何建東, 俞菊妃

(1.紹興市越州中學,浙江 紹興 312075;2.紹興文理學院數(shù)理學院,浙江 紹興 312000;3.紹興市元培中學,浙江 紹興 312000)

數(shù)學教師不僅要在教學中加強對解題方法和數(shù)學思想的落實,而且要在教學過程中重視教學理論與教育德育的滲透[1].在發(fā)展解題能力、融合數(shù)學思想、組織有效教學、貫徹數(shù)學育人這4個遞進式層面,數(shù)學教師既可以達到“固本”“探源”兩個教學目標,更能夠使自身實踐與理論得到雙重專業(yè)成長.

章建躍在人教A版《普通高中教科書·數(shù)學》(以下統(tǒng)稱“高中《數(shù)學》”)扉頁“寄語”中指出,仔細閱讀教科書,用心揣摩每句話,弄懂每道例題,在探究、質(zhì)疑、反思中逐漸領悟數(shù)學概念及其蘊含的數(shù)學思想和方法[2].《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》(以下簡稱《課標》)也明確指出,數(shù)學課程要體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學的本質(zhì),充分認識數(shù)學教育的育人功能,數(shù)學教學應以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向,創(chuàng)設合適的教學情境,啟發(fā)學生思考,引導學生感悟數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值[3-4].

以高中《數(shù)學》(必修第一冊)“函數(shù)的概念與性質(zhì)”單元教學為例,我們首先要明晰“函數(shù)是貫穿高中數(shù)學的一條主線,因其抽象程度高而成為許多學生的學習難點”;其次要明白“用好、弄透教材的每道例題和習題,才能幫助學生準確把握函數(shù)的概念及其思想方法”;然后要明確“理解《課標》要求,落實教材內(nèi)容,發(fā)揮課堂功能,引導學生通過例題和習題去感受數(shù)學文化、解決數(shù)學問題、形成數(shù)學思想”[5].

1 解題有“法”——半畝方塘一鑒開

問題是數(shù)學的心臟．好的數(shù)學問題不僅可以觸發(fā)學生的數(shù)學思考,而且可以成就一段教學“佳話”．尤其是教材中的例題和習題,都是專家精挑細選的,凝聚著編寫團隊的智慧與心血．數(shù)學教師要用好、弄透每道例題和習題,引導學生分析解決,做到解題有“法”．

例1證明:

1)若f(x)=ax+b,則

2)若g(x)=x2+ax+b,則

(人教A版高中《數(shù)學》(必修第一冊)第101頁綜合運用第8題)

分析這是筆者經(jīng)常用作例子的教材習題．通過對該題的解答,既可以復習初中已學的一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),又可以讓學生熟悉鞏固高中新學的函數(shù)符號f(x)的含義．教師還可以引導學生既著眼于“代數(shù)”的角度,通過“解析式”的演算嚴格推理論證,又借助“圖象”的角度,通過“函數(shù)特性”直觀簡潔感知．

證明(代數(shù)角度)

1)因為等式左邊為

等式右邊為

所以

2)因為等式左邊為

等式右邊為

感知(圖象角度)如圖1、圖2所示.

圖1 圖2

基于以上問題的解決與說明,筆者一般會通過適當?shù)刈兓c引用,讓學生思考解決如下類似的問題.

( )

答案為BC.

2 數(shù)學求“理”——天光云影共徘徊

數(shù)學是系統(tǒng)的學科．無論是數(shù)學問題還是數(shù)學方法,都不是孤立存在的．數(shù)學教師除了要引導學生解決問題,也要適時適切地引領學生梳理蘊藏在問題中的數(shù)學思想,將研究的重點內(nèi)容系統(tǒng)整合成規(guī)律化的模塊,以“問題鏈”“結論堆”的形式呈現(xiàn),養(yǎng)成數(shù)學求“理”的習慣．

以上述教材習題為引子,教師可以做兩方面“理”的探求.

一是系統(tǒng)地歸納整理教材中涉及函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、最值等圖象與性質(zhì)的系列例題和習題,對“函數(shù)的圖象與性質(zhì)”進行拓展研究,引領學生逐層得出如下系列“結論堆”.

1)f(0)=0?f(x)過原點.

2)f(-x)=f(x)?f(x)為偶函數(shù);f(-x)=-f(x)?f(x)為奇函數(shù).

3)任意x∈D,f(x)≤M,存在x0∈D,f(x0)=M?M為f(x)的最大值;任意x∈D,f(x)≥M,存在x0∈D,f(x0)=M?M為f(x)的最小值.

5)f(x+1)=f(x)?f(x)的周期為1.

6)f(1+x)=f(1-x)?f(x)=f(2-x)?f(x)的圖象關于直線x=1對稱;f(1+x)=-f(1-x)?f(x)=-f(2-x)?f(x)的圖象關于點(1,0)對稱.

7)f(x)+f(-x)=2?f(x)的圖象關于點(0,1)對稱;f(a+x)+f(a-x)=2b?f(x)的圖象關于點(a,b)對稱.

8)f(x+y)=f(x)+f(y)?f(x)的一個代表函數(shù)為f(x)=kx(其中k≠0);f(xy)=f(x)·f(y)?f(x)的一個代表函數(shù)為f(x)=xα(其中α為常數(shù)).

10)|f(x)|的圖象可看作f(x)的圖象保留x軸上方部分,同時將x軸下方部分圖象沿x軸翻折到x軸的上方;f(|x|)的圖象可看作f(x)的圖象保留y軸右側部分,擦去y軸左側部分,同時畫出y軸右側部分圖象關于y軸的對稱圖象;f(x-1)+2的圖象可看作f(x)的圖象向右平移1個單位,向上平移2個單位得到．

二是將數(shù)學的觀點站得更高些,利用教師學過的高等數(shù)學知識,揭示教材例題和習題背后的數(shù)學知識,如本文例1的“源頭”是高等數(shù)學中的“琴生不等式”.

琴生不等式設函數(shù)f(x)的定義域為I,任意x1,x2∈I,其中x1≠x2,λ∈(0,1),總有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),

則稱f(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù)(《數(shù)學分析》中也稱“下凹函數(shù)”);反之,如果總有

f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2),

則稱f(x)是區(qū)間I上的凹函數(shù)(《數(shù)學分析》中也稱“上凸函數(shù)”).

3 教學悟“道”——問渠那得清如許

教學是范式的行為．數(shù)學教學往往有“范式”可循,數(shù)學教師要組織學生悟得學習中的門道——研究程序．以“函數(shù)”為例,何為函數(shù)?為何要研究?怎么研究?中學數(shù)學就是在不斷研究解決各模塊內(nèi)容的這3個問題,從而貫徹《課標》,使用教材開展課堂教學,實現(xiàn)教學悟“道”.

為了給不同數(shù)學內(nèi)容的教學提供借鑒,筆者以“函數(shù)的圖象與性質(zhì)”為例梳理得出教學的一般研究范式.

1)我們已經(jīng)儲備了函數(shù)學習的哪些基礎知識?(初中階段學過的函數(shù)知識:正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)等.)

2)搜集、了解函數(shù)的形成與發(fā)展史.(函數(shù)產(chǎn)生的社會背景、函數(shù)概念發(fā)展的歷史過程、函數(shù)符號的故事、數(shù)學家與函數(shù)等.)

3)舉例說明數(shù)學問題中的函數(shù)背景素材.(融合在數(shù)學教材大量例題和習題中的數(shù)學歷史文化、社會科技文化、現(xiàn)實生活文化中的背景材料.)

4)研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般化路徑.(從函數(shù)定義域入手,經(jīng)由函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性、特殊點線,借助圖象,最后到函數(shù)的最值與值域.)

(人教A版高中《數(shù)學》(必修第一冊)第79頁例3)

(人教A版高中《數(shù)學》(必修第一冊)第86頁綜合運用第8題)

(人教A版高中《數(shù)學》(必修第一冊)第92頁探究與發(fā)現(xiàn))

(人教A版高中《數(shù)學》(必修第一冊)第101頁拓廣探索第12題)

2)對函數(shù)解析式中的實數(shù)a,b,你認為需要分哪些情況進行討論研究?這些情況之間有何內(nèi)在的聯(lián)系?

3)這種類型的函數(shù)的研究過程中,與基本不等式存在怎樣的關聯(lián)?如何解釋說明函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點?

通過這個學習、聯(lián)系、研究與轉化的過程,學生可以提升自己對數(shù)學的研習能力,教師的數(shù)學教學也更上了一個臺階,突出了教學的本質(zhì)與關鍵．

4 教育立“德”——為有源頭活水來

立德是教育的根本．教育要回答并解決“為誰培養(yǎng)人?培養(yǎng)什么人?怎么培養(yǎng)人?”的問題.處于基礎教育與高等教育關鍵過渡的中學,更要堅定不移、不折不扣地“立德樹人”.數(shù)學教師要充分領會、深入理解并貫徹落實《課標》的“德育”全要素,落實教育立“德”．

新教材一個顯著的特點就是整合了大量內(nèi)容豐富、形式多樣的數(shù)學文化背景材料,廣泛滲透在教材的例題、習題和閱讀材料中．數(shù)學教師在理解利用教材例題、習題的過程中,除了要充分揭示數(shù)學的內(nèi)在本質(zhì)屬性,還要善于發(fā)掘并闡述蘊含在數(shù)學各方面的“德育素材”,包括教材每章的引言、每節(jié)的例題習題、每單元的閱讀材料、每階段的探索與發(fā)現(xiàn)等．教師不僅要引導學生解決數(shù)學問題,以發(fā)展和提升數(shù)學素養(yǎng),更要引領學生探尋數(shù)學問題的來源與發(fā)展,以感悟數(shù)學的“文化自信”,讓數(shù)學教學始終“德育”其中．

筆者通過“函數(shù)的概念”的3個引例進行數(shù)學“德育”(以下引例中的圖和表略).

引例1某“復興號”高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時．這段時間內(nèi),列車行進的路程s(單位:km)與運行時間t(單位:h)的關系可以表示為s=350t．

(人教A版高中《數(shù)學》(必修第一冊)第60頁問題1)

引例2如何根據(jù)某市某日的空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index,簡稱AQI)變化圖確定這一天內(nèi)任一時刻t的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的值I?你認為這里的I是t的函數(shù)嗎?

(人教A版高中《數(shù)學》(必修第一冊)第60頁問題3)

(人教A版高中《數(shù)學》(必修第一冊)第60頁問題4)

分析上述3個引例中,引例1以我國自主設計的高速動車為科技文化背景,彰顯“中國速度”“中國智造”,而且可以讓坐過或者沒坐過“復興號”動車的學生感知和了解“350”是個什么概念.當我們坐著自己國家設計制造的高速動車馳騁在祖國綠水青山之間,是何等的自豪與爽快!引例2以與人們?nèi)粘Ｉ钕⑾⑾嚓P的空氣質(zhì)量為社會文化背景,著眼當前國際國內(nèi)特別關注的人類環(huán)境保護話題,與我國下一個百年大計中的“碳達峰”“碳中和”目標相契合,反映了我國不僅要建設一個強大的社會主義國家,更要建設一個在國際社會中負責任的“大國形象”．引例3將事關我國城鎮(zhèn)居民生活質(zhì)量的恩格爾系數(shù)作為社會文化背景,寓意“人民至上”的發(fā)展理念,反映了我國社會文明建設的主要目標是實現(xiàn)全面小康,滿足全體人民對更加美好生活的向往,可見教材的例題和習題的“小題目大作為”．

數(shù)學的教與學,如科學研究,亦如文化表達,既需要有“橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同”那樣,善于從不同的角度、不同的層次去分析探究,以品味其中所蘊含的味道,更應該秉持“素心正如此,開徑望三益”的精神,回歸數(shù)學最本質(zhì)、最樸素的東西,方能以不變應萬變,以其宗馭其形[6-7].