趙 斐,郭 明,劉學(xué)娟

(1.東北大學(xué) 秦皇島分校,河北 秦皇島 066004;2.東北大學(xué) 工商管理學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110819;3.北京科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,北京 100083)

0 引言

鋰電池具有能量密度大、效率高、壽命長(zhǎng)等性能,被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車(chē)制造、軍事通訊等領(lǐng)域[1]。然而,隨著鋰電池的使用和外部溫度等隨機(jī)因素的影響,其內(nèi)部不斷發(fā)生復(fù)雜的電化學(xué)反應(yīng),導(dǎo)致容量和功率不斷降低,性能隨之退化[2],一旦鋰退化量超過(guò)閾值,就可能出現(xiàn)絕緣體損壞和短路等問(wèn)題,若不能及時(shí)發(fā)現(xiàn),則有可能引發(fā)自燃、爆炸,甚至造成不可估量的損失[3]。因此,準(zhǔn)確預(yù)測(cè)鋰電池的健康狀態(tài)和剩余壽命,對(duì)維護(hù)電池系統(tǒng)、降低使用成本和事故發(fā)生概率至關(guān)重要[2]。目前,有關(guān)鋰電池剩余壽命預(yù)測(cè)的方法主要有機(jī)理模型法、數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)法以及將兩者融合的方法[4]。其中,基于機(jī)理模型方法的預(yù)測(cè)結(jié)果比較準(zhǔn)確,然而由于難以精確刻畫(huà)鋰電池退化的電化學(xué)反應(yīng),預(yù)測(cè)結(jié)果嚴(yán)重依賴(lài)于所選取的模型。與之相比,數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法無(wú)需對(duì)鋰電池退化的內(nèi)部機(jī)理建模,而是基于歷史監(jiān)測(cè)信息采用概率統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過(guò)程等方法建立鋰電池退化模型來(lái)預(yù)測(cè)剩余壽命[5]。

由于容量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更易獲取,數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)法已受到工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的關(guān)注。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)法中Gamma過(guò)程和逆高斯過(guò)程僅適用于對(duì)單調(diào)退化路徑情形建模,而維納過(guò)程更適合描述非單調(diào)退化問(wèn)題,已有不少學(xué)者對(duì)此展開(kāi)研究[6]。例如,李軍星等[7]通過(guò)分析影響硬盤(pán)壽命和可靠性的塊錯(cuò)誤率,采用維納過(guò)程建立了硬盤(pán)存儲(chǔ)性能的退化模型;唐圣金等[8]利用維納過(guò)程對(duì)衛(wèi)星光纖陀螺進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)。然而,上述研究均假定維納過(guò)程的漂移系數(shù)固定,無(wú)法隨時(shí)間動(dòng)態(tài)更新,即未利用實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)更新[8]。對(duì)此,有學(xué)者在假定漂移系數(shù)服從正態(tài)分布的條件下構(gòu)建退化模型,并利用初始時(shí)刻估計(jì)出的漂移系數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)更新[9-10]。其中,ELWANY等[9]利用表征軸承退化的振動(dòng)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了線性維納過(guò)程退化建模的有效性;TANG等[10]將文獻(xiàn)[9]中的固定失效閾值進(jìn)一步擴(kuò)展為隨機(jī)失效閾值,構(gòu)建了線性維納退化過(guò)程模型,并采用貝葉斯方法對(duì)失效閾值進(jìn)行先驗(yàn)估計(jì),繼而推導(dǎo)剩余壽命概率密度函數(shù)。顯然,文獻(xiàn)[9-10]并不適用于退化趨勢(shì)具有高度非線性特征的系統(tǒng)。

為此,許多學(xué)者研究了非線性維納過(guò)程,黃亮等[11]基于非線性維納過(guò)程建立發(fā)動(dòng)機(jī)的退化模型,利用最大似然方法估計(jì)模型參數(shù),同時(shí)采用貝葉斯方法更新參數(shù)分布,繼而預(yù)測(cè)其剩余壽命;彭才華等[12]提出線性與冪指數(shù)結(jié)合的非線性退化模型,并采用激光發(fā)生器的性能退化數(shù)據(jù)加以驗(yàn)證;YAN等[13]通過(guò)分析旋轉(zhuǎn)機(jī)械的退化特征,提出兩階段維納過(guò)程退化模型,采用貝葉斯方法對(duì)兩階段退化模型參數(shù)進(jìn)行更新,并以車(chē)輪振動(dòng)踏面數(shù)據(jù)為例驗(yàn)證了模型的有效性;SI等[14]建立了非線性維納過(guò)程退化模型,采用最大似然方法估計(jì)模型參數(shù),并利用陀螺儀和航空材料疲勞裂紋退化數(shù)據(jù)驗(yàn)證了模型的有效性。以上研究雖然是基于非線性維納過(guò)程建模,但是在模型參數(shù)的更新過(guò)程中,未利用所有歷史退化數(shù)據(jù)。這是因?yàn)榫S納過(guò)程的獨(dú)立增量和Markov性質(zhì),使貝葉斯更新的漂移系數(shù)僅利用了當(dāng)前觀測(cè)的退化值,未包含從初始到當(dāng)前時(shí)刻的所有退化值。為解決該問(wèn)題,LI等[15]采用序列貝葉斯更新方法更新線性維納過(guò)程的退化模型參數(shù),繼而以更新的退化模型預(yù)測(cè)鋰電池剩余壽命。

由于鋰電池退化不僅與其內(nèi)部電化學(xué)反應(yīng)相關(guān),還與運(yùn)行工況有關(guān),例如在寒冷地區(qū),電動(dòng)汽車(chē)的鋰電池容量衰減得更快,其退化過(guò)程通常呈現(xiàn)為非線性。為此,本文對(duì)具有非線性退化的鋰電池展開(kāi)剩余壽命預(yù)測(cè)研究。首先,采用非線性維納過(guò)程建立鋰電池退化模型;然后,基于最大似然估計(jì)方法離線估計(jì)初始時(shí)刻的模型參數(shù);接著,利用實(shí)時(shí)得到的容量監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),采用序列貝葉斯方法動(dòng)態(tài)更新退化模型中的漂移系數(shù),進(jìn)而預(yù)測(cè)剩余壽命;最后,選用不同工況(25 ℃,35 ℃,55 ℃)下的鋰電池退化數(shù)據(jù)估計(jì)退化模型初始時(shí)刻的模型參數(shù),采用45 ℃溫度下的退化數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)更新漂移系數(shù),與冪指數(shù)的非線性退化模型和線性退化模型對(duì)比,結(jié)果表明基于所提非線性退化模型預(yù)測(cè)出的剩余壽命精度更高。

1 鋰電池容量退化建模和參數(shù)估計(jì)

1.1 基于非線性維納過(guò)程的退化模型

由于鋰電池容量會(huì)隨外部工況變化和內(nèi)部化學(xué)反應(yīng)而衰減,通常具有非線性特征,為此建立非線性維納過(guò)程的容量退化模型更具適用性[16-17]。令t時(shí)刻鋰電池容量的退化量

(1)

X(t)=x0+a(exp(bt)-1)+σBB(t)。

(2)

1.2 最大似然估計(jì)方法離線估計(jì)初始時(shí)刻的模型參數(shù)

Xj(tj,k)=x0,j+aj(Ψ(tj,k))+σBB(tj,k),
k=1,2,…,δj。

(3)

式中:漂移參數(shù)aj為獨(dú)立同分布;Ψ(tj,k)=exp(btj,k)-1。令T=[T1,T2,…,TJ]T(Tj=Ψ(tj)),向量X=[X1,X2,…,XJ]描述了所有設(shè)備的退化數(shù)據(jù)。根據(jù)式(3)和標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程的獨(dú)立增量性質(zhì),可知Xj服從多維正態(tài)分布,均值和協(xié)方差分別為:

(4)

Qj=[min(tj,i,tj,k)]1≤i,k≤δj

(5)

由于設(shè)備之間的退化過(guò)程具有相互獨(dú)立性,在監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)X下構(gòu)建關(guān)于Θ的最大似然估計(jì)函數(shù)(Θ|X),

(6)

(7)

(8)

對(duì)式(6)求關(guān)于μa的一階偏導(dǎo),則有

(9)

令式(9)等于0,得到μa的極大似然估計(jì)為

(10)

(11)

1.3 序列貝葉斯方法在線更新漂移系數(shù)

貝葉斯方法常用于更新非線性維納過(guò)程的漂移系數(shù)a,其中a的后驗(yàn)分布P(a|X1:k)不僅與其先驗(yàn)分布P(a)相關(guān),還與實(shí)時(shí)退化數(shù)據(jù)的條件似然函數(shù)P(X1:k|a)相關(guān)。令X1:k={x1,x2,…,xk}表示直至?xí)r刻tk設(shè)備退化的歷史狀態(tài)監(jiān)測(cè)信息,在tk時(shí)刻漂移系數(shù)a的后驗(yàn)估計(jì)

P(a|X1:k)=

(12)

進(jìn)一步推導(dǎo)式(12),有

(13)

根據(jù)維納過(guò)程性質(zhì)可知,P(xk|X1:k-1,a)服從正態(tài)分布,可表示為

(14)

將式(14)得到的P(xk|X1:k-1,a)和漂移系數(shù)a在tk-1時(shí)刻的后驗(yàn)估計(jì)P(a|X1:k-1)代入式(13),得到a在tk時(shí)刻的后驗(yàn)估計(jì)P(a|X1:k),

(15)

通過(guò)對(duì)式(15)進(jìn)行推導(dǎo),得到a在tk時(shí)刻的參數(shù)估計(jì)值:

(16)

2 鋰電池剩余壽命預(yù)測(cè)模型與流程

2.1 鋰電池剩余壽命的預(yù)測(cè)模型

剩余使用壽命指從當(dāng)前時(shí)刻tk開(kāi)始,系統(tǒng)首次退化到軟失效閾值ω所經(jīng)歷的時(shí)間[18]。定義系統(tǒng)在tk時(shí)刻的剩余壽命lk為

inf(lk:X(tk+lk)≥ω|X(tk)<ω)。

(17)

在已知漂移系數(shù)a的條件下,剩余壽命lk的條件概率密度函數(shù)為[15]

fLk|a,X1:k(lk|a,X1:k)≈

(18)

(19)

考慮到漂移系數(shù)a的隨機(jī)性,采用全概率公式計(jì)算剩余壽命lk的概率密度函數(shù)

(20)

將式(18)代入式(20),則

(21)

存在如下引理[14]:若Z～N(μ,σ2),且ω,A,B∈R,C∈R+,則

(22)

(23)

從而得到剩余壽命的期望值

(24)

2.2 鋰電池剩余壽命預(yù)測(cè)流程

結(jié)合上述對(duì)鋰電池容量衰退趨勢(shì)的非線性退化過(guò)程建模,以及模型參數(shù)的離線估計(jì)和在線估計(jì)方法,給出基于序列貝葉斯更新的鋰電池剩余壽命預(yù)測(cè)具體流程,如圖1所示。

步驟3基于更新的漂移系數(shù)估計(jì)值,采用式(23)和式(24)分別計(jì)算剩余壽命lk的概率密度函數(shù)fLk|X1:k(lk|X1:k)和期望剩余壽命E(Lk|X1:k)。

3 實(shí)例分析

將所提基于指數(shù)函數(shù)μ(b,t)=bexp(bt)構(gòu)建的非線性維納退化模型X(t)=x0+a(exp(bt)-1)+σBB(t)稱(chēng)為模型1,并將基于冪指數(shù)函數(shù)μ(b,t)=btb-1的維納退化模型X(t)=x0+atb+σBB(t)、基于線性函數(shù)的維納退化模型X(t)=x0+at+σBB(t)分別稱(chēng)為模型2、模型3,用于與模型1進(jìn)行對(duì)比分析。在此,引入赤池信息準(zhǔn)則AIC比較不同模型的擬合度[19]:

AIC=-2max+2p。

(25)

MSEk=

(26)

3.1 變工況下鋰電池容量退化數(shù)據(jù)

采用變工況下鋰電池容量退化數(shù)據(jù)集驗(yàn)證所提非線性退化模型和參數(shù)估計(jì)方法的有效性。該鋰電池額定容量為1.35 Ah,實(shí)驗(yàn)設(shè)定初始溫度為25 ℃,每經(jīng)過(guò)10個(gè)充放電周期溫度上升10 ℃,在25 ℃,35 ℃,45 ℃,55 ℃ 4種溫度下進(jìn)行循環(huán)實(shí)驗(yàn),容量退化曲線如圖2所示,可見(jiàn)鋰電池容量退化呈現(xiàn)為典型的非線性特征。

3.2 參數(shù)估計(jì)與分析

在此將25 ℃,35 ℃,55 ℃ 3組變工況下的鋰電池退化數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集,將45 ℃工況下的鋰電池退化數(shù)據(jù)作為測(cè)試數(shù)據(jù)集,設(shè)定失效閾值ω=0.64。利用圖1中的參數(shù)估計(jì)方法,基于訓(xùn)練數(shù)據(jù)集估計(jì)出3種退化模型初始時(shí)刻的模型參數(shù),得到對(duì)應(yīng)的最大對(duì)數(shù)似然函數(shù)值Log-LF和AIC值,如表1所示。其中,模型1的Log-LF=166.311 0,AIC=-326.622,與模型2和模型3的結(jié)果相比,模型1的Log-LF值最大、AIC值最小。根據(jù)Log-LF值越大、AIC值越小,所估計(jì)出的模型擬合效果越好這一判斷準(zhǔn)則,由表1可知,所提非線性退化模型1更適用于變工況下的鋰電池容量退化過(guò)程建模。

表1 鋰電池容量退化模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

基于表1估計(jì)得到初始時(shí)刻模型參數(shù),推導(dǎo)不同退化模型下的剩余壽命概率密度函數(shù),如圖3所示。可見(jiàn),初始時(shí)刻模型1得到的峰值為0.003 6,高于模型2和模型3的峰值0.003 2,0.001 6;模型1峰值對(duì)應(yīng)的周期為1 029,模型2和模型3峰值對(duì)應(yīng)的周期分別為991和620,顯然模型1更接近真實(shí)的周期值1 070。因此,由模型1預(yù)測(cè)出的剩余壽命誤差更小,精度更高。

3.3 剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果與對(duì)比

進(jìn)一步以45 ℃工況下鋰電池容量退化數(shù)據(jù)作為測(cè)試集動(dòng)態(tài)更新模型參數(shù),對(duì)比3種退化模型下各監(jiān)測(cè)時(shí)刻的鋰電池剩余壽命概率密度函數(shù)、平均值和實(shí)際剩余壽命值,如圖4所示。由圖4a～圖4c可見(jiàn),在初始監(jiān)測(cè)階段,鋰電池的剩余壽命概率密度函數(shù)曲線均較平緩,這是因?yàn)槌跏紩r(shí)刻獲取的容量退化狀態(tài)數(shù)據(jù)較少,導(dǎo)致估計(jì)參數(shù)時(shí)漂移系數(shù)a估計(jì)值的不確定性增大,進(jìn)而使預(yù)測(cè)誤差偏大;然而,隨著監(jiān)測(cè)時(shí)間的增長(zhǎng),剩余壽命概率密度函數(shù)曲線呈現(xiàn)逐漸增高的趨勢(shì),說(shuō)明隨著監(jiān)測(cè)狀態(tài)數(shù)據(jù)的增加,對(duì)模型中漂移系數(shù)a估計(jì)的不確定性變小,從而使預(yù)測(cè)誤差逐漸減小。由最后一個(gè)周期(1 070)的概率密度函數(shù)曲線可見(jiàn),模型1和模型2的概率密度函數(shù)曲線峰值依次約為0.017 1和0.016 5,明顯高于模型3的峰值0.006 6,這是因?yàn)槟Ｐ?中的漂移參數(shù)是根據(jù)截止到當(dāng)前時(shí)刻的所有退化監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)估計(jì)的,克服了僅利用當(dāng)前退化數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)的不足。

圖5所示為3個(gè)模型不同周期上對(duì)應(yīng)監(jiān)測(cè)時(shí)刻的均方誤差值?？梢?jiàn),隨著監(jiān)測(cè)周期的增加,必然會(huì)獲取更多的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),使得任一模型的預(yù)測(cè)誤差均逐漸減小,但模型1的均方誤差小于模型2和模型3,尤其比線性退化模型3要低。計(jì)算得出3個(gè)模型的TMSE值分別為9.034 1×104,11.188×104,71.130×104,最后一個(gè)監(jiān)測(cè)周期的均方差分別為1 281.454 9,1 397.898 4,21 431.437 2,進(jìn)一步表明模型1的預(yù)測(cè)精度最高。

4 結(jié)束語(yǔ)

考慮到鋰電池在實(shí)際運(yùn)行時(shí)因受溫度、材料化學(xué)反應(yīng)等因素影響,容量退化通常呈現(xiàn)為非線性特征,本文提出基于指數(shù)函數(shù)的非線性維納過(guò)程模型描述鋰電池容量退化。傳統(tǒng)貝葉斯更新方法在估計(jì)退化模型參數(shù)時(shí)僅利用當(dāng)前時(shí)刻的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù),忽略了鋰電池歷史退化趨勢(shì)的影響,為此采用離線估計(jì)和在線更新相結(jié)合的方法估計(jì)參數(shù),推導(dǎo)剩余壽命概率密度函數(shù)并進(jìn)行預(yù)測(cè)。其中,基于收集到的鋰電池歷史退化數(shù)據(jù),利用最大似然估計(jì)方法離線預(yù)估退化模型的參數(shù),進(jìn)而采用序列貝葉斯更新方法在線更新非線性退化模型中漂移系數(shù)的參數(shù)。以25 ℃,35 ℃,55 ℃ 3種不同溫度下的鋰電池退化數(shù)據(jù)集估計(jì)初始時(shí)刻的模型參數(shù),在此基礎(chǔ)上以45 ℃的鋰電池容量退化數(shù)據(jù)對(duì)漂移系數(shù)進(jìn)行在線更新并預(yù)測(cè)剩余壽命。通過(guò)與其他退化模型對(duì)比表明,所提基于指數(shù)函數(shù)的非線性維納過(guò)程退化模型具有較高的最大對(duì)數(shù)似然函數(shù)值和較小的AIC值,擬合效果更好,而且預(yù)測(cè)的剩余壽命精度更高。

本文研究將溫度視為影響鋰電池容量退化的工況,而針對(duì)運(yùn)行工況更加復(fù)雜的系統(tǒng),系統(tǒng)退化可能受溫度、負(fù)載等多因素影響,而且不同因素對(duì)退化的影響機(jī)制也不同,這將在后續(xù)研究中進(jìn)一步探討。