江蘇省常熟市世茂實驗小學(xué) 陳雪娟

新課標(biāo)明確指出，模型意識，主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑；能夠認識到現(xiàn)實生活中大量的問題與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋。數(shù)學(xué)模型是以現(xiàn)實生活為原型抽象出的數(shù)學(xué)概念，是現(xiàn)實、數(shù)學(xué)與應(yīng)用之間的橋梁和紐帶，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題解決的重要手段和主要載體。生活中處處蘊含著數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型教學(xué)是以數(shù)學(xué)活動為載體，使學(xué)生經(jīng)歷“提煉問題—探究原理—建構(gòu)模型—應(yīng)用模型”的過程，經(jīng)歷知識形成的過程，理解知識之間的聯(lián)系，促進知識建構(gòu)、能力形成及情感培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生利用模型解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)化眼光、抽象化能力、結(jié)構(gòu)化思維和應(yīng)用化素養(yǎng)。下面，筆者結(jié)合自己教學(xué)的課例，淺談一些想法。

一、課前調(diào)查做準(zhǔn)備

新課標(biāo)明確指出，學(xué)科應(yīng)當(dāng)有育人功能，要實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值，要培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去認識自己所生活的環(huán)境與社會，學(xué)會數(shù)學(xué)地思考。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要強調(diào)向?qū)W生提供系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識，而且要關(guān)注向?qū)W生提供具有現(xiàn)實背景的數(shù)學(xué)，包括現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)。蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊“小數(shù)乘法和除法”單元“探索與實踐”中有這樣一道題（如圖1）：

圖1

自全國范圍實施“階梯電價”的收費標(biāo)準(zhǔn)后，居民階梯電價得到改革，在保障居民生活基本用電的同時，國家著力引導(dǎo)居民養(yǎng)成節(jié)約用電的習(xí)慣。水、電、天然氣與百姓生活息息相關(guān)，為了讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)知識源于生活又服務(wù)于生活，引導(dǎo)他們用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，使學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們身邊，課前，筆者圍繞“水、電、天然氣”，先請學(xué)生完成一份課前調(diào)查問卷。

學(xué)生利用雙休時間，通過查閱資料或走訪相關(guān)部門等方式展開調(diào)查，了解繳費途徑，收集并初步解讀水、電、天然氣最新的收費政策，還掌握了自己家2023年1 月到目前為止的用電、用水、使用天然氣的數(shù)量。

教學(xué)的頂層設(shè)計，應(yīng)當(dāng)站在數(shù)學(xué)學(xué)科育人的角度。課前調(diào)查，是學(xué)生對接教材與社會的橋梁，是學(xué)生聯(lián)系生活、儲備學(xué)科知識的載體，更是和課堂深度對話的基礎(chǔ)，對后續(xù)的課堂教學(xué)有著重要的影響。學(xué)生通過課前調(diào)查，在收集整理資料的過程中，對所掌握的資料有了更長時間的深入思考，激發(fā)了探究的欲望，在思考中增長知識，在探究中獲得能力。在課堂教學(xué)中，教師把學(xué)生收集來的資料有機融入教學(xué)過程，并巧妙地拓展內(nèi)容，讓學(xué)生的認識更有深度，更能引起學(xué)生內(nèi)心的共鳴，實現(xiàn)效益最大化，真正提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

二、經(jīng)歷過程獲經(jīng)驗

以往在解決階梯電費問題的時候，對于大部分數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力有限的學(xué)生來說，他們通過閱讀題目不僅無法理解題目內(nèi)容，還無法找到題目中條件的關(guān)系，給解決問題帶來了不小的阻礙。

要正確計算階梯電費的金額，首先要理解階梯電費的收費標(biāo)準(zhǔn)。因此，筆者以四口之家的電費為例，精挑細選了學(xué)生課前調(diào)查資料中的有效素材，通過學(xué)生的自主解讀，進一步梳理用電量的分階情況及相對應(yīng)的單價。（如圖2）

圖2

有深度的數(shù)學(xué)活動才能激發(fā)學(xué)生主動探索的興趣。學(xué)生對相同的信息用不同的表征形式進行個性化的解讀，三個層次的交流，每一次都暗含玄機。文字式的解讀，讓學(xué)生進一步了解用電量分成三階，每一階都有固定的范圍，單價也分成三種。表格的呈現(xiàn)，讓學(xué)生體會到雖然形式不同了，但也能看出“分三階”“每一階的范圍”“每一階的單價”等信息。示意圖式的表達，展示學(xué)生對自己收集的資料進行的個性化理解。通過解讀，學(xué)生更加清楚了不同范圍內(nèi)的用電量與單價之間的對應(yīng)關(guān)系。交流活動有深度，才能讓交流不流于形式，讓學(xué)生在活動中能真正獲得體驗，有效積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提高核心素養(yǎng)。

通過交流和對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，收集到的資料雖然呈現(xiàn)形式不同，但都在表達：電費是分階梯計費的，電費金額和兩個量息息相關(guān)，一個是電費的單價，另一個是數(shù)量，計算電費離不開一個基本數(shù)量關(guān)系，即單價乘數(shù)量。學(xué)生借助三階圖（如圖3），清晰地知道用電量不超過2760 千瓦·時對應(yīng)單價0.53 元，用電量在2760 千瓦·時到4800 千瓦·時之間對應(yīng)單價0.58 元，用電量超過4800 千瓦·時對應(yīng)單價0.83 元，并且隨著用電量的增加，單價也隨之越來越高，從而聯(lián)想到電費也隨之越來越貴，形成節(jié)約用電的意識。

圖3

在傳統(tǒng)的階梯電費教學(xué)時，大部分學(xué)生無法對條件有一個明確的認知，無法準(zhǔn)確把握條件關(guān)系，在分析問題時會出現(xiàn)諸多問題，甚至一些學(xué)生在分析問題時會出現(xiàn)思維錯誤。為了提升教學(xué)質(zhì)量，在教學(xué)活動中，筆者逐步引導(dǎo)學(xué)生通過解讀標(biāo)準(zhǔn)并形成分階圖，一步一步將學(xué)生的思維過程直觀地展現(xiàn)出來，實現(xiàn)思維的可視化，在分階圖形成的過程中把握各個條件之間的關(guān)系，在條件分析中引導(dǎo)學(xué)生掌握解題思路。

三、探尋原理促建構(gòu)

有了對階梯電費收費標(biāo)準(zhǔn)清晰的認識，筆者從學(xué)生課前調(diào)查的家庭用電總量中選擇了三個數(shù)據(jù)（如圖4）：

圖4

借助藍、黃、紅三條線，筆者分別請學(xué)生根據(jù)用電量，到黑板上的分解圖上貼一貼要標(biāo)到哪個位置，結(jié)合圖說說自己的想法。同桌商量，結(jié)合分階圖，結(jié)合三條線所在的位置，確認這三個學(xué)生家在每一個階梯中的用電量各是多少。在理解標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合實際用電量，確定每個階梯的用電量是最困難的，可這又是本節(jié)課的教學(xué)重點，只有弄清了各階的用電數(shù)量，才能根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系計算各階金額，進而計算出總金額。在剛才分階圖形成的過程中，學(xué)生不僅可以準(zhǔn)確把握2760 千瓦·時和4800 千瓦·時這兩個界限，還可以在分階圖中根據(jù)實際用電量和兩個界限之間的關(guān)系，厘清每一階梯中的用電量，通過對三個用電總量的比較，得出“當(dāng)用電總量不超過2760 千瓦·時，用電量都在第一階梯中；當(dāng)用電總量超過2760 千瓦·時又不超過4800 千瓦·時，用電量就要分兩個部分，第一階的2760 千瓦·時和第二階中的部分；當(dāng)用電總量超過4800 千瓦·時，用電量就要分三個部分，第一階的2760 千瓦·時，第二階的（4800－2760）千瓦·時，和第三階中的部分，而且用電量總是先用完第一階，再用到第二階，最后用到第三階中”這樣的結(jié)論。

厘清了各個階梯的用電量后，學(xué)生嘗試計算電費總金額。

（1）用電總量在第一階。學(xué)生都能直接用單價乘數(shù)量，算出電費金額。

（2）用電總量達到第二階。這里呈現(xiàn)了兩種不同的算法，一種是直接用第二階單價乘用電總量，另一種是分階計算金額再相加算出總金額。教師引發(fā)學(xué)生討論：“哪一種計算方法更符合剛才我們理解的收費標(biāo)準(zhǔn)？”結(jié)合分階圖，大家更加明確了“當(dāng)用電總量達到第二階時，先要確定好每一階的用電量，第一階中是用電量按每千瓦·時0.53 元計算，第二階中是用電量按每千瓦·時0.58 元計算，再把兩個階梯的金額相加得到總金額”。

（3）用電總量達到第三階。有了剛才的細致分析梳理，當(dāng)用電總量達到第三階時，電費金額的計算就水到渠成了。

回顧三個學(xué)生家電費金額問題的過程，學(xué)生都感覺到階梯電費的計算是復(fù)雜的，但又是有一定步驟的，計算金額之前，要結(jié)合實際用電總量，根據(jù)分階標(biāo)準(zhǔn)，先厘清每一階中的用電數(shù)量，再根據(jù)相應(yīng)單價乘實際數(shù)量，分階計算出每一階的電費金額，最后相加得到總金額。如此，學(xué)生對階梯電費的計費方式和計算方法形成了初步的模型。

概念的教學(xué)只有與相關(guān)概念進行對比，了解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，才能讓概念在學(xué)生思維中扎根。理解不同用電總量之間的區(qū)別，理解總金額和每階金額、每階金額和相應(yīng)單價及數(shù)量之間的關(guān)系，才能真正掌握階梯電費計算方法的數(shù)學(xué)模型。

四、涵養(yǎng)思維要豐厚

階梯計費問題，與生活中的聯(lián)系非常多，在課堂中對生活中的多種現(xiàn)象進行梳理，讓階梯計費問題與生活發(fā)生更多的聯(lián)系，學(xué)生的思維會更有廣度和深度，學(xué)生的思路會更加清晰而有層次。這樣才能讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)數(shù)感。

（一）橫向拓展

在重點梳理解讀了四口之家的電費收費標(biāo)準(zhǔn)后，筆者適時提出：“對于家庭戶籍人口數(shù)在五人（及以上）的家庭，政策是否會有變化呢？”再次借助學(xué)生收集的資料呈現(xiàn)：“根據(jù)規(guī)定，試行的階梯電價對于家庭戶籍人口在五人（及以上）的家庭，年用電量增加1200 千瓦·時”，請學(xué)生調(diào)整分階圖上的相關(guān)數(shù)據(jù)，組織四口之家和五人及以上家庭的分階圖，發(fā)現(xiàn)什么變了，什么不變，初步體會都是分了三階，每一階的單價不變，但分階的標(biāo)準(zhǔn)變了，也就是每一階的數(shù)量變了，其實不管是四口之家還是五人（及以上）的家庭，計算電費的方法是一致的，都要先厘清每一階中的用電數(shù)量，再分階計算，最后相加得出總金額。

（二）縱向拓展

經(jīng)過剛才對階梯電費標(biāo)準(zhǔn)的解讀和對階梯電費的計算，學(xué)生嘗試自己來梳理水費、天然氣費的標(biāo)準(zhǔn)，計算水費和天然氣費。

學(xué)生先根據(jù)收集的資料，借助分階圖，梳理收費的標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合自己家實際用水、使用天然氣的數(shù)量，在分階圖上看一看，厘清每一階中的使用數(shù)量，再分階計算各階金額，最后算出總金額，經(jīng)歷這樣一個完整的“材料閱讀—標(biāo)準(zhǔn)梳理—解決問題”的過程。

通過回顧梳理，把階梯電費、階梯水費、階梯天然氣費進行對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，不管是階梯電費、階梯水費，還是階梯天然氣費，都根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)分成三階，每一階都有固定的單價，這是一致的。計算這樣的階梯計費問題，我們都要根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，先厘清數(shù)量，再分階計算，最后相加，其計算方法是一致的，從而建立起比較清晰的階梯計費問題的解題思路。（如圖5）

圖5

教師通過數(shù)學(xué)建模，將了解和經(jīng)歷圖5 所示的分階圖所表示的解決實際問題的全過程作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，為他們提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用，體驗數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的實用價值，增強應(yīng)用意識。在數(shù)學(xué)模型建立下，學(xué)生不僅可以從數(shù)學(xué)現(xiàn)象中抽象出客觀規(guī)律，還可以在該規(guī)律的驅(qū)使下加深對這一類問題的理解，為靈活運用所學(xué)解決數(shù)學(xué)問題打下堅實的基礎(chǔ)。

（三）課外拓展

數(shù)學(xué)建模是運用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實際問題的過程，是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)建模中的問題是多樣的，來自學(xué)生的日常生活、現(xiàn)實世界、其他學(xué)科等多方面。同時，解決問題所涉及的知識、思想、方法也與其他學(xué)科的相關(guān)內(nèi)容有著密切的聯(lián)系。因此，教師要讓學(xué)生思考：“在我們的生活中，除了電費、水費、天然氣費是分階計算的，還有其他分階計算的現(xiàn)象嗎？”學(xué)生想到汽車的停車費問題、出租車的收費問題、寄快遞的郵費問題等。教師適時提出希望學(xué)生做生活中的有心人，運用今天學(xué)到的知識，帶著數(shù)學(xué)的眼光，去收集資料，進一步梳理收費的標(biāo)準(zhǔn)，探索相應(yīng)的計算方法。

整節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)立體化、學(xué)習(xí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化、學(xué)習(xí)方式多樣化，把階梯計費問題的知識蘊含在生活情境中。在生生互動、師生互動中，學(xué)生從感性認識上升到理性認識，從低階思維走向高階思維，培養(yǎng)了積極探索、細心嚴謹?shù)目茖W(xué)精神，提升了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。教師要以全局的眼光、育人的視野，打造創(chuàng)新、務(wù)實、高效的課堂，在學(xué)生進行模型建構(gòu)時，同頻、同步地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。