薛亞奎, 任亞鑫

(1. 中北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 山西 太原 030051;2. 齊魯理工學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250200)

傳染病對(duì)公眾健康和經(jīng)濟(jì)發(fā)展威脅巨大。對(duì)傳染病模型的研究能夠捕捉到傳染病顯著的傳播模式,且具有數(shù)學(xué)上的可處理性,為理解傳染病的定性行為提供必要的見解,并為控制政策提供指導(dǎo)。

許多學(xué)者在疫苗接種方面進(jìn)行了研究[1-6],但這些模型只是簡(jiǎn)單地用一個(gè)參數(shù)代表易感者接種后變?yōu)榛謴?fù)者的轉(zhuǎn)化率,并非將接種者單獨(dú)作為一類,且認(rèn)為疫苗完全有效,可提供永久免疫。目前一些國(guó)家的研究清楚的表明,疫苗并不總是能提供完全的免疫力。由于疫苗提供的免疫力弱或喪失,一段時(shí)間后部分接種者可能會(huì)感染。針對(duì)這一情形,Yang等[7]增加了接種疫苗類,提出SVAIR模型,結(jié)果表明其對(duì)提高疫苗接種率有效,但若僅靠提高接種率并不能很快實(shí)現(xiàn)控制。Buonomo等[8]具體考慮了接種疫苗不是強(qiáng)制性的情形,個(gè)體根據(jù)疾病傳播的當(dāng)前和過去信息作出接種決定,討論了SEVIR模型。Turkyilmazoglu[9]基于雙線性發(fā)生率對(duì)傳統(tǒng)的SIR模型進(jìn)行改進(jìn),主要研究疫苗不能提供完全的免疫所產(chǎn)生的影響。但事實(shí)上傳染病并不是在封閉的環(huán)境內(nèi)傳播,另外單位時(shí)間內(nèi)感染者接觸的人數(shù)會(huì)受到限制,或者隨著總?cè)丝谝?guī)模的增加,其增長(zhǎng)速度應(yīng)降低[10]。因此,Gu等[11]和蔣貴榮等[12]均采用標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率研究傳染病模型。在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上,本文考慮疫苗接種的影響,提出帶有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的傳染病模型,并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化控制分析。

1 模型建立

將總?cè)丝贜分為易感者S、潛伏者E、感染者I、住院者H、接種者V和恢復(fù)者R六類。假設(shè):①只有易感者接種疫苗;②處于潛伏期的個(gè)體尚不能將病毒傳播給他人[8,11,13];③考慮到疫苗不能提供永久免疫,因此接種者仍存在被感染的風(fēng)險(xiǎn)。基于以上假設(shè),建立具有疫苗接種的擴(kuò)展模型如下:

(1)

式中:Λ為人口的常數(shù)輸入率;β為易感者接觸感染者后的感染率;σ為疫苗無效率;φ為疫苗接種率,ρ1、ρ2分別為I和H的恢復(fù)率;d1、d2分別是I和H的因病死亡率;α為E向I的轉(zhuǎn)化率;δ為I的住院率;μ為自然死亡率。

命題1 令S(0)、E(0)、I(0)、H(0)、V(0)、R(0)為模型(1)的非負(fù)初始條件,則對(duì)?t≥0,模型(1)的解都是非負(fù)的。

(2)

2 平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

定理1 當(dāng)R0>1時(shí),模型(1)在Δ內(nèi)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)E1=(S*,E*,I*,H*,V*,R*)。

證明 令模型(1)式子右端等于0,

(3)

a0λ*2+a1λ*+a2=0,

(4)

式中:

(5)

當(dāng)R0>1時(shí),a2<0,可知式(4)的兩根為一正一負(fù)。因此當(dāng)R0>1時(shí),存在唯一的正平衡點(diǎn)E1。

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2 當(dāng)R0<1時(shí),模型(1)的無病平衡點(diǎn)E0在Δ上局部漸近穩(wěn)定。

證明 模型(1)在E0處的Jacobian矩陣為

顯然,J(E0)的特征值有-(μ+φ),-(ρ2+d2+μ),-μ(二重)。其余特征值為以下多項(xiàng)式的根

(6)

式中:

(7)

當(dāng)R0<1時(shí),a2>0,根據(jù)Hurwitz判據(jù),矩陣J(E0)的特征值均有負(fù)實(shí)部,即定理2得證。

定理3 當(dāng)R0<1時(shí),模型(1)的無病平衡點(diǎn)E0在Δ上全局漸近穩(wěn)定。

證明 考慮Lyapunov函數(shù)

(8)

計(jì)算L1沿模型(1)的導(dǎo)數(shù),有

定理4 當(dāng)R0>1時(shí),模型(1)的地方病平衡點(diǎn)E1在Δ上全局漸近穩(wěn)定。

證明 為研究平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,考慮模型(1)的極限系統(tǒng)[16],由于R與其他項(xiàng)獨(dú)立,簡(jiǎn)化為如下模型:

(10)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[17]中的代數(shù)方法,利用均差不等式的性質(zhì),定義函數(shù)

4 最優(yōu)化控制

為有效預(yù)防控制傳染病的傳播,研究對(duì)疾病施加限制并保持成本最小的最優(yōu)控制策略。引入控制變量ui(t)(i=1,2,3):u1(t)代表個(gè)人防護(hù)措施(保持衛(wèi)生、注意社交距離、媒體宣傳);u2(t)代表接種疫苗率;u3(t)代表住院者的恢復(fù)率。建立如下最優(yōu)控制模型:

(14)

設(shè)目標(biāo)函數(shù)為

(15)

式中:T為末態(tài)時(shí)間;A1、A2、A3分別是E、I、H的權(quán)重系數(shù);B1、B2、B3分別是控制變量u1、u2、u3的正權(quán)重系數(shù)。尋找最優(yōu)控制,使得

(16)

為尋找最優(yōu)控制解,定義哈密頓函數(shù)

(17)

式中λi(t),i=1,2,3,4,5,6是各狀態(tài)的伴隨變量。

(18)

(19)

5 數(shù)值模擬

通過數(shù)值模擬對(duì)理論分析的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),部分?jǐn)?shù)據(jù)源于文獻(xiàn)[7-8]中。圖1(見封3)為各類人數(shù)的時(shí)間序列,其中小圖是對(duì)應(yīng)大圖的細(xì)節(jié)放大圖,以便清晰地觀察各曲線的變化狀態(tài)。圖1(a)模擬了無病平衡點(diǎn)E0的穩(wěn)定性,參數(shù)取值為Λ=1 762,μ=0.000 107,β=0.688 3,φ=0.014 3,ρ1=0.055,ρ2=0.165,α=0.557,δ=0.12,σ=0.2,d1=0.000 624 8,d2=0.000 238 56,此時(shí),R0=0.806 5<1,E、I、H的數(shù)量趨近于0,代表疾病滅絕。圖1(b)模擬了地方病平衡點(diǎn)E*的穩(wěn)定性。參數(shù)選取為Λ=1 762,μ=0.033,β=0.888 3,φ=0.02,δ=0.12,ρ1=0.055,ρ2=0.165,α=0.557,d1=0.000 624 8,d2=0.000 238 56,σ=0.2,此時(shí),R0=2.806 2>1。在圖1(b)的細(xì)節(jié)圖中可以看出,各個(gè)變量的曲線變?yōu)橐粭l直線,意味著疾病一直持續(xù)。

接下來,對(duì)幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析,旨在確定有助于減少疾病傳播的參數(shù),進(jìn)而采取相關(guān)措施。圖2和圖3所示曲線為基本再生數(shù)R0的等值線,由圖可以看出,R0隨φ與δ的增大而降低,隨σ與α的增大而增大,且相較之下,σ和δ所產(chǎn)生的影響更大。因此,應(yīng)著重注意提高疫苗的效力和住院率。

圖2 φ和σ對(duì)R0的影響

圖3 δ和α對(duì)R0的影響

在模擬控制策略對(duì)傳染病傳播的影響中,取定初值為S(0)=5×107,E(0)=1 000,I(0)=500,H(0)=50,V(0)=100。圖4(a)～圖4(e)分別比較了有無控制的S、E、I、H、V的人數(shù)變化,其中圖4(b)～圖4(d)分別具有前100天E、I、H的人數(shù)變化的放大圖,在放大圖中可以清楚的看到實(shí)施控制措施時(shí)E、I、H的人數(shù)的變化趨勢(shì)。圖4表明,在采取最優(yōu)控制策略后,S、E、I、H的人數(shù)明顯減少,V的人數(shù)顯著增加。因此,該最優(yōu)控制策略對(duì)于控制疾病傳播有效,不僅控制了染病者數(shù)量,而且使接種者人數(shù)保持在較高的水平。

圖4 最優(yōu)控制模擬

考慮到醫(yī)療技術(shù)和成本的限制,設(shè)置控制變量的邊界分別為u1=[0,0.9],u2=[0,1],u3=[0,0.8],得到最優(yōu)控制策略如圖4(f)所示。值得注意的是接種策略u(píng)2隨時(shí)間的變化,在下降到趨于0后又逐漸增長(zhǎng)到1。

6 結(jié) 論

考慮到疫苗不能提供永久的免疫力,一段時(shí)間后接種者可能會(huì)再次感染,建立了具有疫苗接種影響的傳染病動(dòng)力學(xué)模型。相比文獻(xiàn)[9],本文采用標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率并拓展了隔間類型,展現(xiàn)了模型的普適性。借助構(gòu)造Lyapunov函數(shù)證明了:當(dāng)R0<1時(shí),無病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定;當(dāng)R0>1時(shí),存在唯一的地方病平衡點(diǎn)且其全局漸近穩(wěn)定。對(duì)控制策略進(jìn)行模擬后的結(jié)果表明:注意自我保護(hù)、擴(kuò)大接種疫苗范圍以及重視治療可有效控制傳染病的傳播。鑒于疫苗的不完善性,接種后也應(yīng)注意個(gè)人防護(hù),避免感染。