(qiáng)了新模型的擬合精度。Chen等[6]提出了一種改進(jìn)的SEIUR模型,對美國新冠疫情數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值模擬。Meiksin等[7]利用帶有附加污染物的動態(tài)SEIR模型,分析了一種在統(tǒng)計上量化污染物對病毒流行病傳播的貢獻(xiàn)方法。

以上學(xué)者主要研究了在公共衛(wèi)生事件中預(yù)測模型的應(yīng)用情況,通過模型可以更好地預(yù)測疫情未來的走勢,然后根據(jù)不同衛(wèi)生事件的特點(diǎn)對模型進(jìn)行改進(jìn),進(jìn)而使得預(yù)測的結(jié)果更貼合實際。

2) 研究了應(yīng)急醫(yī)療物資分配的問題。Lei等[8]和王小純等[9]為解決地震中人員分配和物資供應(yīng)問題,構(gòu)建了以總延誤時間最小為目標(biāo)的兩階段供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)模型。Büyüktahtakin等[10]為減少西非埃博拉病毒對人類造成的危害,根據(jù)空間位置的動態(tài)性為目標(biāo)構(gòu)建了整數(shù)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。李珍萍等[11]為減少應(yīng)急醫(yī)療物資分配過程中的損失,建立以存儲成本和期望損失和最小為目標(biāo)的兩階段隨機(jī)規(guī)劃模型。

以上學(xué)者主要研究了在公共衛(wèi)生事件中如何對人員以及醫(yī)療物資進(jìn)行分配的問題,為最大限度地減少生命財產(chǎn)損失,學(xué)者們通常考慮如何將應(yīng)急醫(yī)療物資或者醫(yī)護(hù)人員以最短的時間送到需求地,有效解決需求地的生命財產(chǎn)損失,并防止疫情的進(jìn)一步蔓延。為此,構(gòu)建了以配送時間最小化、滿足率最大化等為目標(biāo)的分配模型。

3) 研究了多目標(biāo)優(yōu)化算法。李榮雨等[12]、智洪欣等[13]將萊維飛行策略引入粒子群算法中,仿真結(jié)果顯示優(yōu)化后的算法有不易發(fā)生早熟、后期收斂速度快、不易陷入局部最優(yōu)等特點(diǎn)。Kundu等[14]提出了一種用于高維微陣列數(shù)據(jù)特征選擇的利他鯨魚優(yōu)化算法,基于元啟發(fā)式的特征選擇可以有效地從大量屬性中篩選出相關(guān)基因。本課題組前期[15-16]為改進(jìn)算法的高效性,分別將余弦遞減策略融入鯨魚算法以及以支持向量機(jī)和布谷鳥搜索算法結(jié)合的方式對算法進(jìn)行優(yōu)化。

隨著學(xué)者們的不斷深入研究,越來越多的啟發(fā)式算法被應(yīng)用在物資分配、特征提取和預(yù)測等問題中。學(xué)者們通常針對在算法運(yùn)算過程中易陷入局部最優(yōu)、全局搜索過程慢等問題對算法進(jìn)行相應(yīng)改進(jìn),然后通過函數(shù)或者算例進(jìn)行驗證,同時與改進(jìn)之前的算法或者其他算法進(jìn)行對比,以此評估所提算法的優(yōu)缺點(diǎn)。

以上研究見證了在疫情走勢預(yù)測、物資分配及優(yōu)化算法當(dāng)中主要使用的研究方法,然而,針對新冠肺炎疫情,少有學(xué)者通過無癥狀感染者以及人員流動變化兩個相關(guān)特點(diǎn)對傳染病模型進(jìn)行改進(jìn)。而且學(xué)者們多以物資滿足率最大化、運(yùn)輸時間最小化、總成本最小化中的一個或兩個目標(biāo)構(gòu)建物資分配模型,將三者同時考慮并將目標(biāo)賦予權(quán)重在物資分配的研究相對較少。在求解模型方面,少有學(xué)者同時考慮鯨魚優(yōu)化算法易陷局部最優(yōu)、全局搜索慢這兩方面的問題對算法進(jìn)行改進(jìn)。

1 構(gòu)建應(yīng)急醫(yī)療物資分配模型

為簡化模型求解過程,給出如下假設(shè):

① 無癥狀感染者以及感染者都具備傳染性;

② 緊急醫(yī)療供應(yīng)商是已知的,在每一階段開始時確定現(xiàn)有醫(yī)療供應(yīng)商的數(shù)量和類型;

③ 忽略天氣、道路堵塞等因素影響;

④ 需求地感染人數(shù)與物資需求成正比,感染人數(shù)可以進(jìn)行預(yù)測;

⑤ 遷移率按照某一周期內(nèi)的平均值計算。

1.1 構(gòu)建SEIAR預(yù)測模型

圖1為SEIAR模型的5大類:S(易感染者)、E(暴露者)、I(患病者)、A(無癥狀感染者)、R(康復(fù)者)。

圖1 SEIAR傳染病模型示意圖

引入遷移率的SEIAR模型可用式(1)～式(5)表示:

式中:Sj(t)、Ej(t)、Ij(t)、Aj(t)、Rj(t)分別表示需求地j在t時間段的易感染者、暴露者、患病者、無癥狀感染者、康復(fù)者;λj表示疫區(qū)j的傳播率;N為人口數(shù);Nj表示疫區(qū)j的總?cè)藬?shù);σj表示疫區(qū)j的感染率;αj表示疫區(qū)j的患病者感染率;βj表示疫區(qū)j的無癥狀發(fā)生率;γj表示疫區(qū)j的康復(fù)率;dj表示疫區(qū)j的自然死亡率;bjk表示j中人群遷移到k的遷移率。通過該模型可以得到該地在t時間段內(nèi)醫(yī)療物資的需求量,如式(6)所示:

(6)

式中:am為某一需求地的某一患者在一定時間內(nèi)需要的物資總量;δj(t)表示需求地j在t時間段內(nèi)需要救濟(jì)者數(shù)量;L表示需求物資到貨時間上限;Z表示地區(qū)未感染率系數(shù)。其中,

(7)

表示為j地區(qū)在t時段內(nèi)對某一物資m需求總量的標(biāo)準(zhǔn)差。

1.2 構(gòu)建物資分配模型

相關(guān)符號說明如表1所示。

表1 符號說明

模型的目標(biāo)函數(shù)以及約束條件如下所示:

其中:式(8)～式(10)為目標(biāo)函數(shù);式(8)為物資的滿足率最大化;式(9)為車輛以最短的時間到達(dá)受災(zāi)地區(qū);式(10)為車輛以最低的成本將物資從供應(yīng)點(diǎn)運(yùn)達(dá)受災(zāi)地;式(11)為物資的需求緊迫度計算;式(12)為物資的飽和度計算;式(13)為規(guī)定載重;式(14)為車輛對受災(zāi)地區(qū)投放的物資不能多余該地需求的上限值;式(15)為避免出現(xiàn)多次配送現(xiàn)象;式(16)和式(17)為運(yùn)輸車輛在某一地區(qū)完成物資投放后,直接前往下一災(zāi)區(qū);式(18)為車輛完成配送后都在供應(yīng)點(diǎn)集合;式(19)和式(20)為可變參數(shù)的取值約束;式(21)為物資成本不得大于收益成本。

首先,取需求地滿足率最大化目標(biāo)函數(shù)的倒數(shù),將其轉(zhuǎn)化為求最小值問題,將目標(biāo)函數(shù)(8)轉(zhuǎn)換為如式(22)所示的求最小值問題,

(22)

然后,用線性加權(quán)的方法把多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題。為消除量綱的影響,將目標(biāo)函數(shù)歸一化處理,并加權(quán)歐幾里得距離計算目標(biāo)值與理想點(diǎn)的距離,定義目標(biāo)函數(shù)F′1的最優(yōu)值與最劣值分別為F′1min、F′1max,目標(biāo)函數(shù)F2的最優(yōu)值與最劣值為F2min、F3max,目標(biāo)函數(shù)F3的最優(yōu)值與最劣值為F3min、F3max,公式如下:

式中,α,β,γ為由專家根據(jù)實際情況給出3個目標(biāo)的函數(shù)的期望權(quán)重,并且α+β+γ=1。

2 算法設(shè)計

鯨魚優(yōu)化算法(whaleoptimizationalgorithm,WOA)是Mirjalili等[17]在2016年提出的一種基于座頭鯨魚狩獵方法的元啟發(fā)式算法。

2.1 精英反向?qū)W習(xí)策略

為增強(qiáng)基礎(chǔ)鯨魚算法種群的多樣性,將精英反向?qū)W習(xí)策略融入算法中,

(25)

2.2 非線性自適應(yīng)慣性權(quán)重

為提升鯨魚算法在運(yùn)算過程中的局部搜索能力以及在運(yùn)算前期的全范圍搜索能力,運(yùn)用非線性的自適應(yīng)慣性權(quán)重來更改公式進(jìn)而使鯨魚位置發(fā)生改變,

(26)

式中:ωmax為非線性自適應(yīng)權(quán)重的最大值;ωmin為最小值;t表示某一時刻的迭代次數(shù);tmax為最大迭代次數(shù)。

ω的取值隨迭代次數(shù)增加呈非線性遞減趨勢,不僅保證了鯨魚較強(qiáng)的全局搜索能力,而且有利于鯨魚局部范圍內(nèi)尋優(yōu),進(jìn)而提高了算法的運(yùn)算性能。改進(jìn)后位置更新如下:

式中:b為常量系數(shù);l為[-1,1]之間的隨機(jī)數(shù);其中A和C為相關(guān)系數(shù):

式中:r是[0,1]之間的隨機(jī)數(shù);a為收斂因子,其隨迭代過程從2線性減少到0,

a=2-2t/tmax。

(31)

2.3 萊維飛行策略

將萊維飛行應(yīng)用于鯨魚的位置更新中,在算法進(jìn)行更新后再進(jìn)行一次萊維飛行更新個體位置,可以實現(xiàn)跳出局部最優(yōu)解,擴(kuò)大搜索能力的效果。位置更新的方式為

X(t+1)=X(t)+α⊕levy(λ)。

(32)

式中:α為步長縮放因子;levy(λ)為隨機(jī)步長;⊕表示點(diǎn)對點(diǎn)乘法。萊維飛行概率密度函數(shù)及生成隨機(jī)步長的公式如下:

即進(jìn)行更新時,levy(λ)使用S表示;進(jìn)行計算時,參數(shù)β取值為1.5,α取值為1,u～N(0,σ2),v～N(0,1),σ取值為

(35)

2.4 算法流程圖

改進(jìn)鯨魚算法通過精英反向?qū)W習(xí)策略初始化種群,通過萊維飛行策略避免陷入局部最優(yōu),引入非線性自適應(yīng)權(quán)重使算法在局部尋優(yōu)時提高收斂精度,具體步驟見圖2。

圖2 算法流程圖

3 應(yīng)用案例及分析

選取2021年某地發(fā)現(xiàn)的新冠肺炎傳染病為例,抽取當(dāng)時疫情比較嚴(yán)重的15個地區(qū)進(jìn)行算例驗證,為簡化計算流程,僅以各個災(zāi)區(qū)需要的防護(hù)服及防疫藥品這2種醫(yī)療物資為例。從該地政府網(wǎng)站、市衛(wèi)健委網(wǎng)站上下載得到SEIAR模型相關(guān)參數(shù)值,假設(shè)疫情防控中心可以提供8輛運(yùn)輸車,其中每輛車的行駛速度相同,各節(jié)點(diǎn)之間行駛距離從百度地圖計算得到,人口參數(shù)(常住人口、自然死亡率、遷移率)來自該地統(tǒng)計局。

利用MATLAB 2018b對AWLWOA算法進(jìn)行仿真模擬實驗,實驗硬件環(huán)境為11th Gen Intel?Core i5-35G7@2.40GHz,16GB內(nèi)存,64位Windows 0操作系統(tǒng)。運(yùn)用平均絕對誤差法(MAE)和均方根誤差(RMSE)驗證改進(jìn)的SEIAR模型準(zhǔn)確性,并與SEIR模型和整合移動平均自回歸模型(ARIMA)[18]進(jìn)行對比,如表2所示,預(yù)測曲線如圖3和圖4所示。

表2 預(yù)測模型誤差分析

圖3 SEIAR與SEIR模型預(yù)測曲線對比

圖4 SEIAR與ARIMA模型預(yù)測曲線對比

由表2可知,引入遷移率的SEIAR模型相較于未改進(jìn)的SEIR模型平均誤差值降低了近51%,相比于ARIMA模型平均絕對誤差值降低了近35%,同時在均方根誤差值方面也分別降低了近31%和22%,說明改進(jìn)后的SEIAR模型在誤差方面更具有優(yōu)勢。通過圖3以及圖4可知,改進(jìn)后的SEIAR模型預(yù)測曲線相較于另外2種模型更貼進(jìn)實際值,證明引入遷移率的模型準(zhǔn)確性更高。

從圖5可知,改進(jìn)WOA算法、GA算法和PSO算法分別在39、46、53次迭代后趨于穩(wěn)定,而且改進(jìn)的鯨魚算法相比另2種尋優(yōu)結(jié)果更好,最優(yōu)值更低。為保證本次仿真實驗的有效性及所提算法的魯棒性,對上述算法分別進(jìn)行200、400和600次迭代,分別運(yùn)行10次,結(jié)果如表3所示。

表3 三種算法實驗結(jié)果對比

圖5 三種算法求解趨勢對比

從表3可以看出,改進(jìn)WOA運(yùn)行時間最短,為20.56 s,明顯快于另外2種算法,而且最優(yōu)值為0.987,相比其他2種算法求解精度更高,從3種算法的10次實驗平均值來看,改進(jìn)鯨魚算法的平均值為1.002,在精準(zhǔn)度方面依然比其他2種算法更優(yōu)。

表4為下一周期的物資分配方案。

表4 物資分配方案

4 結(jié) 語

為解決突發(fā)性應(yīng)急事件對受災(zāi)地區(qū)的影響,本文提出一種改進(jìn)的SEIAR模型間接預(yù)測需求地醫(yī)療物資需求量,并構(gòu)建多目標(biāo)應(yīng)急醫(yī)療物資動態(tài)分配模型對物資進(jìn)行分配,最后提出一種改進(jìn)的鯨魚算法對模型進(jìn)行求解。結(jié)果表明:

1) 引入無癥狀感染者以及遷移率的SEIAR平均絕對誤差值相比未改進(jìn)模型降低了51%左右,相比于ARIMA模型降低了35%左右,均方根值相比未改進(jìn)模型降低了31%左右,相比于ARIMA模型降低了22%左右。

2) 結(jié)合某地實際案例驗證所構(gòu)模型的有效性及所提算法的可行性。通過10次算例驗證的平均值表明,AWLWOA算法相比于遺傳算法以及粒子群算法,運(yùn)行時間最快為20.56 s,而且分別在迭代39、46、53次趨于穩(wěn)定,說明算法收斂速度快,穩(wěn)定性好。同時目標(biāo)最優(yōu)值分別提高了0.071和0.056,目標(biāo)平均值分別提高了0.072和0.048。說明改進(jìn)后的算法求解物資分配模型的精度更高。

改進(jìn)的SEIAR模型結(jié)合物資分配模型在疫情防控中發(fā)揮積極作用,可以提前判斷疫情走勢,做好應(yīng)急醫(yī)療物資準(zhǔn)備工作,提高疫情防控工作效率。由于疫情擴(kuò)散程度多變,政府會制定不同的防控政策,而這恰好會影響SEIAR傳染病模型,而本文并未將其考慮在內(nèi)。此外,本文只考慮了單一分配中心對多目的地進(jìn)行物資分配,未來將考慮政府制定的防控措施以及多分配中心聯(lián)合對多目的地進(jìn)行物資分配問題的研究。