李 睿，舒頤超

（上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué)統(tǒng)計與信息學(xué)院，上海 201620）

0 引言

在傳統(tǒng)的線性面板數(shù)據(jù)模型中，往往假設(shè)誤差項是截面獨立且同方差的，然而很多實際問題與這一假設(shè)并不相符，忽略這一客觀事實可能產(chǎn)生錯誤的統(tǒng)計推斷結(jié)果。

事實上，針對上述問題，已有許多文獻(xiàn)提出了異方差性與截面相關(guān)性的檢驗，并取得了一系列成果。例如，Baltagi等（2007）[1]考慮了面板數(shù)據(jù)的一般異方差誤差分量模型，并針對兩個誤差分量中的異方差特征提出了同方差的聯(lián)合拉格朗日乘數(shù)（LM）檢驗；Ledoit 和Wolf（2002）[2]分析了標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差矩陣在維度較大，特別是樣本量很大時，是否依然有效；Baltagi 等（2011）[3]提出了一種新的固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)回歸模型的擾動球形度檢驗方法；Baltagi 等（2017）[4]分別研究了面對弱因素與強(qiáng)因素兩種情況時，固定效應(yīng)下球度檢驗的漸近功效；陳冉冉和李高榮（2019）[5]在混合效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型中研究了球形檢驗；Hu 等（2021）[6]針對具有固定效應(yīng)的非參數(shù)時變系數(shù)面板數(shù)據(jù)模型提出了球形度和單位矩陣的零值檢驗。然而，這些成果都集中于對參數(shù)和非參數(shù)模型的討論，而針對半?yún)?shù)面板模型的相關(guān)檢驗較少，特別是對帶有固定效應(yīng)的部分線性時變系數(shù)面板模型的研究還暫時未見文獻(xiàn)討論?；诖?，本文在此模型上展開討論，具體地：

其中，Zit=(Zit,1,…,Zit,p)?為p維列向量，Xit=(Xit,1,…,Xit,q)?為q維列向量，β=(β1,…,βp)?為未知參數(shù)向量，α(t/T)=(α1(t/T),…,αq(t/T))?為q×1維未知函數(shù)向量，μi是不可觀察的個體固定效應(yīng)，誤差項εit對于每個個體i都是平穩(wěn)的，并且與Zit、Xit和μi都是不相關(guān)的。出于模型識別性考慮，假設(shè)。

1 模型估計

關(guān)于模型（1）已有很多估計方法，如Li 和Ullha（1998）[7]提出了可行的廣義最小二乘（GLS）估計方法；Zhang 等（2011）[8]通過經(jīng)驗似然來進(jìn)行參數(shù)估計；Ai 等（2014）[9]提出了半?yún)?shù)最小二乘虛擬變量估計器（SLSDVE）參數(shù)分量和非參數(shù)分量的級數(shù)估計量；Hu（2017）[10]通過多元局部線性擬合、變換技術(shù)和輪廓似然法，研究了半?yún)?shù)固定效應(yīng)估計量、半?yún)?shù)隨機(jī)效應(yīng)估計量及其漸近性質(zhì)；Zhao等（2017）[11]通過取橫截面平均值消除固定效應(yīng)和局部線性虛擬變量來進(jìn)行估計；曹連英和畢琳（2020）[12]基于該測量誤差模型進(jìn)行了嶺估計。本文就是利用Zhao等（2017）[11]的方法研究半?yún)?shù)面板模型的協(xié)方差檢驗問題。

具體模型是：

其中，Y=(Y11,…,Y1T,…,YNT)?，Z=(Z11,…,Z1T,…,ZNT)?，ε=(ε11,…,ε1T,…,εNT)?，μ=(μ2,…,μN)?；D=(-1N-1,IN-1)??1T，1T表示全是1的T維列向量，?表示克羅內(nèi)克積；，其中，ut=t/T,t=1,2,…,T。

利用局部線性方法[13]估計變系數(shù)函數(shù)α(?)，假設(shè)α(?)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微，?ut,ut?(u-h,u+h)，α(?)可以近似地寫為：

其中，0

具體地，通過輪廓最小二乘估計，可得：

令：

將式（4）代入式（2），可得：

由此可以得到μ的估計：

2 協(xié)方差陣的檢驗

模型中隨機(jī)擾動的異方差性和截面相關(guān)性的識別是統(tǒng)計推斷的關(guān)鍵，本文考慮在N、T較大時，如何構(gòu)造假設(shè)檢驗過程，研究部分線性時變系數(shù)面板模型的球形檢驗和單位陣檢驗問題。下面介紹一些假設(shè)條件：

假設(shè)1：假設(shè)ε1,ε2,…,εT獨立同分布于N()0,ΣN，其中。

假設(shè)2：Xit、Zit和εit相互獨立，并且滿足，其中M和K是正常數(shù)。

2.1 球形檢驗

考慮如下球形檢驗問題：

H1意味著協(xié)方陣存在異方差性或者截面相關(guān)性，或者二者均有。

然而εit是不可觀測的，本文基于前述估計的擬合殘差建立檢驗統(tǒng)計量，簡單計算可得：

注意到，ΣN對應(yīng)的樣本協(xié)方差矩陣為當(dāng)N固定，T→∞時，可直接使用似然比方法[14]進(jìn)行檢驗；當(dāng)N>T時，S是奇異陣，似然比檢驗方法是不可行的。John（1972）[15]提出如下球形檢驗統(tǒng)計量：

其中，S是樣本協(xié)方差陣。tr(S)為協(xié)方差矩陣S特征值的均值，并且可以證明當(dāng)N→∞時，在原假設(shè)下（詳見下文證明）。因此，原假設(shè)H0等價于-IN=0。本文用U=來度量協(xié)方差矩陣S和單位矩陣之間的偏差。顯然，U的值越大，ΣN與單位矩陣之間的偏差也越大。

當(dāng)原假設(shè)成立，N固定，T→∞時，John（1972）[15]已經(jīng)證明。

當(dāng)N和T同階時，Ledoit和Wolf（2002）[2]研究得到：

即：

基于本文模型的估計，可以得到：

基于此構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量φ0：

進(jìn)一步考慮到ε?t代替誤差εt時產(chǎn)生的偏差，對φ0進(jìn)行偏差修正得到φ1：

2.2 檢驗統(tǒng)計量φ1 的漸近性質(zhì)

為了進(jìn)一步研究φ1的漸近性質(zhì)，先介紹如下正則條件：

C1：系數(shù)函數(shù)α(?)具有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)。

C2：核函數(shù)K(?)在支撐集[-1,1]上是對稱的。

C3：窗寬滿足h→0 ，Th→∞，Nh→∞，并且nTh8→0。

引理1：如果假設(shè)1 和假設(shè)2 以及條件C1 至C4 成立，那么當(dāng)N→∞，T→∞時，有：

證明：引理1 的證明過程與Zhao 等（2017）[11]定理3.4類似，此處忽略。

引理2：在假設(shè)1和假設(shè)2以及條件C1至C4下，有：

證明：引理2 的證明過程可參考Baltagi 等（2017）[4]的引理1（a）的證明過程，本文不再贅述。

命題1：如果假設(shè)1和假設(shè)2以及條件C1至C4同時成立，則有：

進(jìn)一步有：

其中：

結(jié)合引理1以及條件C3和條件C4，可以得到：

簡單計算可得：

所以：

綜合式（13）和式（14），命題1證畢。

命題2：如果假設(shè)1 和假設(shè)2 以及條件C1 至C4 成立，那么可以得到：

證明：結(jié)合引理1及條件C3和C4得到：

定理1：在假設(shè)1 和假設(shè)2 以及條件C1 至C4 下，當(dāng)N→∞，T→∞時，有φ1依分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即：

于是：

類似地，有：

因此：

所以，當(dāng)N→∞，T→∞時，結(jié)合條件C1和C4，有：

2.3 單位陣檢驗

近一步檢驗協(xié)方差矩陣是否是單位陣，考慮原假設(shè)H0:Σn=In,根據(jù)文獻(xiàn)[2]提出如下統(tǒng)計量：

并證明在假設(shè)成立且→C時，有：

基于式（2）中的估計，可以構(gòu)造如下統(tǒng)計量：

2.4 檢驗統(tǒng)計量φ2 的漸近性質(zhì)

定理2：在假設(shè)1 和假設(shè)2 以及條件C1 至C4 下，當(dāng)N→∞，T→∞時，有φ2依分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即：

證明：由式（17）可得：

其中：

結(jié)合引理2和命題1可得：

由于當(dāng)原假設(shè)H0成立時，σε=1，因此，結(jié)合條件C3和C4，有：

基于上述結(jié)果，并結(jié)合φ2的表達(dá)式和式（16），定理2證畢。

3 數(shù)值模擬

本文通過經(jīng)驗分布和統(tǒng)計功效來評估兩種檢驗方法的合理性和穩(wěn)健性。數(shù)據(jù)的生成過程如下：

其中：

vit和ξit是獨立同分布于N(0,1)的隨機(jī)變量。假設(shè)個體固定效應(yīng)為：

當(dāng)誤差項εit滿足上述三種情形時，對N=10,20,30,50和T=10,20,30,50 都進(jìn)行1000次重復(fù)模擬。

當(dāng)誤差項εit滿足情形（1）時，在顯著性水平α=0.05時，表1給出了模型（19）球形檢驗統(tǒng)計量φ1以及單位陣檢驗統(tǒng)計量φ2的經(jīng)驗顯著性水平。

表1 情形（1）下檢驗統(tǒng)計量φ1、φ2 的經(jīng)驗顯著性水平

從表1 中可以得到：（1）當(dāng)N和T都較大時，統(tǒng)計量φ1、φ2的經(jīng)驗拒絕率均在0.05 左右，并且隨著N和T的增大，經(jīng)驗顯著性水平逐漸接近0.05。（2）對于較大的N和較小的T,檢驗結(jié)果略大于α，這和定理1 以及定理2推導(dǎo)出來的理論結(jié)果一致。

當(dāng)誤差項εit滿足情形（1）和情形（3）且ρ=0.1時，表2和表3給出了模型（19）統(tǒng)計量φ1、φ2在α=0.05 時的經(jīng)驗顯著性水平。

表2 情形（2）下統(tǒng)計量φ1、φ2 的經(jīng)驗顯著性水平

表3 情形（3）下統(tǒng)計量φ1、φ2 的經(jīng)驗顯著性水平

從表2 和表3 中可以得到：（1）當(dāng)誤差項εit中存在異方差性和截面相關(guān)性時,在原假設(shè)H0下，經(jīng)驗顯著性水平明顯大于0.05。（2）隨著N和T的增大，φ1和φ2的經(jīng)驗顯著性水平越來越大，說明檢驗效果隨著樣本量的增大而變顯著。

當(dāng)模型（19）中的誤差項εit符合情形（2）和情形（3）時，為了表明檢驗問題的備擇假設(shè)H1成立，圖1和圖2給出了N=20,T=20 和N=20,T=30 兩種情況下統(tǒng)計量φ1、φ2的功效隨ρ變化的函數(shù)曲線圖。

圖1 情形（2）的檢驗統(tǒng)計量的功效曲線

圖2 情形（3）的檢驗統(tǒng)計量的功效曲線

從圖1、圖2中可以得到以下結(jié)論：

（1）若ρ的取值固定，統(tǒng)計量φ1和φ2的功效都會隨著T的增大而增大，則說明當(dāng)備擇假設(shè)H1為真時，樣本量越大，越能正確地拒絕原假設(shè)。

（2）若N和T的取值固定，統(tǒng)計量φ1、φ2的功效都會隨著ρ的增大而增大，并且迅速增大到1，則說明樣本量越大，增大到1的速度就越快。

4 結(jié)論

協(xié)方差檢驗是研究模型異方差性和截面相關(guān)性的重要方法之一，本文在帶有固定效應(yīng)的部分線性時變系數(shù)面板模型框架下，對于輪廓最小二乘回歸下的擬合殘差提出了協(xié)方差矩陣的球形檢驗和單位陣檢驗方法，并證明了對應(yīng)的統(tǒng)計量的漸近正態(tài)分布和大樣本性質(zhì)。同時，基于蒙特卡洛模擬的經(jīng)驗拒絕概率和檢驗功效結(jié)果進(jìn)一步驗證了所提檢驗方法的穩(wěn)健性和有效性。

本文的協(xié)方差矩陣檢驗局限于誤差項符合正態(tài)分布的約束，這在一定程度上限制了檢驗方法的普適性，統(tǒng)計量的構(gòu)造是否受到分布類型的影響以及如何構(gòu)造等問題都值得進(jìn)一步思考，具有一定的研究意義。另外，對于高維協(xié)方差矩陣的檢驗來說，計算量是巨大的，這對傳統(tǒng)的檢驗方法提出了挑戰(zhàn)。已有學(xué)者提出了隨機(jī)矩陣投影的方法等，而是否可以在高維背景下建立其他更有效的檢驗方法也值得進(jìn)一步思考。